WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 12 |

Фрактальные распределения имеют две другие интересные характеристики. Мандельброт назвал первую «Иосиф-эффектом». Это название обязано тенденции фрактальных распределений иметь тренды и циклы.

Вторую характеристику Мандельброт назвал «Ной-эффект» – это синдром бесконечной дисперсии. Такие системы склонны к внезапным переменам.

2.3.2 Одномерное случайное блуждание Пусть – не фиксированная величина. Зададим ее гауссовым, или нормальным, распределением вероятностей ( ) p, e [18] Процесс случайного блуждания можно описать следующим образом. На каждом интервале длительностью длина шага выбирается случайным образом и вероятность того, что заключено между и +d, равна p(, ) d.

Последовательность таких чисел (длин шагов) {i} является набором независимых гауссовых случайных чисел. Дисперсия этого набора равна - [19] Определенное имеет нулевое среднее значение и дисперсию |2|=1.

На Рисунке 12 показана последовательность стандартных гауссовых случайных чисел. Последовательность 1,2, … определяет последовательность длин шагов случайного блуждания.

Последовательность независимых гауссовых случайных чисел с нулевым средним значением и единичной дисперсией t 0 500 1000 1500 2000 t Рисунок 12.

Накопленное отклонение независимых гауссовых случайных чисел х определяется n - () x t n i i = [20] Кривая на Рисунке 13 показывает изменение накопленного отклонения во времени.

Накопленное отклонение независимых гауссовых случайных чисел с нулевым средним значением и единичной дисперсией xt 0 500 1000 1500 2000 t Рисунок 13.

В пределе произвольно малой длительности шага набор случайных чисел переходит в случайную функцию х(t). График случайной функции выглядит подобно кривой на Рисунке 13 и его называют диаграммой случайной функции х(t). Мандельброт называет данную диаграмму функцией Брауна и обозначает ее B(t).

На практике броуновское движение наблюдается с конечным разрешением, поэтому необходимо рассмотреть случай, когда реализация процесса регистрируется через каждый промежуток времени b·, где b – некоторое произвольное число. В таком случае приращение равно сумме b независимых приращений.

Совместная плотность вероятности представляет собой произведение b плотностей вероятности для каждой из переменных по отдельности, поскольку эти приращения статистически независимы. Приращения в количестве b должны складываться в полное приращение, и интегрирование по всем возможным комбинациям приводит к следующему выражению для плотности вероятности значений :

- 2b () p, b e 2 b [21] Какое бы число b микроскопических временных шагов ни разделяло моменты наблюдений, приращения всегда составляют гауссов случайный процесс с независимыми значениями с нулевым средним и дисперсией |2|=b.

Свойство броуновских диаграмм не менять «вида» при изменении разрешения называется масштабной инвариантностью, или симметрией, броуновских диаграмм. Это свойство подобия (скейлинга) броуновского движения выражается в явном виде, преобразованием соотношения p(, ) с помощью замены `=b1/2·, `=b·, то есть изменив масштаб времени в b раз, а масштаб длины – в b1/2 раз. В результате такого преобразования получаем следующее соотношение подобия для плотности вероятности:

p(`=b1/2·, `=b·) = b-1/2·p(, ) [22] Множитель b-1/2 обеспечивает правильную нормировку плотности вероятности:

( ) ( ) p ', ' d' p, d - - [23] Броуновский случайный процесс инвариантен в смысле распределения при преобразовании, которое меняет масштаб времени в b раз, а масштаб длины в b1/2 раз.

Преобразования, которые меняют масштабы времени и расстояния в разных пропорциях, называются аффинными, а зависимости, которые сохраняют свой вид при аффинном преобразовании, называются самоаффинными.

Накопленное отклонение х(t) – случайная функция времени t. Винер следующим образом ввел случайную функцию, описывающую броуновское движение. Рассмотрим стандартный гауссов случайный процесс с независимыми значениями {}. Пусть приращение координаты броуновской частицы определяется выражением х(t)-х(t0) ~ |t- t0|Н (t t0) [24] для любой пары моментов времени t и t0. Здесь Н=1/2 для обычного броуновского движения.

Соотношение х(t)-х(t0) ~ |t- t0|Н (t t0) служит определением случайной функции и применимо в момент t0 независимо от того, известны значения х(t) в более ранние моменты времени t < t0 или нет. Данное соотношение часто дополняют условием х(0)=0, но это лишь дело удобства. Имея определение, выраженное данным соотношением, можно найти координату х(t) по координате х(t0), выбирая случайное число из гауссова распределения, умножая его на некоторую степень приращения времени |t- t0| и складывая результат с известной координатой х(t0). Эта процедура применима и при t

Функция, определяемая данным соотношением, непрерывна, но она не имеет производных.

Преобразованная переменная х, определяемая выражением x ( t ) - x t ( ) x H t - t [25] при всех t и t0 имеет гауссово распределение вероятностей - x p ( x) e [26] с нулевым средним значением и единичной дисперсией.

2.3.3 Обобщенное случайное блуждание 2.3.3.1 Определение обобщенного броуновского движения Понятие обобщенного броуновского движения введено Мандельбротом через обобщение случайной функции х(t) путем замены показателя Н=1/2 на любое действительное число из интервала 0<Н<1; результат обобщения обозначается BН(t). Действительно обобщенными являются случаи, когда Н1/2, а случай Н=1/2 соответствует независимым приращениям и описывает броуновское движение; в этом случае используется обозначение В(t)=B1/2(t).

Обобщенный броуновский процесс имеет нулевое среднее приращение |BН(t)-BН(t0)|=0, [27] а дисперсия приращений V(t- t0) имеет вид V(t-t0)=|(BН(t)-BН(t0))2|=(|t- t0|/)2H ~ |t- t0|2H [28] Как видим, и для обычного, и для обобщенного броуновского движения со временем дисперсия растет.

Важно понять, что обобщенное броуновское движение имеет бесконечно большое время корреляции. В частности, приращения в прошлом скоррелированы с будущими приращениями: если известно приращение BН(0)-BН(-t) за период времени от -t до 0, то вероятность иметь приращение BН(t)-BН(0), усредненная по распределению прошлых приращений, равна |(BН(0)-BН(-t))·(BН(t)-BН(0))| [29] Пусть для удобства BН(0)=0 и будем использовать такие единицы измерения, чтобы выполнялись равенства = 1. Функцию корреляции будущих приращений BН(t) с прошлыми -BН(-t) можно записать в виде С(t)= |-BН(-t)·BН(t)|/|BН2(t)|=22Н-1-1, [30] нормированном на дисперсию BН.

Отметим, что при Н=1/2 корреляция прошлых и будущих приращений C(t) отсутствует при всех t, как и должно быть для случайного процесса с независимыми приращениями. Однако при Н1/2 получаем С(t)0 независимо от t. Это – замечательное свойство обобщенного броуновского движения, заключающееся в персистентности (сохранении тенденции) и антиперсистентности.

Следует заметить, что поведение статистического ряда, сгенерированного процессом обобщенного случайного блуждания, противоречит обычно допускаемым или доказываемым свойствам статистических рядов в экономике. Как правило, в эконометрике подразумевается предположение, что события могут быть скоррелированы, если они разделены во времени не более чем на t, но они непременно окажутся некоррелированными в пределе t.

Чтобы глубже понять природу обобщенного броуновского движения, необходимо реализовать этот процесс с помощью численного моделирования и получить данные, аналогичные представленным на Рисунках 1.3 и 1.4 для обычного броуновского движения. Мандельброт и Ван Несс определили случайную функцию BН(t) с нулевым средним следующим образом:

t H BH(t) (t - t') dB(t') - Г H + [31] Здесь Г(х)-гамма-функция. Согласно этому определению, значение случайной функции в момент t зависит от всех предшествующих (в моменты t'

Обозначение dB(t) для случайной переменной становится понятным, если попытаться вычислить интеграл, заменив его суммой. С тем чтобы аппроксимировать интеграл, выберем единицу измерений времени так, чтобы t принимало целочисленные значения, и разделим каждый единичный интервал времени на n малых временных шагов. Тогда переменную интегрирования можно записать как t'=i·n, где i=-,..., -2/n, -1/n, 0, 1/n,..., t/n. Приращение dB(t') исходного гауссова процесса с независимыми значениями можно теперь записать в виде n-1/2·i, где i теперь дискретная гауссова случайная переменная с нулевым средним и единичной дисперсией. Множитель n-1/2 перед учитывает перенормировку броуновских приращений при уменьшении шага по времени. Итак, получаем следующее приближенное выражение:

Hnt 2 t - i BH(t) n i n H Г + i =- [32] Очевидно, что этот ряд не сходится, а с ним расходится при t'- и интеграл в выражении BН(t). Это грубое определение случайной функции BН(t) необходимо заменить на более точное, использованное Мандельбротом и Ван Нессом. При заданном значении BН(t=0) t BH(t) - BH(0) K(t - t') dB(t') - Г H + [33] Здесь вместо простого степенного ядра, которое присутствовало в определении BН(t), появляется модифицированное ядро:

(t- t')H-1/2 при 0t't K(t- t') = [34] (t- t')H-1/2-(- t')H-1/2 при t'<0.

При t'- это ядро убывает достаточно быстро, чтобы выражение BН(t)BН(0) подходящим образом определяло случайную функцию BН(t).

Необычное свойство функции K(t)~tH-1/2 состоит в том, что эта степенная функция не имеет собственного масштаба времени, или единицы времени.

Изменяя масштаб времени на множитель b, получаем следующий масштабированный вид соотношения BН(t)-BН(0):

bt BH(b t) - BH(0) Kb t - t') dB(t') ( H 1 - Г + [35] Введем здесь новую переменную интегрирования t'=b· и воспользуемся следующим статистическим свойством гауссова процесса с независимыми приращениями: dB(t'=b·)=b1/2dB(). Используя тогда соотношение K(b·t-b·)=bH-1/2·K(t- ), получим выражение BН(b·t)-BН(0)=bH·( BН(t)-BН(0)) [36] справедливое в статистическом смысле при всех значениях b. В частности, можно положить t=1 и t = b·t и прийти к выводу, что приращение фрактальной броуновской величины, равное BН(t)-BН(0)=|t|H·( BН(1)-BН(0)) ~ |t|H, [37] статистически пропорционально |t|H. Отсюда следует, что дисперсия приращений определяется с t0=0 и t=t-t0. Именно этот результат заставляет отдавать предпочтение для BН определение BН(t)-BН(0).

2.3.3.2 Моделирование обобщенного броуновского движения При любом вычислении BН придется использовать конечное число членов, тогда суммы будут иметь смысл только на конечном интервале М целочисленных значений времени t. Для приближенного расчета интеграла необходимо разбить каждый шаг по целочисленному времени на n интервалов и получим следующее приближенное выражение:

nt t 1 BH(t) - BH(t - 1) K - n i n H Г + i =n(t-M) [38] Здесь {i} с i=1, 2,..., M,... есть набор гауссовых случайных чисел с единичной дисперсией и нулевым средним. К является модифицированным ядром.

Изменив индекс суммирования и перегруппировав члены в сумме, получим следующее выражение для дискретных приращений при обобщенном броуновском движении:

1 1 nt n(M-1) H- Hn- H (n + i)H- 2 BH(t) - BH(t - 1) i [1+ n(M+ t)-i] + - i [1+ n(M-1+ t)-i] H + i =1 i = [39] Пользуясь данным соотношением, по последовательности гауссовых случайных чисел можно составить последовательность приращений BН.

Заметим, что это приближение эквивалентно вычислению скользящего среднего, со степенной весовой функцией, от гауссова процесса. Поскольку в сумму включены лишь М целочисленных временных шагов, при t>>М приращения станут независимыми и в этом приближении BН превратится в гауссов процесс с независимыми приращениями.

Увеличение n необходимо для более точного описания поведения BН(t) на малых интервалах времени (которое здесь не очень существенно).

На Рисунке 14 приведен фрактальный шум, полученный по рассмотренному алгоритму, то есть приращения BН, определяемые как разность BН(t)=BН(t)-BН(t-1). Для обычных броуновских приращений Н=1/2, и получаемый шум является гауссовым процессом с независимыми значениями, который обычно называют белым шумом. Фрактальные шумы соответствуют Н=0,7 и Н=0,9. При увеличении Н не происходит существенной перестройки процесса. Однако более внимательный анализ показывает, что по мере увеличения Н усиливается низкочастотный шум, который приводит к большим отклонениям амплитуды (по сравнению с высокочастотными компонентами).

Приращение фрактальной броуновской функции BН (фрактальный шум),рассчитанный по рассмотренному алгоритму при М=900 и n=2: B1(t)=B0,5(t) – обычные броуновские приращения при Н=1/2; B2(t)=B0,7(t) – фрактальные приращения при Н=0,7;

B3(t)=B0,9(t) – фрактальные приращения при Н=0,9.

Рисунок 14.

На Рисунке 15 показано изменение с t фрактальной броуновской функции BН(t) при BН(0)=0. Эта функция описывает положение точки, которая начинает движение из начала координат и движется с шагами, показанными на Рисунке 14. С увеличением величины Н увеличивается амплитуда вариаций координаты положения точки и в такой же степени уменьшается шум.

Фрактальная броуновская функция BН, рассчитанная по рассмотренному алгоритму при М=900 и n=2 при условии BН(0)=0: B1(t)=B0,5(t) – обычные броуновские приращения при Н=1/2; B2(t)=B0,7(t) – фрактальные приращения при Н=0,7; B3(t)=B0,9(t) – фрактальные приращения при Н=0,9.

Рисунок 15.

2.4 Методы выявления симметрии Существует несколько методов оценки самоподобности для временного ряда:

1. R/S метод.

2. Метод, основанный на определении клеточной размерности.

3. Метод, основанный на определении стандартного отклонения для разных степеней усреднения.

Рассмотрим отдельно каждый из обозначенных методов.

2.4.1 R/S метод Способ для исследования фрактальных временных рядов был предложен Мандельбротом и базируется на исследованиях проведенных английским исследователем Херстом и носит название R/S метода. Он построен на анализе размаха параметра (наибольшим и наименьшим значением на изучаемом отрезке) и среднеквадратичного отклонения.

2.4.1.1 Показатель Херста Херст предложил новую статистику – показатель Херста (Н)34.

Этот показатель имеет широкое применение в анализе временных рядов благодаря своей замечательной устойчивости. Он содержит минимальные предположения об изучаемой системе и может классифицировать временные ряды. Он может отличить случайный ряд от неслучайного, даже если случайный ряд не гауссовский (то есть не нормально распределенный).

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 12 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.