WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 12 |

Размерность подобия Ds для прямых, плоскостей и кубов равна соответственно 1, 2 и 3.

В общем случае размерность подобия Ds определяется выражением Ds = -ln N / ln r(N) [2] 2.2 Понятие фрактальной симметрии 2.2.1 Определение фрактала Мандельброт предложил следующее пробное определение фрактала:

Фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа-Безиковича которого строго больше его топологической размерности.

Это определение в свою очередь требует определений терминов, размерность Хаусдорфа-Безиковича (D) и топологическая размерность (Dт).

Размерность Хаусдорфа-Безиковича D множества есть критическая размерность, при которой мера величины этого множества Md изменяет свое значение с нуля на бесконечность.

Топологическая размерность Dт всегда равна целому числу.

Топологическая размерность относится к топологическому свойству фигур, то есть к свойству, не изменяющемуся при любых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний (при взаимно однозначных и непрерывных отображениях). Так, окружность, эллипс, контур квадрата имеют одинаковую топологическую размерность Dт=1 и одни и те же топологические свойства, то есть эти линии могут быть деформированы одна в другую описанным образом.

Поверхность (в частности, плоскость или часть ее) - ее топологическая размерность в евклидовом пространстве Dт=2 (двумерный образ);

пространство, а также любая его ограниченная часть - имеют топологическую размерность Dт=3 (трехмерный образ, геометрическое тело).

Впоследствии Мандельброт сузил свое предварительное определение, предложив заменить его следующим30:

Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому.

Строгого и полного определения фракталов на данный момент не существует. Дело в том, что первое определение при всей правильности и Mandelbrot В., частное сообщение (1987).

точности слишком ограничительно. Оно исключает многие фракталы, встречающиеся в различных областях знания. Второе определение содержит существенный отличительный признак, наблюдаемый в эксперименте: фрактал выглядит одинаково, в каком бы масштабе его ни наблюдать. На самом деле, располагая только внешним видом и не используя никакой дополнительной информации, оценка затруднена, а в большинстве случаев невозможна.

2.2.2 Фрактальная размерность Фракталы можно рассматривать как множества точек, вложенные в пространство. Например, множество точек, образующих линию в обычном евклидовом пространстве, имеет топологическую размерность Dт=1 и размерность Хаусдорфа-Безиковича D=1. Евклидова размерность пространства равна Е=3. Так как для линии D=Dт линия, согласно определению Мандельброта, не фрактальна, что подтверждает разумность определения.

Аналогично множество точек, образующих поверхность в пространстве с Е=3, имеет топологическую размерность Dт=2 и D=2. Видим, что и обычная поверхность не фрактальна независимо от того, насколько она сложна.

Наконец, шар, или полная сфера, имеет D = 3 и Dт = 3. Эти примеры позволяют определить основные из рассматриваемых типов множеств.

Центральное место в определении размерности Хаусдорфа-Безиковича и, следовательно, фрактальной размерности D занимает понятие расстояния между точками в пространстве. Следовательно необходимо измерить «величину» множества точек в пространстве. Простой способ измерить длину кривых, площадь поверхностей или объем тела состоит в том, чтобы разделить пространство на небольшие кубы с ребром, как показано на Рисунке 10. Вместо кубов можно взять небольшие сферы диаметром. Если поместить центр малой сферы в какой-нибудь точке множества, то все точки, находящиеся от центра на расстоянии r < (1/2), окажутся покрытыми этой сферой. Подсчитывая число сфер, необходимых для покрытия интересующего множества точек, получаем меру величины множества. Кривую можно измерить, определяя число N() прямолинейных отрезков длины, необходимых для того, чтобы покрыть ее. Разумеется, для обычной кривой N() = Lo/. Длина кривой определяется предельным переходом L=N()·L0·° [3] о В пределе при 0 мера L становится асимптотически равной длине кривой и не зависит от.

Множеству точек можно поставить в соответствие и площадь. Например, площадь кривой можно определить, указывая число кругов или квадратов, необходимых для ее покрытия. Если N () - число этих квадратов, а 2-площадь каждого из них, то площадь кривой равна А=N()·2L0·1 [4] о Аналогично объем V кривой можно определить как величину V=N()·3L0·2 [5] о Измерение «величины» кривой Рисунок 10. Источник: Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991. – с. 20.

Разумеется, что для обычных кривых А и V обращаются в нуль при 0, и единственной представляющий интерес мерой является длина кривой.

Рассмотрим множество точек, образующих поверхность (Рисунок 11).

Измерение «величины» поверхности Рисунок 11. Источник: Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991. – с. 21.

Нормальной мерой такого множества служит площадь А, и имеем А=N()·2А0·0 [6] о Как нетрудно видеть, для обычной поверхности число квадратов, необходимых для ее покрытия, определяется в пределе при 0 выражением N() = А0/2, где А0-площадь поверхности.

Поверхности можно поставить в соответствие объем, образуя сумму объемов кубов, необходимых для покрытия поверхности:

V=N()·3А0·1 [7] о При 0 этот объем, как и следует ожидать, обращается в нуль.

Возникает необходимость проверить возможность поставить в соответствие поверхности длину. Формально можно принять за такую длину величину L=N()·А0·-1, [8] о которая расходится при 0. Этот результат имеет смысл, так как поверхность невозможно покрыть конечным числом прямолинейных отрезков.

Заключаем, что единственной содержательной мерой множества точек, образующих поверхность в трехмерном пространстве, является площадь.

Нетрудно видеть, что множества точек, образующих кривые, могут быть закрученными так сильно, что длина их окажется бесконечной, и, действительно, существуют кривые (кривые Пеано), заполняющие плоскость.

Существуют также поверхности, изогнутые столь причудливым образом, что они заполняют пространство. Для того чтобы можно было рассматривать и такие необычные множества точек, необходимо обобщить введенные меры величины множества.

Определяя меру величины множества точек в пространстве, выбираем некоторую пробную функцию h() = (d)·d - отрезок прямой, квадрат, круг, шар или куб – и покрываем множество, образуя меру Md = h(). Для прямолинейных отрезков, квадратов и кубов геометрический коэффициент (d) = 1, для кругов (d) = /4 и для сфер (d) = /6. Заключаем, что в общем случае при 0 мера Md равна нулю или бесконечности в зависимости от выбора d – размерности меры.

0 при d>D Md = (d)·d = (d)·N()·d [9] о при d

Называем Md d -мерой множества. Значение Md при d = D часто конечно, но может быть равно нулю или бесконечности; существенно, при каком именно значении d величина Md изменяется скачком. Заметим, что в приведенном определении размерность Хаусдорфа-Безиковича фигурирует как локальное свойство в том смысле, что эта размерность характеризует свойства множеств точек в пределе при исчезающе малом диаметре, или размере, пробной функции, используемой для покрытия множества. Следовательно, фрактальная размерность D может также быть локальной характеристикой множества. В действительности здесь существует несколько тонких пунктов, заслуживающих рассмотрения. В частности, определение размерности Хаусдорфа-Безиковича позволяет покрывать множество «шарами» не обязательно одного и того же размера при условии, что диаметры всех шаров меньше. В этом случае d-мера есть нижняя грань, то есть, минимальное значение, получаемое при всех возможных покрытиях.

В случае, когда размерность Хаусдорфа-Безиковича не является целой, тогда она называется фрактальной.

2.2.3 Фрактальная симметрия Фрактальная геометрия, созданная Мандельбротом в 1982 году31, основывается на экспериментальном факте, что в общем случае длина L произвольной кривой (которая может быть изломана в любой точке) степенным образом зависит от масштаба измерения :

L = C 1-D [10] Здесь С - размерный множитель, свой для каждой кривой, D - фрактальная размерность.

Самоподобие означает, что как вся линия, так и любой ее участок обладают одной и той же фрактальной размерностью. Если линию увеличить в раз, то для измерения новой длины ·L достаточно использовать масштаб, равный ·, то есть ·L = C(· ) 1-D [11] Дадим другую формулировку исходной аксиомы. Во первых, длину измеряют, подсчитывая число масштабов, то есть L = N(), где N( ) - необходимое число шагов, с которым масштаб обходит всю линию, при этом -D N( ) = C.

В новом масштабе, равном = ·, [12] 1-D длина будет L = C. Подставляя в выражение для L, получаем 1-D L = C 1-D. Но здесь C 1-D есть исходная длина, равная N( ), следовательно Mandelbrot B., The Fractal Geometry of Nature. New York: W. H. Freeman, 1982.

1-D L = N( ) [13] С другой стороны, L = N( ), или L = N( ). Сравнивая два последних результата, приходим к замечательному выводу:

-D N( ) = N( ) [14] В таком виде обычно записывают условие самоподобия, подразумевая под N любую функцию от своих аргументов с отличным от D показателем.

Во вторых, в формуле нового масштаба и входят равным образом, то есть переобозначение не меняет общего вида самой формулы. Можно считать масштабом, а - масштабным множителем.

Для самоподобных фракталов размерность Хаусдорфа-Безиковича D равна размерности подобия Ds.

Каждый фрагмент фрактала самоподобен, но, уменьшив всю фрактальную кривую в r раз, получим уменьшенную копию оригинала, и возможно, что оригинал нельзя будет покрыть такими уменьшенными множествами. Дело в том, что фрактальная скейлинговая инвариантность достигается только в пределе при 0.

2.3 Симметричные процессы 2.3.1 Фрактальное распределение Фрактальные распределения известны достаточно давно. В экономической литературе они носят название «Парето», или «Парето-Леви», или «устойчивые паретовские» распределения. Свойства этих распределений первоначально были изучены Леви (Levy, 1937)32. Его работа основана, в свою очередь, на наблюдениях Парето (Pareto, 1897)33, касающихся распределения доходов. Последним было обнаружено, что доход хорошо аппроксимируется логнормальным распределением, за исключением приблизительно 3% Levy P., Theorie de l`addition des variables aleatoires. Paris: Gauthier-Villars, 1937.

Pareto V., Cours d`Economie Politique. Lausanne, Switzerland, 1897.

наивысших индивидуальных доходов. На этом участке доход начинает следовать обратному степенному закону, что дает утолщение хвостов. Парето предположил, что этот утолщенный хвост, вероятно, возникает потому, что богатый может более эффективно умножать свое богатство, чем средний индивид, чтобы достичь более высокого благосостояния и более высоких доходов.

Утолщенные хвосты несут на себе влияние обратной связи. Эффект обратной связи усиливает событие и делает хвосты даже длиннее.

Перед тем как рассмотреть фрактальное распределение, приведем некоторые характеристики нормального распределения. Кривая плотности нормального распределения описывается формулой, и можно записать логарифм характеристической функции нормального распределения случайной переменной t:

ln f(t) = ·µ·t – (2/2)· t2, [15] где µ – среднее, 2 – дисперсия.

Для этого «стандартного нормального» распределения среднее равно нулю и стандартное отклонение (квадратный корень из дисперсии) равно единице. Поскольку нормальное распределение применяется, когда t является независимой, идентично распределенной (IID) случайной переменной, оно применимо к броуновскому движению и случайным блужданиям.

«Толстохвостое», островершинное распределение является характерной формой распределения Парето. Леви обобщил характеристическую функцию вероятностных распределений следующей формулой:

ln f(t) = ··t – ·|t|·(1+ ··(t/|t|)·tg(·(/2)) [16] Эта формула имеет четыре характеристических параметра:,,, ;

здесь – локальный параметр среднего, – масштабирующий параметр подгонки, например разница между дневными и недельными данными, измеряет асимметрию и может изменяться от -1 до +1. Когда = 0, распределение симметрично. Когда = +1 распределение имеет толстый хвост справа, или скошено вправо. Степень правого скоса увеличивается при приближении к +1. Обратное случается при < 0; измеряет островершинность распределения, так же как и толщину хвостов; может изменяться в диапазоне величин от 0 до 2 включительно. Только при = 2 это распределение становится эквивалентным нормальному. Полагая = 2, = 0, = 1 и = 1, получаем характеристическую функцию нормального распределения.

Полагаем распределение Парето фрактальным, потому что оно статистически самоподобно по отношению к времени. Если распределение дневных цен имеет среднюю величину m и = а, то распределение пятидневных прибылей должно иметь среднее значение 5·m и при этом должно остаться = а. Будучи выполненной, масштабная временная подгонка должна оставить форму вероятностного распределения временного ряда без изменения. Такой временной ряд называется масштабно-инвариантным.

Подобное описание применимо, если = 2 и распределение является нормальным, потому что нормальное распределение есть особый случай в семействе фрактальных распределений. Однако при, не равном 2, характеристики распределения изменяются.

Во-первых, когда 1 < 2, дисперсия становится неопределенной, или бесконечной. Дисперсия конечна и устойчива только при = 2. Следовательно, дисперсия выборки является важной информацией только в том случае, если система представляет собой случайное блуждание. С другой стороны, бесконечная дисперсия возможна и типична. Если не равно 2, дисперсия выборки как мера рассеяния или риска практически не несет никакого смысла.

Если 0 < 1, то тогда также не существует устойчивого среднего. Но редко лежит в этом диапазоне. Однако при 1 < 2 имеется устойчивая средняя величина. Нецелые в этом диапазоне соответствуют обобщенному броуновскому движению, которое характеризуется долговременными корреляциями и статистическим самоподобием. Эти движения являются фракталами.

есть фрактальная размерность пространства вероятностей временного ряда и = 1/Н [17] где Н – показатель Херста.

Заметим, что, являясь фрактальной размерностью, отличается от фрактальной размерности D. D есть фрактальная размерность временного следа, в то время как есть фрактальная размерность пространства вероятностей. D измеряет «зазубренность» временного ряда, – толщину хвостов в функции плотности вероятности.

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 12 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.