WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 19 |

Согласно другой интерпретации, все вершины графа (0,1) T = {A(0) : A(1)[i1],i1 = 1,K, r(1) } соответствуют различным состояниям системы (например, возможным состояниям экономики после дефолта системы ГКО). В таком случае, начальная вершина A(0) может рассматриваться в качестве начального состояния (1) системы в момент времени, а вершины A(1)[1],K A(1)[i1],K, A(1)[r ] - возможные tсостояния системы в момент времени [120]. Если мы рассматриваем наше t1 = t0 + дерево с точки зрения теории игр, то начальное состояние игры соответствует вершине (1) (0,1) A(0), а вершины A(1)[1],K A(1)[i1],K, A(1)[r ] дерева T = {A(0) : A(1)[i1],i1 = 1,K, r(1) } - возможные альтернативы действий игрока на первом шаге игры (т.е. имеем графическую форму задания игры) [133].

Можно продолжить формирование дерева и рассматривать вершины A(1)[i1] в (1) качестве начальных точек. В этом случае можно построить еще r элементарное дерево (1,2) (2) (2) T (i1) = {A(1)[i1] : A(2)[i1,i2 ],i2 = 1,K, r (i1) }, каждое из которых включает r (i1) вершин, связанных с исходной точкой A(1)[i1] с дугами (A(1)[i1], A(2)[i1,i2 ]), i1 = 1,K, r(1), (2) i2 = 1,K, r (i1). В результате, получаем двухуровневое дерево событий (0,1,2) (1) T (i1) = {A(0) : (A(1)[i1], A(2)[i1,i2 ]),i1 = 1,K, r (i1),i2 = 1,K, r(2) (i1) } с начальной (2) (1) вершиной A(0) и r (1) +Kr(2) (i1) +Kr(2) (r ) конечными вершинами (2) (1) A(2)[1,1],K A(2)[i1,i2 ],K, A(2)[r(1), r (r )], каждая из которых может рассматриваться в качестве последнего элемента упорядоченной путь (цепь) (A(0), A(1)[i1], A(2)[i2 ]), (2) i1 = 1,K, r(1), i2 = 1,K,r (i1) [101].

(0,1,2) Повторяя описанную выше процедуру и расширяя, таким образом, дерево T, (2) каждая вершина A(2)[i1,i2 ], i1 = 1,K, r(1), i2 = 1,K,r (i1), используется в качестве (2) (1) начальной и дополнительно формирует r (1) + Kr(2) (i1) +Kr(2) (r ) элементарных (1,2,3) (3) деревьев T (i1,i2 ) = { A(2)[i1,i2 ] : A(3)[i1,i2,i3 ],i3 = 1,K, r (i1,i2 ) }, включающих (3) r (i1,i2 ) вершин и связанных с вершиной A(2)[i1,i2 ] дугами (A(2)[i1,i2 ], A(3)[i1,i2,i3]), где (2) (3) индексы i1,i2,i3 определяются как i1 = 1,K, r(1), i2 = 1,K, r (i1), i3 = 1,K, r (i1,i2 ). В конечном счете, получаем трехуровневое дерево (0,1,2,3) T = { A(0) : (A(1)[i1], A(2)[i1,i2 ], A(3)[i1,i2,i3 ], (2) (3) i1 = 1,K, r(1), i2 = 1,K,r (i1), i3 = 1,K, r (i1,i2 ) }, (12) (3) (3) (1) с начальным элементом A(0) и r (1,1) + Kr (i1,i2 ) +Kr(3) (r, r(2) (r1)) конечными вершинами, каждая из которых является последним элементом направленной цепи (2) (пути) (A(0), A(1)[i1], A(2)[i1,i2 ], A(3)[i1,i2,i3 ]), i1 = 1,K, r(1), i2 = 1,K, r (i1), (3) i3 = 1,K, r (i1,i2 ) [133].

Продолжая описанную процедуру создания дерева событий и соединяя с каждой вершиной A(k -1)[i1,K,ik -1], добавленной на предыдущем шаге при формировании графа (0,1,K,k -1) (k ) T, r (i1,K,ik -1) элементарных деревьев [134] (k -1,k ) (k ) T (ik -1,ik ) = { A(k -1)[i1,K,ik -1] : (A(k )[i1,K,ik ],ik = 1,K, r (i1,K,ik -1) }. (13) В результате получим k - уровневое дерево (0,1,K,k ) T = { A(0) : (A(1)[i1], A(2)[i1,i2 ],K, A(k )[i1,K,ik ], (2) (k ) i1 = 1,K, r(1), i2 = 1,K,r (i1),K,ik = 1,K, r (i1,K,ik -1) }, (14) с начальным элементом A(0). Общее число конечных вершин k - уровневого дерева равно следующему выражению:

(k ) (2) (1) (k -1) (1) (1) k -r (1,K,1) +Kr(k ) (i1,K,ik ) + K+ r(k ) (r(1), r (r ),K, r (r,r(2) (r ),K, r (K))) (k -1,k ) всех конечных вершин элементарных деревьев T (ik -1,ik ), связанных с конечными (0,1,K,k -1) вершинами k -1 - уровневого дерева T. Каждую конечную вершину A(k )[i1,K,ik ] (0,1,K,k ) k - уровневого дерева T будем рассматривать в качестве последнего элемента направленной цепи (A(0), A(1)[i1], A(2)[i1,i2 ],K, A(k )[i1,K,ik ]), где i1 = 1,K, r(1), (2) (k ) i2 = 1,K, r (i1),K,ik = 1,K, r (i1,K,ik -1) [105].

В определенных условиях может быть удобным рассматривать несколько конечных вершин как одно сложное (комплексное) событие, в том случае, если эти вершины могут привести к одному и тому же результату (например, различные действия агентов на рынке ГКО могут привести к дефолту системы государственных обязательств). Обозначим эти комплексные события как Sn (s) ( (s) (1,s) (k,s) (s) ( B1,K, Bn,K, BN, Bn = A(k )[i1,K,iks) ], i1 = 1,K, r,K,ik = 1,K, r (i1,K,iks) ). Схема U s=подобного дерева (трехуровневого, четвертый уровень – из 2 комплексных событий) представлена в § 3.1. Варианты развития системы ГКО в 1998 году.

(0,1,K,k ) Построив k - уровневое дерево T, получим так называемые вероятности (0,1,K,k ) перехода. Будем рассматривать вершины построенного дерева T одновременно как состояния системы и как события [55]. Полагая, что для всех возможных пар (A( j-1)[i1,K,i ], A( j)[i1,K,i ]) определены условные вероятности j-1 j p( j-1, j) (i1,K,i ) = P(A( j)[i1,K,i ]/ A( j-1)[i1,K,i ]), которые можно трактовать в качестве j j j-вероятностей переходов (A( j-1)[i1,K,i ] A( j)[i1,K,i ]) из состояния A( j-1)[i1,K,i ] в j-1 j j-состояние A( j)[i1,K,i ]. Мы можем начать рассмотрение данных вероятностей перехода в j (0,1) элементарном дереве T = {A(0) : A(1)[i1],i1 = 1,K, r(1) }. Положим, что для вершин (1) A(1)[1],K A(1)[i1],K, A(1)[r ], представляющих альтернативные события, определены неотрицательные вероятности перехода p(0,1) (i1) = P(A(1)[i1]/ A(0) ), (1) p(0,1) (1) + K+ p(0,1) (r ) = 1, где p(0,1) (i1) - вероятность осуществления варианта (события, альтернативы) A(1)[i1], i1 = 1,K, r(1) (под событием A(1)[i1] могут пониматься, например, определенные действия одного из агентов на рынке ГКО) при условии, что имело место первоначальное событие A(0) (например, ситуация, сложившаяся на рынке ГКО к маю (0,1) 1998 года) [104]. Если мы рассматриваем вершины дерева T в качестве состояний определенной системы, то начальный элемент A(0) может рассматриваться как состояние системы в момент, а вероятности p(0,1) (i1), i1 = 1,K, r(1) - как вероятности t(1) переходов из начального состояния A(0) в одну из вершин A(1)[1],K A(1)[i1],K, A(1)[r ] возможных состояний системы в момент времени [133].

t1 = t0 + На следующем этапе создания дерева событий, на котором появляются (1,2) (2) элементарные деревья T (i1) = {A(1)[i1] : A(2)[i1,i2 ],i2 = 1,K, r (i1) }, введем неотрицательные вероятности перехода p(i,2) (i2 ) = P(A(2)[i1,i2 ]/ A(1)[i1]), (2) 1 1 p(i,2) (1) + K + p(i,2) (r (i1)) = 1, где p(i,2) (i2 ) - вероятность осуществления альтернативы (2) A(2)[i1,i2 ] при условии, что произошло событие A(1)[i1], i1 = 1,K, r(1), i2 = 1,K, r (i1).

Учитывая, что вероятность p(i,2) (i2 ) перехода A(1)[i1] A(2)[i1,i2 ] от события A(1)[i1] к событию A(2)[i1,i2 ] не зависит от вероятности p(0,1) (i1) = P(A(1)[i1]/ A(0) ) перехода A(0) A(1)[i1] (от события A(0) к варианту A(1)[i1]), получим следующее выражение:

p(0,1,2) (i1,i2 ) = P(A(1)[i1]/ A(0) ) P(A(2)[i1,i2 ]/ A(1)[i1]) = p(0,1) (i1) p(i,2) (i2 ) (15) для вероятности p(0,1,2) (i1,i2 ) перехода A(0) A(1)[i1] A(2)[i1,i2 ] из начального состояния A(0) в конечное состояние A(2)[i1,i2 ] через среднее событие (состояние, (2) альтернативу) A(1)[i1], где i1 = 1,K, r(1), i2 = 1,K, r (i1). Затем, вводя элементарные (2,3) (3) деревья T (i1,i2 ) = { A(2)[i1,i2 ] : A(3)[i1,i2,i3 ],i3 = 1,K, r (i1,i2 ) }, получим неотрицательные вероятности перехода p(2,3) (i1,i2,i3) = P(A(3)[i1,i2,i3 ]/ A(2)[i1,i2 ]), где p(2,3) (i1,i2,i3 ) вероятность осуществления события A(3)[i1,i2,i3 ] при условии, что (2) (3) произошло событие A(2)[i1,i2 ], i1 = 1,K, r(1), i2 = 1,K, r (i1), i3 = 1,K, r (i1,i2 ) [132]. И снова, предполагая независимость вероятности p(2,3) (i1,i2,i3 ) перехода A(2)[i1,i2 ] A(3)[i1,i2,i3 ] от события A(2)[i1,i2 ] к варианту A(3)[i1,i2,i3 ], получим выражение p(0,1,2,3) (i1,i2,i3 ) = P(A(1)[i1]/ A(0) ) P(A(2)[i1,i2 ]/ A(1)[i1]) P(A(3)[i1,i2,i3]/ A(2)[i1,i2 ]) = = p(0,1) (i1) p(1,2) (i1,i2 ) p(2,3) (i1,i2,i3 ) (16) для вероятности p(0,1,2,3) (i1,i2,i3 ) перехода A(0) A(1)[i1] A(2)[i1,i2 ] A(3)[i1,i2,i3 ] из (0,1,2,3) начальной вершины A(0) дерева T в конечное состояние A(3)[i1,i2,i3 ].

(0,1,2,K,k ) На последнем шаге формирования дерева T, при введении элементарных (k -1,k ) деревьев T (ik -1,ik ) = { A(k -1)[i1,K,ik -1] : A(k )[i1,K,ik ],ik = 1,K, r(k ) (i1,K,ik -1) }, рассмотрим неотрицательные условные вероятности p(k -1,k ) (i1,K,ik ) = P(A(k )[i1,K,ik ]/ A(k -1)[i1,K,ik -1]), где p(k -1,k ) (i1,K,ik ) - вероятность того, что осуществится альтернатива A(k )[i1,K,ik ], при условии, что произошло событие (k -1) A(k -1)[i1,K,ik -1], где ik -1 = 1,K,r (i1,K,ik -1),ik = 1,K,r(k ) (i1,K,ik ). Полагая, что вероятность p(k -1,k ) (i1,K,ik ) перехода A(k -1)[i1,K,ik -1] A(k )[i1,K,ik ] из состояния (события, альтернативы) A(k -1)[i1,K,ik -1] в состояние (событие, альтернативу) A(k )[i1,K,ik ] и вероятность p(k -2,k -1) (i1,K,ik -1) = P(A(k -1)[i1,K,ik -1]/ A(k -2)[i1,K,ik -2 ]) перехода A(k -2)[i1,K,ik -2 ] A(k -1)[i1,K,ik -1] от события A(k -2)[i1,K,ik -2 ] к событию A(k -1)[i1,K,ik -1] независимы, получим, что p(0,1,K,k ) (i1,K,ik ) = = P(A(1)[i1]/ A(0) ) P(A(2)[i1,i2 ]/ A(1)[i1]) K P(A(k )[i1,K,ik ]/ A(k -1)[i1,K,ik -1]) = (17) = p(0,1) (i1) p(1,2) (i1,i2 ) K p(k -1,k ) (i1,K,ik ) для вероятности p(0,1,K,k ) (i1,K,ik ) перехода A(0) A(1)[i1] A(2)[i1,i2 ] A(3)[i1,i2,i3] K A(k )[i1,K,ik ] от начальной вершины (0,1,2,K,k ) A(0) дерева T в конечное состояние k - го уровня A(k )[i1,K,ik ] [101].

Для комплексных событий B1,K, Bn,K, BN вероятности (B) ( P(B1) = p1,K, P(BN ) = pNB) также могут быть рассчитаны с помощью следующего выражения:

Sn Sn ( (s) ( (s) ( pnB) = P(Bn ) = P A(k )[i1,K,iks) ] = p(0,1,K,k ) (i1,K,iks) ), (18) U s=1 k = (s) (1,s) (k,s) (s) ( i1 = 1,K, r,K,ik = 1,K, r (i1,K,iks) ).

Будем считать, что вероятности p( j-1, j) (i1,K,i ) перехода j A( j-1)[i1,K,i ] A( j)[i1,K,i ] от события A( j-1)[i1,K,i ] к событию A( j)[i1,K,i ], j-1 j j-1 j ( j) (0,1,K,k ) i1 = 1,K, r(1),K, i = 1,K, r (i1,K,i ), j = 1,K, k, для k - уровневого дерева T j j-могут быть оценены с использованием экспертной информации [120]. Рассмотрим ( j-1, j) простейший пример, заключающемся в анализе элементарного дерева T (i1,K,i ) с j-( j) начальной вершиной A( j-1)[i1,K,i ] и r (i1,K,i ) возможных альтернатив j-1 j-( j) ( j) A( j)[i1,K,i,1],K, A( j)[i1,K,i, r (i1,K,i )]. Число вершин, равное r (i1,K,i ) j-1 j-1 j-1 j-обозначим символом r, а альтернативные события ( j) A( j)[i1,K,i,1],K, A( j)[i1,K,i, r (i1,K,i )] обозначим A1,K, Ar. Вероятности j-1 j-1 j-( j) перехода p( j-1, j) (i1,K,i,1),K, p( j-1, j) (i1,K,i, r (i1,K,i )) обозначим p1,K, pr.

j-1 j-1 j-Будем теперь считать, что мы обладаем информацией I двух типов - ординальной информацией OI, выражаемой соотношениями вида pi > p, pl = pk, и интервальной j (неточной) информацией II, определяемой диапазонами [ai,bi], 0 ai bi 1, i = 1, r, в которых могут находиться вероятности pi, i = 1, n, рассматриваемых альтернатив A1, A2,...Ar [134]. Таким образом, нечисловая и неполная информация I = OI II, задает систему равенств и неравенств для вероятностей pi, i = 1, r, альтернатив A1, A2,...Ar (подробнее см. 2.2.1 Общая схема метода) [57].

Учет ННН-информации ограничивает множество P(r) всех возможных векторов p = ( p1,K.pr ) вероятностей альтернатив Ai, i = 1, r, до множества всех допустимых векторов вероятностей P(r, I) [100]. Таким образом, вектор вероятностей p = ( p1,K.pr ) определяется с точностью до множества P(r, I). Рандомизируя выбор вектора вероятностей p = ( p1,K.pr ) из множества P(r, I), получим случайный равномерно ~(I) p p ~ распределенный на P(r, I) вектор p = (~1(I),...~n (I )). Для случайных величин pi (I), i = 1, r, можно рассчитать математическое ожидание pi (I) = E~i (I ) и дисперсию D~i (I) p p (стандартное отклонение (I ) = D~i (I) ), которые естественно считать оценкой и p i точностью рассматриваемой величины [60].

Полученные оценки достаточны для оценки вероятностей альтернатив в элементарном дереве, но если рассматривается более сложное, многоуровневое дерево (0,1,2,K,k ) T нам необходима возможность расчета математических ожиданий и стандартных отклонений рандомизированных вероятностей перехода от начальной вершины дерева событий к его конечным вершинам [133]. Подобное расширение МРВ приводится в следующем параграфе.

§ 2.3. Некоторые особые случаи применения метода рандомизированных вероятностей 2.3.1. Последовательное применение метода При анализе возможных вариантов развития сложных финансово-экономических систем одной из основных сложностей является то, что прогноз, построенный на основании только исторических данных, часто не учитывает тех факторов, которые могут начать влиять на систему в будущем [36]. При последовательном применении МРВ на протяжении нескольких шагов (периодов) возникает необходимость найти суммарную погрешность оценок на последнем шаге. Примером такой ситуации может служить принятие субъектами решений в зависимости от того, какие действия были предприняты ранее (на предыдущих шагах). В данном разделе рассматривается обобщенный МРВ, применяемый для прогнозирования повторяющихся действий (событий) (подробнее см.

[104]). Рассмотрим одну из возможных последовательностей (будем считать, что в момент (на шаге) t0 был выбран вариант Ai, в t1 - A2, и т.д.). Получим последовательность (A0, A1,K, An ), где A0 - состояние в начальный момент t0, An - в конечный tn.

~ ~ Случайные вероятности p1,..., pn перехода от предыдущего состояния Ai к ~ ~ последующему Ai+1 p1,..., pn независимы в совокупности. Введем следующие обозначения: E~i = µi, D~i =. Вероятность перехода из начального состояния A0 в p p i завершающее последовательность состояние An представляет собой произведение n ~ ~ ~ ~ p = p1 K pn = pi [58].

i=~ ~ ~ Вычислим математическое ожидание p, учитывая независимость p1,..., pn :

n n n ~ E~ = E( pi ) = E~i = µi. (19) p p i=1 i=1 i=~ Рассчитаем дисперсию случайной величины p :

n n n n ~ ~ D~ = E~2 - (E~)2 = E( pi )2 - (E pi )2 = E(~i 2 ) - p p p p (E~i )2. Поскольку p i=1 i=1 i=1 i=D~i = E(~i2 ) - (E~i )2, и E(~i2 ) = D~i + (E~i )2 = + µi2, то p p p p p p i n n D~i = (i2 + µi2 ) - p µi2. (20) i=1 i=Рассмотрим теперь взаимную зависимость двух возможных последовательностей ( ( ( ( A(1) и A(2), где A(1) = (A0, A1,K, Ak, Ak1),K, An1) ), A(2) = (A0, A1,K, Ak, Ak2),K, An2) ).

+1 +~ ~ ~ ~ ~ ~ Обозначим pi = P(Ai ), i = 1, k, p(1) = P(A(1) ), pl(2) = P(Al(2) ), j,l = k +1, n. Элементы j+1 j+1 +1 +( ( ( ( ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ каждой из последовательностей p1,..., pk, pk1),..., pn1) и p1,..., pk, pk2),..., pn2) независимы в +1 +( ( ~ ~ совокупности, но случайные величины pk1), pk2) зависимы и могут иметь ненулевой +1 +коэффициент корреляции: cov(~k1), pk2) ) 0.

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 19 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.