WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 6 |

Рассмотрим еще один очень важный вопрос: почему блок - схему САУ, описываемую линейными уравнениями, всегда можно представить в виде набора типовых элементов, приведенных в таблице Для ответа на этот вопрос изучим следующий пример. Пусть один из блоков САУ имеет сложную структуру. Обозначим через u входной, а через x выходu x ной сигналы рассматриваемого блока. Покажем, что данный элемент САУ можно составить из простейших, указанных выше блоков.

Примем, что уравнение состояния блока имеет такой вид:

n d u du an n +... + a1 + a0u = x.

dt dt Представим, что мы имеем полную систему уравнений САУ и требуется построить общее решение однородных дифференциальных уравнений. Это решение применительно к изучаемому блоку будем разыскивать в следующем виде:

x = Ae t,u = Be t.

Здесь - характеристическое число.

Подставляя x и u в уравнение состояния блока, найдем связь констант A и B:

n A(an +... + a1 + a0 ) = B.

Отметим, что коэффициенты aj, являются вещественными числами. Поэтому корни этого полинома либо вещественные, либо комплексные попарно сопряженные. Это означает, что левую часть уравнения можно преобразовать к виду:

2 Aan ( - )...( - )( + + )...( + + ).

1 k 1 1 s s В этом выражении коэффициенты j µj j являются вещественными. Поэтому уравнение состояния блока можно представить в виде произведения ряда дифференциальных операторов:

2 d d d d d d a ( - )...( - )( + + )...( + + )u = x n 1 k 1 1 s s 2 dt dt dt dt dt dt Теперь становится понятным, что данный сложный блок является суперпозицией последовательно соединенных простых блоков, каждый из которых описывается дифференциальными операторами не выше 2 го порядка. Пример такого преобразования приведен на рисунке.

u u1 us d2us 1 dus d2u du us u 1 s dt2 1 dt dt2 s dt us+x dus k dus an ( us k ) us 1 k dt dt Аналогично рассматривается и другой крайний случай, когда уравнение блока выглядит следующим образом:

m d x dx u = bm m +... + b1 + b0 x.

dt dt Эти примеры показывают, что любая САУ с линейными уравнениями состояния может быть представлена в виде суперпозиции типовых блоков, описанных в вышеприведенной таблице.

8. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ РАЗРАБОТКИ САУ.

8.1 Автоматизация душа (гипотетический вариант).

Допустим, что нам надоело каждый день крутить ручки кранов с горячей или холодной водой для установления желаемой температуры воды и мы хотели бы заранее установить температуру смеси, а на некоторую техническую систему возложить задачу поддержания ее на указанном уровне.

Рассмотрим один из множества вариантов реализации подобной идеи.

Для начала следует подобрать устройство (из серийно выпускаемых), которое назовем задатчиком температуры. Роль этого прибора - выдавать сигнал в виде электрического тока или напряжения, величина которого пропорциональна температуре, устанавливаемой по его шкале. Допустим, что нам удалось приобрести так же краны с электроприводами с такими характеристиками: при изменении входного тока I в диапазоне от +Im, до -Im поперечное сечение крана изменяется на величину S :

I S = Sm Im Здесь S приращение площади сечения для входного тока Im.

m Теперь осталось подобрать датчик с прибором для измерения температуры смеси воды, на выходе которого сигнал (ток, напряжение) пропорционален показанию датчика.

Таким образом, мы располагаем следующими элементами будущей САУ:

Исполнительный Измеритель Задатчик механизм температуры температур «краны» смеси ы Для полной автоматизации процесса не = U 1 -U U обходимо иметь так же и регулятор - устройство, которое сравнивает два сигнала и на выходе формирует результат сравнения.

- U Теперь, установив управляемые краны на подводящих трубах с горячей и холодной водой, нам следует решить две важные задачи.

а. Разработать блок-схему автоматического устройства управления.

б. Выполнить согласование сигналов. Может оказаться, что входные и выходные сигналы блоков имеют разные размерности либо разные масштабы.

Например, на входы регулятора подаются токи в мА и такой же сигнал на выходе. Но на двигатели кранов необходимо подавать ток в А. Поэтому необходимо решить задачу согласования входных и выходных сигналов соседних блоков САУ, привлекая для этого соответствующие преобразователи. Естественно, что этой задачей должны заниматься специалисты в области измерительной техники.

Представим блок-схему САУ, учитывая сделанные замечания в следующем виде.

Гор Хол п Смесь Изм.

Пр2 ИМ Т Пр1 ПрРег с Т Т Следует отметить, что обычно в блок-схеме не указывают преобразователи, полагая их включенными в состав основных блоков. Таким образом, принято считать, что размерности сигналов, передаваемых по линиям связи, всегда согласованы между собой.

В заключение примера отметим, что блок «ИМ» состоит из регулируемых кранов горячей и холодT=Tn-T Кран «Гор» ной воды. Поэтому более детальная структура этого блоСмесь Тс ка имеет такой вид:

-T Однако, на уравнения Пр Кран «Хол» состояния САУ эта детализация блока «ИМ» никакого влияния не оказывает.

Обратим внимание на положение датчика температуры смеси. Если датчик расположен далеко от кранов, то на функционирование САУ может оказать существенное влияние эффект запаздывания измерения температуры, так как показания датчика соответствуют уже прошедшему моменту времени образования смеси. Причем время «запаздывания» равно расстоянию от кранов до датчика, деленному на скорость течения воды.

8.2 Уравнения состояния САУ Для вывода уравнений примем, что плотность и теплоемкость воды не зависят от температуры.

Температура воды в смесительной камере.

Обозначим через qг, qх расходы горячей и холодной воды подаваемые в смесительную камеру. Тогда температура смеси определяется согласно закону сохранения тепловой энергии:

Arqr + Axqx Tc =.

(qr + qx ) Здесь Аг и Ах температуры горячей и холодной воды в трубах перед кранами. Мы полагаем их значения постоянными в течение всего процесса регулирования. Расходы же qг, qх являются переменными величинами и зависят от проходного сечения кранов.

Состояние задатчика температуры.

Назначение задатчика - устанавливать желаемую температуру воды в душе - ТП.Уравнение состояния самое простое:

ТП = const.

Уравнение регулятора.

Регулятор сравнивает два сигнала: программное значение температуры и результат измерения ее в смесителе. На выходе этого блока имеем сигнал:

П T = k1(T - T ) Здесь Т - показания измерительного прибора.

Уравнение исполнительного механизма.

Примем, что сигнал от регулятора должен быть преобразован в электрический ток, подаваемый на двигатели кранов горячей и холодной воды. Поэтому в соответствие со сделанными ранее замечаниями имеем:

Ir = k2T, I = -k3T.

x Свойства управляемых кранов ранее обсуждались. В соответствии с теми рассуждениями примем, что скорости изменения расходов воды пропорциональны токам:

dqr dqx = k4Ir, = k5I x dt dt Уравнение связи температур.

В принципе температуры смеси воды и измеряемой - разные из-за погрешностей датчика и аппаратуры. Поэтому можно записать такое соотношение, пренебрегая дрейфом нуля системы измерений температуры:

T = k6 TC.

Множитель k6 в практических расчетах принимают равным 1.

8.3 Анализ уравнений состояния.

Мы получили полную систему уравнений, исследование которой по существу сводится к решению задачи Коши. Поэтому эта система должна быть дополнена начальными условиями: примем, что при t = 0 заданы не нулевые расходы: qx = qx0, qг = qг0.

Преобразуем, полученную систему уравнений путем исключения некоторых функций:

Arqr + Axqx T = k6, qr + qx dqx П = -k3k5 (T - T ), (А) dt dqr П = k2k4 (T - T ).

dt Дальнейшее рассмотрение задачи выполним для одного частного случая, когда k3k5 = k2k4.

В этом частном случае суммарный расход горячей и холодной воды остается постоянным в любой момент времени. Тогда из полученной системы следует:

dT Ar - Ax П + hT = hT, h = k1k3k5k6.

dt qr + qx Уравнение по внешнему виду полностью совпадает с уравнением автоматического нагружения крыла, поэтому полученные ранее результаты имеют силу и для этой задачи. Кроме того, данный пример представляет хорошую иллюстрацию практического значения методов теории САУ.

Допустим, что анализ системы уравнений позволил теоретически установить такую величину параметра h, которая обеспечивает стабильную работу САУ и быстрый выход на заданный режим. Тогда коэффициенты усиления блоков необходимо подобрать так, чтобы выполнялось равенство:

Ar - Ax h = k1k3k5k6.

qr + qx Это соотношение гарантирует приемлемое для нас функционирование реальной САУ.

8.4 Уточнение алгоритма управления.

Обратим внимание на то, что процесс изменения температуры не является колебательным. Температура смеси воды плавно приближается к программному значению. Можно сделать вывод об ошибочности рассуждений о действиях человека. На самом деле процедура принятия решения по изменению расхода воды является более сложной, чем сформулированное выше правило:

dqr dqx = k4Ir, = k5I.

x dt dt В действительности человек учитывает еще и среднее значение температуры смеси за некоторый промежуток времени. Поэтому действия человека можно описать приближенно следующим алгоритмом:

t t dqr dqx = k4Ir + k7 Ird, = k5I + k8 I d.

x x dt dt 0 Полагая, что k3k5 = k2k4 и k3k8 = k2k7 преобразуем систему уравнений САУ к виду:

t t dT 2 П 2 П + hT + ( )d = hT + T T ( )d, dt 0 Ar - Ax h = k0k5, = k0k8, k0 = k1k3k6.

qr + qx Зададим для этого уравнения начальные условия: при t = 0 T = 0.

В рассматриваем случае свойства САУ существенно зависят от коэффициентов h и. Исследуем переходные процессы, а так же амплитудночастотные и фазово-частотные характеристики полученной системы управления.

Реакция на «ступеньку». В этом случае TП = const. Решение интегродифференциального уравнения наиболее просто может быть построено на основе преобразования Лапласа. Обозначим через T* изображение температуры:

* T = (t) e- ptdt.

T Из уравнения состояния следует, что p + * 2 П T = ; = hTП, = T.

p( p2 + hp + ) Функция T* является целой, имеет простые полюса в следующих конечных точках комплексной плоскости p:

p1 = 0, p2 =, p3 =, 1 где j - корни уравнения: p2 + hp + = 0.

В случае h2 < 4 корни уравнения будут комплексными p2 = - + i, p3 = - - i, = h / 2, = - h2 / Решение задачи представим в виде h T = + ( - )e- t sin t - e- t cos t.

2 2 В этом случае наблюдаются периодические затухающие изменения темП пературы и с течением времени T T.

8.5 Линеаризация уравнений состояния.

В общем случае k3k5 k2k4. Тогда система уравнений становится нелинейной и точное исследование переходных процессов возможно лишь с привлечением численных методов решения задачи Коши. Для построения приближенных решений часто применяется линеаризация нелинейных уравнений состояния. Идея этой процедуры основана на разложении в ряды Тейлора нелинейных уравнений состояния. Допустим, что одно из уравнений имеет вид:

F(w,w,q,t) = 0.

Пусть известно так же некоторое состояние САУ:

при t = t0 : w = w, w = w0,q = q0.

Причем F(w0,w0,q0,t0 ) = 0.

Нелинейное уравнение F = 0 представим рядом Тейлора, полагая, что приращения параметров состояния малы:

~ ~ ~ w = w0 + w, w = w0 + w, q = q0 + q, t > t0.

Полагая, что частные производные отличны от нуля и ограничиваясь линейными слагаемыми, получим:

F F F F ~ ~ ~ w + w + q + (t - t0) = 0.

w w q t Это уравнение - линейное относительно приращений параметров состояния.

Поступая таким образом со всеми уравнениями САУ, мы получаем возможность применить к преобразованным соотношениям стандартные методы исследования. Отметим, что если начальное состояние является установившимся w0 = 0, то форма уравнений сохраняется и в этом случае.

САУ температурой воды получилась нелинейной лишь из-за уравнения для температуры смеси (А). Пусть в момент времени t0 параметры состояния имели следующие значения:

qr0 Ar + qx0 Ax qr = qr0, qx = qx0, Т0 = k6.

qr0 + qrПримем, что в момент времени t0 для температур смеси и программной выполнялось равенство: T0 = T0П. Теперь введем следующие обозначения приращений параметров состояния:

~, П П ~ ~ ~ qr = qr0 + qr, qx = qx0 + qx, T = T0 + T TП = T0 + T.

Линеаризация уравнения для температуры смеси приводит к соотношению:

~ ~ (qr0 + qr )Ar + (qx0 + qx )Ax qr0 Ar + qx0 Ax ~ ~ ~ Т0 + T = k6 - k6 (qr + qx ).

qr0 + qx(qr0 + qx0 )Уравнения для приращений параметров можно записать в следующем виде:

~ ~ qr (Ar - T0 ) + qx (Ax - T0 ) ~ T = k6.

qr0 + qxИсключая приращения расходов горячей и холодной воды из дифференциальных уравнений, получим основное уравнение задачи:

~ dT (Ar - T0 )k2k4 - (Ax - T0 )k3kП ~ ~ + kT = kT ; k = k6.

dt qr + qx Это линейное уравнение содержит приращение температуры смеси горячей и холодной воды и анализ его свойств выполняется по такой же методике, как и ранее.

9. ПРИМЕРЫ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ.

9.1. Центробежный регулятор системы двигатель-генератор.

Генератор электрического тока предназначен для обеспечения потребителей энергией переменного тока (например, напряжение 220 вольт, частота герц). Потребители подключаются к источнику энергии случайным образом.

При увеличении мощности потребления необходимо увеличивать крутящий момент на валу генератора, иначе снижаются обороты генератора и, как следствие, уменьшаются напряжение и частота тока. При уменьшении потребляемой мощности наблюдается обратная картина. Для устранения таких явлений применяется центробежный регулятор, назначение которого - поддерживать постоянными обороты двигателя, независимо от потребляемой мощности в диапазоне значений, соответствующем паспортным данным генератора.

Схема САУ оборотами А двигателя показана на рисунке.

l Принцип функционирования системы заключается в слеc0 m дующем. Увеличение оборотов двигателя вызывает увеличение mцентробежных сил, действующих на массу m, поворот стержня l (увеличивается угол Смесь ) и смещение муфты m0. Последняя через рычажную систему воздействует на положение дроссельной заслонки. Происходит уменьшение расхода горючей смеси, поступающей в камеры сгорания двигателя, что, в свою очередь, приводит к снижению оборотов системы двигатель-генератор.

Таким образом, обеспечивается стабилизация оборотов около установленного среднего значения. Конечно, это весьма упрощенная схема регулятора оборотов, но принцип функционирования сохранен.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 6 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.