WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 12 |

Для калибровки временных измерений Херст ввел безразмерное отношение посредством деления размаха на стандартное отклонение наблюдений. Этот способ анализа стал называться методом нормированного размаха (R/S -анализ). Херст показал, что большинство естественных явлений, Hurst H. E., Long-term Storage of Reservoirs. Transactions of the American Society of Civil Engineers 116, 1951.

включая речные стоки, температуры, осадки, солнечные пятна следуют «смещенному случайному блужданию» — тренду с шумом. Сила тренда и уровень шума могут быть оценены тем, как изменяется нормированный размах со временем.

Метод Херста применим и для изучения временных рядов в экономике и на рынках капитала, и позволяет выяснить, являются ли эти ряды также смещенными случайными блужданиями.

Прежде всего необходимо определить размах:

t xt, N ei ( - MN ) i =[40] где xt,N – накопленное отклонение за N периодов, ei – прирост в году i, МN – среднее ei за N периодов.

Тогда размах становится разностью между максимальным и минимальным уровнями накопленного отклонения, R = max(xt,N) - min(xt,N) [41] где R – размах отклонения xt,N, mах(xt,N) – максимальное значение для xt,N, min(xt,N) –минимальное значения для xt,N.

Для сравнения различных типов временных рядов Херст разделил этот размах на стандартное отклонение исходных наблюдений. Этот «нормированный размах» должен увеличиваться со временем. Херст ввел следующее соотношение:

R/S=(a·N)H [42] где R/S – нормированный размах, N – число наблюдений, а – константа, Н – показатель Херста.

В соответствии со статистической механикой показатель Н должен был равняться 0.5, если ряд представляет собой случайное блуждание. Другими словами, размах накопленных отклонений должен увеличиваться пропорционально квадратному корню из времени N. Когда Н отличается от 0.5, то это значит, что наблюдения не являются независимыми. Каждое наблюдение несет память о всех предшествующих событиях. Это не кратковременная память, которую часто называют «марковской». Это другая память – долговременная, теоретически она сохраняется навсегда. Недавние события имеют влияние большее, чем события отдаленные, но остаточное влияние этих последних всегда ощутимо. В долговременном масштабе система, которая дает статистику Херста, есть результат длинного потока взаимосвязанных событий. То, что случается сегодня, влияет на будущее. То, где находится система теперь, определяется тем, где она была в прошлом.

Время оказывается важным фактором. Сила этого стремления постепенно ослабевает – до тех пор, пока все его цели и намерения не сведутся к нулю.

Включение «стрелы времени» невозможно в стандартной эконометрике, которая предполагает ряды инвариантными по отношению к времени. В противоположность этому находим, что время – итеративный процесс.

Влияние настоящего на будущее может быть выражено корреляционным соотношением35:

С = 22Н-1 – 1 [43] где С – мера корреляции, Н – показатель Херста.

Имеются три различных классификации для показателя Херста:

1) Н = 0.5, Указывает на случайный ряд. События случайны и некоррелированны, С = 0.

Настоящее не влияет на будущее. Функция плотности вероятности может быть нормальной кривой, однако это не обязательное условие. R/S-анализ может классифицировать произвольный ряд, безотносительно к тому, какой вид распределения ему соответствует.

2) 0 Н< 0.5, Данный диапазон соответствует антиперсистентным, или эргодическим, рядам. Такой тип системы часто называют – «возврат к среднему». Если система демонстрирует рост в предыдущий период, то скорее всего, в следующем периоде начнется спад. И наоборот, если шло снижение, то Вывод формулы меры корреляции приведен в диссертационной работе Pancham S., Evidence of the Multifractal Market Hypothesis Using Wavelet Transforms. Florida International University, 1994.

вероятен близкий подъем. Устойчивость такого антиперсистентного поведения зависит от того, насколько Н близко к нулю. Чем ближе его значение к нулю, тем ближе С к -0.5, или отрицательной корреляции. Такой ряд более изменчив, или волатилен, чем ряд случайный, так как состоит из частых реверсов спад-подъем. Несмотря на широкое распространение концепции возврата к среднему в экономической и финансовой литературе, до сих пор было найдено мало антиперсистентных рядов.

3) 0.5 < Н < 1.0.

Имеем персистентные, или трендоустойчивые ряды. Если ряд возрастает (убывает) в предыдущий период, то вероятно, что он будет сохранять эту тенденцию какое-то время в будущем. Тренды очевидны. Трендоустойчивость поведения, или сила персистентности, увеличивается при приближении Н к 1, или 100% корреляции (С = 1). Чем ближе Н к 0.5, тем более зашумлен ряд и тем менее выражен его тренд. Персистентный ряд – это обобщенное броуновское движение, или смещенные случайные блуждания. Сила этого смещения зависит от того, насколько Н больше 0.5.

Персистентные временные ряды являют собой более интересный класс, так как оказалось, что они не только в изобилии обнаруживаются в природе, – это открытие принадлежит Херсту, – но и свойственны рынкам капитала.

2.4.1.2 Оценка показатель Херста Прологарифмируем соотношение R/S=(a·N)H:

log(R/S) = Н·(log(N) +log(a)) [44] Если в двойных логарифмических координатах найти наклон R/S как функцию от N, то тем самым получим оценку Н. Эта оценка не связана с какими-либо предположениями относительно лежащего в основе распределения.

Для очень большого количества наблюдений N можно ожидать сходимости ряда к величине Н = 0.5, так как эффект памяти уменьшается до того уровня, когда становится незаметным. Другими словами, в случае длинного ряда наблюдений можно ожидать, что его свойства станут неотличимы от свойств обычного броуновского движения, или простого случайного блуждания, поскольку эффект памяти рассеивается. Регрессия в этом случае должна выполняться до того как Н приблизится к 0.5, так как корреляционная мера (C) не применима ко всем без исключения приращениям.

Важно напомнить, что корреляционная мера (C) не имеет отношения к автокорреляционной функции гауссовских случайных переменных. Последняя предполагает гауссовские или почти гауссовские свойства лежащего в основе распределения – хорошо знакомую колоколообразную кривую.

Автокорреляционная функция хорошо работает в определенных краткосрочных зависимостях, однако имеет тенденцию преуменьшать долгосрочные корреляции в негауссовских рядах.На Рисунке 16 в двойных логарифмических координатах представлена кривая зависимости R/S от N для Н = 0.5, построенная по данным, полученным с помощью генератора псевдослучайных чисел с гауссовским выходом, и показывает Н = 0.55 ± 0.1. Эта оценка немного выше, чем ожидалось, но эти псевдослучайные числа сгенерированы детерминистическим алгоритмом. Это может быть причиной смещения. Важно заметить, что R/S-анализ – это исключительно устойчивый метод. В его основе нет предположения о гауссовском распределении. Найденное значение Н = 0.5 не является доказательством того, что налицо гауссовское случайное блуждание, оно доказывает только то, что это процесс, который отличается короткой памятью.

Другими словами, любая независимая система, гауссовская или какая-либо другая, может продуцировать Н = 0.5.

Полное математическое объяснение того, почему автокорреляционная функция не дает хороших результатов в процессах с долговременной памятью, описано в статье Мандельброта - Mandelbrot B., Statistical Methodology for Non-Periodic Cycles:From the Covariance to R/S Analysis. Annals of Economic Social Measurement 1, 1972.

R/S-анализ: случайные гауссовские числа. Фактическое значение H=0.5,оценка Н=0.Рисунок 16. Источник: Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. М.: Мир, 2000. – с.97.

На Рисунке 17 показана аналогичная кривая для Н = 0.72 – значения, часто наблюдаемого в природных процессах. Эти данные были получены аппроксимацией обобщенного броуновского движения. Такой ряд получен, с учетом памяти о 200 наблюдениях. Данные имитируют естественный цикл из 200 наблюдений.

R/S-анализ: фрактальное броуновское движение.

Фактическое значение H=0.72, оценка Н=0.Рисунок 17. Источник: Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. М.: Мир, 2000. – с.98.

Когда превышается N = 200 (log(200) = 2.3), тогда R/S-наблюдения становятся сбивчивыми и случайными. Это свойство R/S-анализа позволяет определить среднюю длину цикла системы. В терминах нелинейной динамики систем средняя длина цикла есть длительность, по истечении которой теряется память о начальных условиях.

На Рисунке 18 показана аналогичная кривая, построенная для Н = 0.9.

Действительная Н в этом случае оказалась немного ниже, но в допустимых пределах.

R/S-анализ: фрактальное броуновское движение.

Фактическое значение H=0.9, оценка Н=0.Рисунок 18. Источник: Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. М.: Мир, 2000. – с.98.

2.4.1.3 Эмпирический закон Херста Херст предложил также формулу для оценки величины Н по значению R/S:

H = log(R/S)/log(n/2) [45] где n – количество наблюдений.

В этой формуле предполагается, что константа а из соотношения log(R/S) = Н·(log(N) +log(a)) равна 0.5.

Федер показал, что этот эмпирический закон имеет тенденцию преувеличивать Н, когда оно больше 0.7, и, наоборот, преуменьшать, если Н 0.4, однако для коротких рядов, где регрессия невозможна, этот эмпирический закон может быть использован как разумное приближение.2.4.1.4 Взаимосвязь фрактальной размерности и показателя Херста Фрактальная размерность временного ряда, или накопленных изменений при случайном блуждании, равна 1.5. Фрактальная размерность кривой линии равна 1, а фрактальная размерность геометрической плоскости равна 2. Таким образом, фрактальная размерность случайного блуждания лежит между кривой линией и плоскостью.

Показатель Херста может быть преобразован во фрактальную размерность с помощью следующей формулы:

D = 2-H [46] Таким образом, если Н = 0.5, то D = 1.5. Обе величины характеризуют независимую случайную систему. Величина 0.5 < Н 1 будет соответствовать фрактальной размерности, более близкой к кривой линии. Это персистентный временной ряд, дающий более гладкую, менее зазубренную линию, нежели случайное блуждание. Антиперсистентная величина Н (0 < Н < 0.5) дает соответственно более высокую фрактальную размерность и более прерывистую линию, чем случайное блуждание, и, следовательно, характеризует систему, более подверженную переменам.

2.4.1.5 Обоснованность оценки Н Даже если найдена аномальная величина Н, закономерен вопрос, обоснована ли ее оценка. Можно усомниться в том, достаточно ли было данных, или даже – работает ли вообще R/S-анализ. Для решения этого Федер Е., Фракталы. М.: Мир, 1991.

вопроса предлагается следующий простой тест, основанный на тесте, разработанном Шейнкманом и Ле Бароном для корреляционной размерности38.

В сущности оценка Н, которая значительно отличается от 0.5, имеет два возможных объяснения:

1) В изучаемом временном ряду имеется долговременная память.

Каждое наблюдение коррелирует до некоторой степени с последующими наблюдениями.

2) Такого рода анализ сам по себе несостоятелен, и аномальная величина Н не означает, что имеет место эффект долговременной памяти.

Может оказаться, что существует нехватка данных для обоснованного теста (при этом не существует четких критериев того, сколько данных необходимо). Тем не менее, в этом случае изучаемый ряд как ряд независимых случайных переменных либо а) заключает в себе Н, отличное от 0.5, либо б) представляет собой независимый процесс с толстыми хвостами, описанный Кутнером39.

Можно проверить обоснованность результатов путем случайного перемешивания данных, в результате чего порядок наблюдений станет полностью отличным от исходного ряда. Ввиду того, что наблюдения остаются теми же, их частотное распределение также останется неизменным.

Далее необходимо вычислить показатель Херста этих перемешанных данных.

Если ряд действительно является независимым, то показатель Херста не изменится, поскольку отсутствовал эффект долговременной памяти, то есть корреляции между наблюдениями. В этом случае перемешивание данных не оказывает влияния на качественные характеристики данных.

Если имел место эффект долговременной памяти, то порядок данных весьма важен. Перемешанные данные, разрушают структуру системы. Оценка Н при этом окажется значительно ниже и будет приближаться к 0.5, даже если частотное распределение наблюдений не изменится.

Sheinkman J. A., LeBaron B., Nonlinear Dynamics and Stock Returns. Journal of Business 62, 1989.

Cootner P., Comments on the Variation of Certain Speculative Prices.Cambridge: MIT Press, 1964а.

Сначала перемешаем случайный ряд, который имел значение Н = 0.5.

На Рисунке 19 в двойных логарифмических координатах представлены перемешанный и неперемешанный ряды. Между ними фактически нет разницы. Перемешанный ряд дал оценку Н = 0.58. Перемешивание на самом деле даже увеличило оценку Н; это говорит о том, что эффект долговременной памяти отсутствовал.

Тест на перемешивание для R/S-анализ: случайные гауссовские числа.

Для неперемешанных данных Н=0.5, для перемешанных Н=0.Рисунок 19. Источник: Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. М.: Мир, 2000. – с.101.

На Рисунке 20 в двойных логарифмических координатах представлены неперемешанный ряд (полученный при Н = 0.9) и тот же ряд – перемешанный.

Исходный ряд дал результативную оценку Н = 0.87, перемешанный – Н = 0.52.

Такое падение величины Н говорит о том, что при перемешивании была разрушена структура процесса. Перемешанный ряд остался не нормально распределенным, но процесс перемешивания сделал данные независимыми.

Это доказывает утверждение Мандельброта о том, что R/S-анализ работоспособен безотносительно к распределению временного ряда.

Тест на перемешивание для R/S-анализ: фрактальное броуновское движение.

Для неперемешанных данных Н=0.86, для перемешанных Н=0.Рисунок 20. Источник: Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. М.: Мир, 2000. – с.102.

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 12 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.