WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 17 |

F=-x (II.1) — жесткость связи, x — смещение. Под действием силы F тело совершает гармоническое колебание, когда малым напряжениям F соответствуют малые смещения x.

L = (II.2) L Величина характеризует относительное удлинение (сжатие) параметров кристаллической решетки. Если напряжение мало, то имеет место выражение = E, (II.3) которое называется — закон Гука.

При =1, =Е, что имеет место, когда L=L (с ростом пород Е растет) (Е=1010—1011 Па).

Величина Е, называется модулем Юнга или модулем упругости. Модуль сдвига = G (II.4) d = - деформация сдвига (II.5) d возникает при касательном напряжении. E и G - являются основными упругими характеристиками среды. Есть также коэффициент Пуассона, связывающий Е и G и являющийся безразмерной величиной E - 2G = (II.6) 2G Величины Е и G имеют размерность н/м2 (Си).

Закон Гука в своей линейной части (рис. 14) характеризует область упругой деформации, происходящей в малом отрезке времени (доли секунды). Однако упругое тело Гука в геологическом масштабе времени (тысячи, миллионы лет) может вести себя как пластичное тело, т.е. подчиняться нелинейным законам. Такую среду называют телом Максвелла. В общем случае деформация в твердых породах слагается из упругой f1() и пластичной f2( t), т.е. L= f1()+f2( t).

Таким образом, горные породы в разных временных масштабах могут одновременно рассматриваться и как упругие тела Гука и как пластичные тела Максвелла.

§2. Уравнение плоской волны. Анализ решения уравнения Если к горной породе приложить внешние нагрузки, вызывающие напряжение (взрыв), то произойдет деформация, смещение частиц породы на расстояние x в направлении силы F(). Так как частицы пород жестко связаны между собой таким образом, что смещение одной частицы вызывает смещение другой и т.д. (принцип домино). Произойдет распространение упругой гармонической деформации с некоторой скоростью. Найдем уравнение возникающих при этом гармонических колебаний частиц. Для простоты ограничимся вначале случаем, когда напряжение действует вдоль одной координаты x. Согласно второму закону Ньютона ma=F, (II.7) где а — ускорение, m — масса частицы, U a = (II.8) t Величина U=x — характеризует смещение частиц от некого положения равновесия. Обозначим массу частицы как произведение объема V на плотность m=V·=xyz· (II.9) Перепишем выражение (II.7) с учетом (II.8) и (II.9):

2 U U F = m = xyz (II.10) 2 t t Если силы действуют вдоль одной оси x, то сумма всех сил F будет равна сумме напряжений x, действующих на соответствующую площадь (объем) S x F = S, (II.11) x где S=xyz.

Подставим (II.11) в левую часть уравнения (II.10) и после сокращения получим:

U x =. (II.12) t x m ( = ).

V Теперь воспользуемся законом Гука (II.3):

x = Ex, U U где x = ;x = E (II.13) x x В итоге получаем волновое уравнение вида:

2 U E U = (II.14) t xE Здесь коэффициент есть не что иное как скорость распростране ния продольной волны в породе сp:

E cp = (II.15) или 2 U U = c2 (II.16) p t xЭто и есть уравнение распространения упругих гармонических колебаний части у среды вдоль координаты x, фронт которых имеет вил плоскости. Отсюда название — уравнение плоских волн.

Отметим, что в средах кроме продольных волн сp распространяются поперечные волны сs, скорость которых определяется выражением:

G cs = (II.17) Отношение сp/сs с учетом (II.6) и (II.15) равно:

cp 1 - = 2 (II.18) cs 1 - В кристаллических породах сp/сs1,71,9, в осадочных — сp/сs=1.51,4.

Продольные волны распространяются как волны сжатияразряжения; поперечные — как волны сдвига. Скорость сp больше скорости сs в 1,4—1,9 раз и зависит, как мы видим, от литологического состава пород.

Для полного определения волны необходимо задать еще начальные и граничные условия колебания. Начальные условия характеризуют состояние колеблющегося источника в начальный момент времени, т.е. при t=0.

U (x,0) = U (x) - смещение частиц среды, U = (x) - скорость смещения в начальный момент времени t.

t Граничные условия показывают характер волнового колебания на границах вдоль оси x, т.е. при x=0 и x=l:

U (0,t) =, (II.20) U (l,t) = (t) Совокупность начальных и граничных условий называется также краевыми условиями. Уравнение (II.16) представляет собой линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Его общее решение имеет вид:

x x x x U = Acost - + iAsint - + B cost + + iB sint +, (II.21) c c c c где A и B — постоянные интегрирования, зависящие от краевых условий. Первое слагаемое в правой части уравнения (II.21) выражает плоскую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси x, второе слагаемое выражает обратную, т.е. отраженную от границы l волну, возвращающуюся к источнику (рис. 15). В безграничной среде отраженной волны не будет, т.е. уравнение примет вид:

x U = Acost -, (II.22) c где А характеризует амплитуду смешения U в точке x=0, т.е. амплитуду источника возбуждения. Колебания частиц среды вдоль оси x создаются движением бесконечной плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны.

Верхняя поверхность этой плоскости называется фронтом волны. Согласно принципу Гюйгенса каждую точку, лежащую на поверхности фронта, можно рассматривать как самостоятельный источник колебаний.

В однородной среде, где скорость распространения волны по всем направлениям одинакова (с=const), положение фронта в момент времени t2=t1+t, т.е. радиус колебаний r, определяется из выражения:

r = ct (II.23) В неоднородной среде скорость волны по разным направлениям будет различна. Следовательно, и радиусы r будут также различны.

Таким образом, зная скорость в среде и положение начального фронта волны, можно построить последовательность фронтов, распространяющихся от источника воды для времени t+ t, t+2t...t+nt и т.д. Для этого каждую точку поверхности следующей линии равного времени (изохроны) можно рассматривать в качестве самостоятельного источника колебаний.

§3. Уравнение сферической волны. Анализ решения уравнения Рассмотрим более общую задачу, когда распределение плотности среды, скорости и акустического давления зависят от расстояния до некоторого источника, представляющего собой пульсирующую сферу (рис. 6).

В этом случае волны распространяются во все стороны от источника, а их фронты являются окружностями. Учитывая симметричность фронтов относительно центра источника, рассмотрение удобнее провести не в прямоугольной, а в сферической системе координат, в которой r — длина радиус-вектора, — долгота, — полярное расстояние. Источник поместим в начало координат (рис.

6). Из рисунка видно, что x = r sin cos y = r sin cos (II.24) z = r cos где:

x2 + yy r = x2 + y2 + z2, = arctg, = arctg. (II.25) x z Полученное ранее волновое уравнение плоской волны 2 U U = ct xПерепишем с учетом пространственной формы распространения колебаний:

2 2 2 U U U U = c2 + + (II.26) t x2 y2 zЗаметим, что выражение в скобках представляет собой лапласиан 2, т.е.

2 2 U U U 2 = + + (II.27) x2 y2 zили U = c22U (II.28) t Таким образом, уравнение плоской волны есть лишь частный случай общего волнового уравнения вида U (x, y, z,t) = c22U (II.29) t когда U 2U = (II.30) xДля получения волнового уравнения в сферической системе координат необходимо значение (II.24) подставить в соответствующих производных) в уравнение (II.26). Подсчитаем лапласов оператор 2U.

U U r (r ) r = ; = 2r = 2x (II.31) x r x x x или r x = x r Таким же путем найдем r y r z = и = (II.32) y r z r Следовательно, U U x U U y U U z = ; = ; = (II.33) x z r y z z z z r Найдем вторые производные по x. По правилу Лейбница ' '' ( ) UV = U V + UV, т.е.

2 U U x U x U x = = + x2 x r r xr r r x r С учетом (II.31) найдем первое слагаемое правой части последнего уравнения U x U x x U x = =.

2 x r r r r r r r r Теперь вычислим второе слагаемое того же уравнения r 1 r - x x U x U U r2 - x = = 3, (II.33) r x r r r r r r x так как =.

x r Определяя аналогичным образом производные по y и по z получим выражение для лапласиана 2:

2 2 U U x2 U r - x= + ;

2 x2 r2 r r r 2 2 U U y2 U r - y= + ; (II.34) y2 r2 r2 r r 2 2 U U z2 U r - z= + ;

2 2 z2 r r r r Подставляя эти выражения в уравнение (II.26) получим:

2 U 2 U 1 (rU ) 2U = + = (II.35) r2 r r r rПодставив (II.35) в (II.), получим:

2 U c2 (rU ) =. (II.36) 2 t r r 2 U (rU ) Поскольку r =, имеем окончательно t r2 (rU ) (rU ) = c2. (II.37) t rЭто и есть волновое уравнение волны в сферической системе координат. Его общее решение имеет вид:

U = (r - ct) + (r + ct) (II.38) r r Вещественная часть этого решения имеет вид:

A r B r U = cost - + cost +, (II.39) r c r c где А и В — постоянные интегрирования, зависящие от начальных и граничных условий.

Так же как и в случае плоской волны, первый член в правой части уравнения (II.39) соответствует волне, распространяющейся от источника (прямой), второй член соответствует волне, бегущей в обратном направлении (отраженной). В безграничной среде отраженной волны не будет и уравнение (II.39) примет вид:

A r U = cost -. (II.40) r c §4. Акустическое давление и колебательная скорость плоской волны Введение понятия звукового потенциала U позволяет определить ряд важных параметров плоской волны. Потенциал U в безграничной среде определяется выражением:

x U = Acost -. (II.41) c Производная потенциала U по времени, умноженная на плотность среды, характеризует акустическое давление P плоской волны:

U x P = - = Asint - (II.42) t c Амплитуда акустического давления Pm равна: Pm = A. (II.43) Производная потенциала U по направлению x определяет колебательную скорость плоской волны:

U A x V = - = sint -. (II.44) x c c Амплитуда колебательной скорости Vm равна:

A Vm =. (II.45) c Величина = k называется волновым числом, показывающим c сколько длин волн укладывается на расстоянии x=2, т.е.

2f k = = =. (II.46) c c Сравнивая выражения (II.42) и (II.44), видим, что знаком синуса стоx ит одно и тоже выражение t -. Это значит, что в плоской волне c акустическое давление P и колебательная скорость V находятся в фазе.

Pm Pm Ac Взяв отношение, получим: == c ; таким образом, Vm Vm A Pm = c =. (II.47) Vm Полученное выражение называется акустическим сопротивлением (импедансом) среды.

Интенсивность I акустических колебаний плоской волны определяется из соотношения:

1 A 1 I = PmVm = A = kA2, т.е. I = kA2 (II.48).

2 c 2 Выражения (II.43), (II.45) и (II.48) показывают, что амплитуды акустического давления, колебательной скорости и интенсивности плоской волны не зависят от расстояния x, т.е. плоская волна в однородной непоглощающей среде (c=const, =0) распространяется без потерь. Это объясняется тем, что при постоянной скорости и бесконечной длине фронта, волновые поверхности при удалении от источника колебаний не увеличиваются.

В реальных средах при возбуждении колебаний в воде, или в твердых породах интенсивность акустических колебаний по мере удаления от источника возбуждений уменьшается. Это ослабление интенсивности вызвано главным образом геометрическим расхождением, т.е. увеличением фронта волновой поверхности при удалении от источника и рассеянием энергии ударного импульса на мелкомасштабных, соизмеримых с длиной волны неоднородностях среды. При наличии границ раздела энергии уменьшается также за счет частичного отражения волн от этих границ.

Рассеяние энергии акустического излучения за счет превращения ее в тепло обычно не принимается в расчет, ввиду слабого влияния этого фактора на величину поглощения. Таким образом, движение акустической волны в реальных средах рассматривается как адиабатический процесс, т.е. процесс, не сопровождающийся теплопередачей.

Уравнение плоской волны с учетом поглощения морской воды имеет вид:

2 2 U U 4 U = c2 +. (II.49) 2 t x2 3 x2t Здесь — коэффициент сдвиговой вязкости, зависящий от температуры и солености морской воды. Он уменьшается с увеличением температуры и увеличивается с увеличением солености. Последний член в правой части уравнения (II.49) и определяет поглощающие свойства среды.

Вещественная часть этого уравнения имеет вид:

x U = Ae-x cost -, (II.50) c Где А — амплитуда колебаний источника в начальный период времени t=0, - коэффициент поглощения, измеряемый в неперах, или в обратных единицах длины, или в децибелах и имеет размерность (см-1). При этом 1мп/см = 8,686 дб/км (II.51).

Согласно Стоксу коэффициент поглощения по амплитуде равен:

2 8 f == Af (II.52) 3aОтсюда видно, что поглощение пропорционально квадрату частоты и коэффициенту вязкости среды. Последний измеряется в пуазах и имеет размерность г/см сек.

Из формулы (II.50) можно заключить, что амплитуда акустического колебания плоской волны уменьшается с расстоянием x по экспоненциальному закону (рис. 16).

В соответствии с полученным выражением (II.50) формулы для амплитуд акустического давления, колебательной скорости и интенсивности для поглощающей среды примут вид:

Pm = Ae-x A Vm = e-x (II.53) c I = kA2e-x Таким образом, плоская волна в поглощающей среде будет характеризоваться затуханием пропорционально члену e-x.

Анализ формулы Стокса (II.52) показывает, что поглощение увеличивается с увеличением частоты колебаний. В сейсмическом диапазоне частот, т.е. при f = 51000 гц, коэффициент поглощения в морской воде близок к нулю.

В твердых средах он зависит от плотности, пористости и размеров зерен породы. Например, в осадочных породах выше, чем в кристаллических (базальтовых, гранитных). При этом величина коэффициента поглощения на высоких частотах обусловлена, главным образом, текстурными неоднородностями пород (пористостью, размером зерен, тонкой слоистостью и т.д.). На низких частотах зависит от крупномасштабных неоднородностей разреза.

В морской воде поглощение наиболее ощутимо для высокочастотных колебаний (порядка десятка килогерц). Оно обусловлено вязкостью воды, а также насыщенностью воды микроэлементами органического и неорганического происхождения (фито- и зоопланктон, взвесь, пузырьки воздуха и т.д.).

Теоретический коэффициент поглощения для чистой пресной воды в децибелах на км равен: = 7,4 10-11 f2, (II.54) т.е. коэффициент поглощения растет пропорционально квадрату частоты. Это весьма важный метод, на котором основан выбор частоты измерения гидроакустических систем.

На основании изучения распространения волн от атомных взрывов для частот от 16 Гц до 60 кГц для коэффициента поглощения в морской воде получена следующая эмпирическая формула:

= 0,036 f дб / км, (II.55) где f — частота в кГц.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 17 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.