WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 12 |

2.4.2 Метод, основанный на определении клеточной размерности Из формулы, определяющей меру величины множества Md, следует, что асимптотически, в пределе при малых, N() ~ 1/D [47] можно определить фрактальную размерность, измерив угловой коэффициент графика ln N() как функции от ln (Рисунок 21).

График в дважды логарифмических координатах зависимости N() = -D ln N() ln Рисунок 21.

Размерность D, определяемую путем подсчета числа клеток, или ячеек, необходимых для покрытия множества в зависимости от размера клетки, принято называть размерностью, определяемой по подсчету клеток, или клеточной размерностью.

2.4.3 Метод, основанный на определении стандартного отклонения для разных степеней усредненияДля временного ряда {xt: t = 1,2...}можно определить агрегированные временные серии m. Агрегирование производиться по формуле:

km xk xt ( )(m) m t =km-(m-1) [48] Получаем агрегированный временной ряд {(хk)(m): k = 1,2...}.

Агрегирование временной серии рассматривается как метод статичной временной шкалы.

Для самоподобного временного ряда стандартное отклонение агрегированного ряда выражается:

Var1/2(x(m)) = Var1/2(x)/m [49] где : Н = 1- /2 (Н – показатель Херста).

Можно определить показатель Херста Н, измерив угловой коэффициент графика lg Var1/2(x(m)) как функции от lg m (Рисунок 22).

График в дважды логарифмических координатах зависимости Var1/2(x(m)) = Var1/2(x)/m lg Var1/2(x(m)) Рисунок 22. lg m Суть метода в том, что берется агрегированный временной ряд и для разных степеней усреднения считается вариация.

Описание данного метода и результаты его применения приводиться в работах Battena J., Ellis C. Scaling Foreign Exchange Volatility. School of Accounting & Finance Deakin University, 2001; и Battena J., Ellis C. Scaling Relationships of Gaussian Processes. School of Accounting & Finance Deakin University, 2001.

3. Анализ фрактальных свойств российского фондового рынка 3.1 Сравнение распределения прибыли на российском фондовом рынке на основании индекса RTS и нормального закона распределения Проведем исследование распределения прибыли российского фондового рынка, базируясь на работе Тернера и Вейгеля (Turner, Weigel, 1990) и используя дневной индекс «Российской Торговой Системы» (RTS) за период: с сентября 1995 года по май 2004 года41.

3.1.1 Построение частотного распределения прибыли российского фондового рынка В Приложении №1 произведена подготовка данных для исследования, на основании которых будет построено частотное распределение.

Построим гистограмму частотного распределения прибыли российского фондового рынка (f RTSt) на 100 интервалах.

Первоначально определим шаг – обозначим h:

upper - lower h := k где k – количество интервалов, upper – наибольшее целое значение RTSt, следующее за max(RTSt), lower – наименьшее целое значение RTSt, следующее за min(RTSt).

k = upper = 7 => h = 0.lower = -Зададим интервал следующим образом: intj = lower + h·j, где j = 0…k.

Источник: Сайт «Российской Торговой Системы» - www.rts.ru.

На Рисунке 23 представлена полученная гистограмма частотного распределения RTSt ( f RTSt) за исследуемый период и гистограмма частотного распределение гауссовых случайных чисел (fnorm).

Частотное распределение прибылей по индексу RTS с сентября 1995 года по май 2004 года: нормальное распределение и действительные прибыли Рисунок 23.

Также на Рисунке 24 приведем гистограмму распределения вероятности реализации RTSt (pRTSt) за исследуемый период и гистограмму распределения вероятности гауссовых случайных чисел (pnorm).

Распределение вероятности дневных прибылей по индексу RTS с сентября 1995 года по май 2004 года: нормальное распределение и действительные прибыли Рисунок 24.

Из Рисунка 23 и 24 видно, что присутствует высокий пик и толстые хвосты. Также значения прибыли встречаются при стандартном отклонении значительно большем, чем 3 на обоих хвостах. Причем, вероятность реализации прибыли на уровне 3 стандартных отклонения в 1.972 больше, чем для нормального распределения при соответствующих условиях.

Для большей наглядности отличий частотного распределения прибылей российского фондового рынка и гауссовых случайных величин, а также для очевидности асимметрии в частотном распределении прибылей, приведем разность частот на Рисунке 25 и разность вероятностей на Рисунке прибылей и гауссовых величин.

Разности частот дневных прибылей по индексу RTS с сентября 1995 года по май 2004 года и нормального распределения Рисунок 25.

Разности вероятности дневных прибылей по индексу RTS с сентября 1995 года по май года и нормального распределения Рисунок 26.

3.1.2 Динамика основных характеристик распределения прибыли российского фондового рынка Для анализа и сравнения закона распределения прибылей российского фондового рынка необходимо исследовать основные характеристики полученного закона распределения, а именно среднее значение, стандартное отклонение, асимметрию и эксцесс.

Описание каждой из характеристик распределения приведено в Приложении №2.

Расчет будем производить за каждый год с 1995 года по 2004 год.

Осуществленные расчеты приведены в Таблице 2.

Таблица 2.

Основные характеристики частотного распределения дневных прибылей по индексу RTS, с сентября 1995 года по май 2004 года.

Период времени Среднее Стандартное Асимметрия Эксцесс значение отклонение сентябрь-декабрь -0.00228 0.021 -0.991 3.1995 года 1996 год 0.00352 0.033 0.234 3.1997 год 0.00275 0.032 -0.525 4.1998 год -0.0076 0.049 0.328 2.1999 год 0.00372 0.041 0.236 1.2000 год -0.00022 0.034 0.026 1.2001 год 0.00236 0.021 -0.386 2.2002 год 0.00132 0.02 0.019 1.2003 год 0.00183 0.019 -1.217 5.январь-май 2004 года 0.00049 0.017 -1.092 2.Весь период: сентябрь 0.00082 0.032 -0.032 4.1995 года – май 2004 года Источник: Расчеты произведены автором на основе данных, приведенных в Приложении №1.

Из Таблицы 2 видно, что на всех рассматриваемых интервалах времени, охватывающих всю историю существования современного российского фондового рынка, распределение дневных прибылей по индексу RTS значительно отличается от нормального распределения. Распределение дневных прибылей характеризуется преимущественно незначительной отрицательной асимметрией и большой плотностью в окрестности среднего значения, а также в области хвостов (очень больших прибылей и убытков).

Похожий результат был получен Тернером и Вейгелем (1990) для прибылей американского фондового рынка.

3.1.3 Вывод Данное исследование показывает, что распределение прибыли российского фондового рынка отличаются от нормального распределения. Что не является неожиданным, так как исследования распределения прибыли проводились на всех основных фондовых рынках (Петерс (1996)): США (месячным прибылям по индексу S&P 500 с января 1950 года по июль года); Англия (месячным прибылям по индексу MSCI с января 1959 года по февраль 1990 года); Япония (месячным прибылям по индексу MSCI с января 1959 года по февраль 1990 года); Германия (месячным прибылям по индексу MSCI с января 1959 года по февраль 1990 года) – и результаты однозначно свидетельствуют о несоответствии нормального распределения реальному распределению прибыли. Исследование Петерса (1996) утверждает, что прибыли фондового рынка имеют фрактальное распределение (распределение Парето).

Таким образом, в соответствии с полученными данными, можно предположить, что прибыли российского фондового рынка также имеют фрактальное распределение.

3.2 Анализ свойств симметрии и периода памяти российского фондовом рынке 3.2.1 R/S-анализ российского фондовом рынке При анализе рынка будем использовать логарифмические прибыли, определенные первой разностью логарифмов значений индекса RTS (rts), и рассчитанные в Приложении №1. Для R/S-анализа логарифмические прибыли более подходящие, чем широко используемые процентные изменения значений индекса. Размах, используемый в R/S-анализе, есть накопленное отклонение от среднего, а логарифмические прибыли складываются в накопленную прибыль, чего нельзя сказать о процентных изменениях.

Мы проведем исследование на двух диапазонах приращения: ряд дневных значений индекса RTS и ряд месячных значений индекса RTS. Это делается для того, чтобы определить существуют ли краткосрочные зависимости марковского типа внутри месячного диапазона прибылей.

Больший диапазон приращений не приемлем, так как выборка станет незначительной, и полученные с ее использованием результаты станут сомнительными.

Анализ будет проводиться по двум периодам:

1) Ряд значений индекса RTS, зафиксированных на протяжении 10 лет, которые преобразованы в 2175 дневных логарифмических прибылей или 104 месячных логарифмических прибылей;

2) Ряд значений индекса RTS, зафиксированных с 5 мая 1999 года по 17 мая 2004 года, то есть период развития российского фондового рынка после кризиса, которые преобразованы в 1259 дневных логарифмических прибылей или 60 месячных логарифмические прибыли.

Оценивать показатель Херста (Н) для полного диапазона данных неправильно ввиду того, что ряд имеет конечную память и начинает следовать случайным блужданиям. Теоретически процесс с долговременной памятью предполагается берущим начало из бесконечно удаленного прошлого. Но в теории хаоса утверждается, что в любой нелинейной системе, в ее движении, всегда существует точка, где теряется память о начальных условиях. Эта точка «потери» аналогична концу естественного периода системы. Исходя из этого предполагается, что процессы с долговременной памятью в большинстве систем не бесконечны – они имеют предел42. Сколь долга эта память, зависит от структуры нелинейной динамической системы, которая порождает Вильямс Б. Торговый хаос. М.: ИК Аналитика, 2000.

фрактальный временной ряд. По этой причине необходимо строить регрессию на конце каждого диапазона данных, и из анализа полученных оценок Н можно делать вывод о процессе с долговременной памятью.

Необходимо определиться с достаточным для анализа количеством данных. Федер говорит, что имитация с количеством наблюдений менее может быть поставлена под вопрос, но при этом не указывает – сколько должно быть экспериментальных точек для адекватной оценки. Петерс считает, что количество данных достаточно, когда естественный период системы может быть легко различим. Когда в распоряжении имеются различные циклы данных, доступные для анализа, и это количество должно быть достаточным. В дополнение к этому теория хаоса утверждает, что достаточно данных десяти циклов43. Если можно оценить длину цикла, то тогда соответственно использовать 10-цикловый общий курс как совокупность адекватных данных.

3.2.1.1 R/S-анализ прибылей российского фондового рынка за период с 1 сентября 1995 года по 17 мая 2004 года Начнем с применения R/S-анализа к дневным данным индекса RTS за 10летний период. На Рисунке 27 показана кривая R/S в двойной логарифмической шкале, полученная описанным в разделе 1.4.1 методом. Все расчеты приведены в Приложении №3.

Вильямс Б. Новые измерения в биржевой торговле. М.: ИК Аналитика, 2000.

R/S-анализ: дневные прибыли по индексу RTS с сентября 1995 года по май 2004 года Рисунок 27.

Прямые на Рисунке 27 соответствуют Н = 0.782 и Н = 0.5. Процесс с долговременной памятью наблюдается приблизительно в продолжение торговых дней или 10 календарных месяцев (на Рисунке 27 это значение по оси абсцисс приблизительно 2.33). После этой точки график начинает следовать случайным блужданиям при Н = 0.5 – это отчетливо видно, так как график начинает резко отклоняться от первоначально установившейся траектории, соответствующей Н = 0.782.

В Таблице 3 представлены результаты регрессии с использованием t, меньшего или равного 211 торговым дням, и по всей выборке.

Таблица 3.

Описание регрессии по двум интервалам: внутри средней длины цикла и по всем значениям дневных прибылей за рассматриваемый период.

Описание регрессии Регрессия до t = 211 Регрессия до t = торговых дней торговых дней Константа -0.163 0.Коэффициент при lg(t) (Н) 0.782 0.R2 0.96563 0.Стандартная ошибка 0.06137 0.По регрессии внутри среднего цикла Н = 0.782 ± 0.0614, а по всей выборке оценка Н = 0.487 ± 0.0606, что соответствует случайному блужданию, то есть наблюдения становятся независимыми (случайными), и эффект памяти рассеивается – это подтверждает, что средняя длина цикла, или период для дневных прибылей российского фондового рынка по индексу RTS равняется 211 торговым дням или 10 календарным месяцам. Это именно средняя величина, поскольку система непериодична и фрактальна.

На Рисунке 28 представлены величины Н, рассчитанные по регрессиям, включающим все предыдущие значения прибыли до расчетного момента.

R/S-анализ: оценка длины цикла дневных прибылей по индексу RTS с сентября 1995 года по май 2004 года Рисунок 28.

Пик явно наблюдается при значении 211 торговых дней или календарных месяцев с Н = 0.782, потому что только после данного значения система монотонно убывает, стремясь к значению Н = 0.5. Это оценка показателя Херста для дневных прибылей по индексу RTS, которая обозначена на Рисунке 28 первой вертикальной линией. Две последующие вертикальные линии (от t = 724 (31 июля 1998 года) до t = 934 (3 июня 1999 года)) показывают отчетливо выделяющийся временной интервал, где происходит смена тенденции поведения оценки показателя Херста – она начинает возрастать, и данная тенденция продолжается в течение средней длины цикла:

211 торговых дней, после чего система снова начинает монотонно убывать, стремясь к значению Н = 0.5. Данный интервал соответствует российскому кризису 1998 года.

Теперь применим R/S-анализа к месячным данным индекса RTS за 10летний период. На Рисунке 29 показана кривая R/S в двойной логарифмической шкале, все расчеты приведены в Приложении №4.

R/S-анализ: месячные прибыли по индексу RTS с сентября 1995 года по май 2004 года Рисунок 29.

Прямые на Рисунке 29 соответствуют Н = 0.801 и Н = 0.5. Процесс с долговременной памятью наблюдается приблизительно в продолжение календарных месяцев (на Рисунке 29 это значение по оси абсцисс приблизительно 0.95). После этой точки график начинает следовать случайным блужданиям при Н = 0.5 – график начинает резко отклоняться от первоначально установившейся траектории, соответствующей Н = 0.801.

В Таблице 4 представлены результаты регрессии с использованием t, меньшего или равного 10 календарным месяцам, и по всей выборке.

Таблица 4.

Описание регрессии по двум интервалам: внутри средней длины цикла и по всем значениям месячных прибылей за рассматриваемый период.

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 12 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.