WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |

Задавшись фиксированным числом точек, можно аппроксимировать функцию более точно, если вычислять ее значения в точках, расположенных следующим образом: достаточно часто на тех интервалах, где функция меняется быстро, и не очень часто – где функция меняется более медленно. В отличие от функции rkfixed, которая ищет приближенное решение с постоянным шагом, функция Rkadapt проверяет, как быстро меняется приближенное решение, и соответственно адаптирует размер шага. Этот адаптивный контроль величины шага дает возможность функции Rkadapt вычислять решение на более мелкой сетке в тех областях, где оно меняется быстро, и на более крупной – в тех областях, где оно меняется медленно. Это позволяет и повысить точность, и сократить время, требуемое для решения уравнения. Следует обратить внимание на то, что функция Rkadapt возвращает решение системы уравнений на равномерной сетке.

Функция Rkadapt(y,x1,x2,npoints,D) имеет те же самые аргументы, что и функция rkfixed, и возвращает идентичную по виду матрицу с приближенным решением (см. рис.14) [39].

Глава 4. ПРАКТИЧЕСКИЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ С древних времен отмечалось, что многие природные процессы являются периодическими или почти периодическими явлениями, то есть такими, которые воспроизводятся в прежнем виде через определенный промежуток времени Т, называемый периодом. Таковыми, например, являются смена времен года, дня и ночи, продолжительность светового дня и т.д.

С точки зрения математики, различные величины, связанные с рассматриваемыми периодическими явлениями, по истечении периода Т возвращаются к своим прежним значениям и представляют, следовательно, периодические функции от времени t:

f(t+T) = f(t).

Простейшей из периодических функций является синусоидальная величина: где есть частота, связанная с периодом Т. Однако далеко не каждый природный процесс можно описать функцией указанного вида.

1. Постановка задачи гармонического анализа Из простейших периодических функций могут быть составлены более сложные. При этом составляющие синусоидальные величины должны быть разных частот, так как сложение синусоидальных величин одной и той частоты не дает ничего нового, а приводит к синусоидальной величине той же частоты.

Естественно, встает обратный вопрос: можно ли данную периодическую функцию f(t) периода Т представить в виде суммы конечного или хотя бы бесконечного множества синусоидальных величин. Как известно из классического анализа, по отношению к достаточно широкому классу функций на этот вопрос можно дать утвердительный ответ, то есть для них имеет место разложение в тригонометрический ряд или ряд Фурье.

Геометрически это означает, что график периодической функции получается путем наложения ряда синусоид. Если же истолковать каждую синусоидальную величину механически, как представляющую гармоническое колебательное движение, то можно также сказать, что в этом случае сложное колебание (каковыми являются все колебания, встречающиеся в природе), характеризуемое функцией f(t), разлагается на отдельные гармонические колебания. В связи с этим отдельные синусоидальные величины, входящие в состав тригонометрического ряда, называют гармоническими составляющими функции f(t), или просто ее гармониками (первой, второй и т.д.) Сам процесс разложения периодической функции на гармоники носит название гармонического анализа [27].

Итак, гармоническим анализом называют операцию разложения заданной периодической функции f(x) в ряд Фурье. Если функция f(x) задана аналитически, то задача ее гармонического анализа полностью решается с помощью известных из классического анализа формул Эйлера-Фурье для вычисления коэффициентов ряда Фурье. Однако в огромном числе практических задач подлежащая анализу функция f(x) оказывается заданной в виде таблицы, полученной в результате измерений, или в виде кривой, вычерченной самопишущим прибором. Тогда точное вычисление коэффициентов Фурье по формулам Эйлера-Фурье невозможно. Таким образом, в нашем случае задача гармонического анализа заключается в построении практически удобных методов для приближенного определения коэффициентов ряда Фурье или для непосредственного вычерчивания гармоник различных порядков для функции, заданной таблично.

2. Разложение функций в ряд Фурье Будем предполагать, что функция f(x) – периодическая, с периодом (f(x+2р)=f(x)). Как известно, это всегда обеспечивается соответствующим изменением масштаба по оси Ох.

Основная задача гармонического анализа состоит в представлении функции f(x) в виде ряда:

af (x) = + (1) (a cos(nx)+ bn sin(nx)).

n n=Полагая an bn 2 cn = (an ) + (bn ), sinn =, cosn =, (2) cn cn ряд (1) можно переписать в виде:

af (x) = + sin(nx +n ) (3) c n n=Здесь сn – амплитуда гармоники, n – фаза. Коэффициенты ряда (1) – ряда Фурье – определяют по формулам Эйлера-Фурье:

a0 = f (x)dx, an = f (x) cos(nx)dx, (4) bn = f (x)sin(nx)dx.

Пусть промежуток от 0 до 2 разделен точками x1, x2, …, xk-1 (xi=2i/k) на k равных частей и пусть известны соответствующие ординаты – y0, y1, y2,…, yk-1, yk=y0.

Тогда для вычисления интегралов в формулах (4) можно применить различные приближенные методы. Так, по формуле трапеций получим:

1 y0 yk a0 = 2 + y1 + y2 +K+ yk-1 +.

k 2 Отсюда в силу того, что y0=yk, k a0 = y0 + y1 + y2 +K+ yk-1. (5) Аналогично для определения коэффициентов an и bn формула трапеций дает:

k 2 4 2(k -1) ak = y0 + y1 cosn + y2 cosn +K+ yk-1 cosn, (6) 2 k k k k 2 4 2(k -1) bk = y0 + y1 sinn + y2 sinn +K+ yk-1 sinn, (7) 2 k k k Окончательно получим:

k-a0 =, y i k i=k-ak = cos(kxi), y i i=k-bk = sin(kxi).

y i i=Последние формулы носят название формул Бесселя. Они могут быть получены из формул для коэффициентов Фурье (4) функции f(x), если вычислять входящие в них интегралы приближенно, используя формулу трапеций, полагая f(0)=f(2) [4].

Заметим, что значения а0, ak, bk, полученные по формулам Бесселя, будут близки к значениям коэффициентов Фурье функции только при относительно небольших к. В остальных случаях расхождение будет больше.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №Задание: Разложить заданную функцию в ряд Фурье.

Образец выполнения задания Зададим функцию таблично N := a1 := 1 a2 :=.5 a3 := -.1 dt := 2.

N i := 1.. N xi := i dt значения аргумента yi := a1sin(xi) + a2sin(4xi) + a3cos(5xi) значения функции, являющейся суммой трех гармонических колебаний.

Графическое представление заданной функции подтверждает наличие периодических составляющих:

y i 0 5 x i Воспользуемся формулами Бесселя для вычисления коэффициентов a0, ak, bk:

N y I I=a0 := N n := 15 k := 1.. n Значение 15 выбрано в Связи с возможностью РС N N y cos(k xI ) y sin(k xI ) I I I=1 I=ak := 2 bk := N N Учитывая, что при небольших к коэффициенты a0, ak, bk будут близки к коэффициентам Фурье функции f(x), получим:

i := 1.. N n zi := a0 + (a k=1 k cos(k xi)+ bk sin(k xi)) Графическое представление полученной функции (на рис. 15 представлены различные виды приближающей функции в зависимости от значения n):

z i 0 5 x i Таким образом, графики иллюстрируют близость заданной функции и приближающего ее тригонометрического ряда.

Глава 5. СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ Выполнение комплексных научных исследований, а также проектирование и строительство промышленных, сельскохозяйственных и транспортных объектов требуют календарной увязки большого числа взаимосвязанных работ, выполняемых различными организациями. Составление и анализ соответствующих календарных планов представляют собой весьма сложную задачу, при решении которой применяются так называемые методы сетевого планирования. По существу, этот метод дает возможность определить, во-первых, какие работы или операции из числа многих, составляющих проект, являются «критическими» по своему влиянию на общую календарную продолжительность проекта, и, во-вторых, каким образом построить наилучший календарный план проведения всех работ по данному проекту с тем, чтобы выдержать заданные сроки при минимальных затратах.

Первый вариант этого метода был разработан в 1957 году американским ученым Дж.Е. Келли и М.Р. Уокером и был назван СРМ (от начальных букв выражения «Critical Path Method», означающего «Метод критического пути»). Примерно в то же время независимо от СРМ появилась система PERT («Program Evaluation and Review Technique», что означает «Техника обзора и оценки программ»). В результате дальнейшего развития эти системы превратились в совокупную методику построения графиков – сетевое планирование и управление.

Идея сетевого метода очень проста. Она основана на графическом изображении комплекса работ с любой степенью их детализации и на выполнении элементарных арифметических операций по расчету параметров и анализу сетевых графиков.

1. Элементы и правила построения сетевых графиков Система сетевого планирования основана на безмасштабном графическом изображении комплекса операций, показывающем технологическую последовательность и логическую взаимозависимость между всеми работами, направленными на достижение определенной цели.

Сетевой график (стрелочная диаграмма, сетевая модель, или просто сеть) состоит из стрелок и кружков, обозначающих два основных элемента любой сети – работы и события. Работа – это реальный процесс или действие, требующее затрат труда, материалов или времени. Продолжительность выполнения работ измеряется в единицах времени: часах, днях, неделях, месяцах и т.д. Работы могут иметь также и количественные показатели, которые характеризуют трудоемкость, стоимость, материальные ресурсы и т.д. Работы обозначаются стрелками, которые объединяются между собой с помощью кружков (событий). Временные и количественные оценки проставляются обычно над стрелками. Событием называется результат, получаемый после выполнения работ, стрелки которых сходятся к данному кружку. Событие имеет двойное значение. Для всех предшествующих работ оно является законченным свершением, а для последующих работ – начальным пунктом их выполнения. Всем событиям присваивается определенный цифровой шифр, который проставляется обычно внутри кружка. В общем смысле начальное (предшествующее) событие обозначается буквой i, а конечное (последующее) – буквой j, работа в этом случае обозначается как i, j.

Во всяком сетевом графике бывает два особых события, которые не имеют двойного значения – исходное и завершающее. Исходное событие – это момент начала выполнения комплекса работ. Оно не является результатом предыдущих работ, поэтому в него не входит ни одной стрелки. Исходные события принято обозначать буквой J. К особенностям завершающего события относится то, что оно свидетельствует об окончании всех работ и поэтому не имеет ни одной последующей работы. Из этого события не выходит ни одной стрелки. Обозначается оно буквой С.

Пример 1. Необходимо собрать узел из двух деталей А и Б. Обе детали должны быть обработаны на токарном станке, деталь Б должна пройти, кроме того, шлифовку. Перечень событий, а также данные о продолжительности работ (в минутах) приведены в табл.1, 2.

Таблица Шифр Описание события Непосредственно события предшествующие события 1 Начало – 2 Получить материал для детали А 3 Получить материал для детали В 4 Обработать А на токарном станке 2, 5 Обработать В на токарном станке 2, 6 Шлифовать деталь В 7 Собрать узел из деталей А и В 4, 8 Конец График этого проекта показан на рис. 1.

Таблица Шифр работы Продолжительность, мин 1,2 1,3 2,4 2,5 3,4 3,5 4,7 5,6 6,7 7,8 Рис. Для получения безошибочной структуры сетевых графиков при их построении необходимо соблюдать следующие основные правила:

- в сетевом графике не должно быть тупиков, т.е. событий, из которых не выходит ни одной работы (за исключением завершающего события);

- сеть не должна иметь «хвостовых» событий (кроме исходного), которым не предшествует хотя бы одна работа;

- в сети не должно быть замкнутых контуров (циклов);

- в сетевой модели не допускаются работы, имеющие одинаковые шифры;

- любые два события должны быть непосредственно связаны не более чем одной работой-стрелкой;

- в сети рекомендуется иметь одно исходное и одно завершающее события.

При построении сети исходное событие располагается с левой стороны, а завершающее – с правой. Нумерация событий обычно начинается с исходного и заканчивается на завершающем событии. Для любой работы предшествующее ей событие расположено левее и имеет меньший номер по сравнению с завершающим эту работу событием.

2. Понятие пути сетевого графика Одно из важнейших понятий сетевого графика – понятие пути. Путь – любая последовательность работ, в которой конечное событие каждой работы совпадает с начальным событием следующей за ней работы. Среди различных путей сетевого графика наибольший интерес представляет полный путь L – любой путь, начало которого совпадает с исходным событием сети, а конец – с завершающим. Наиболее продолжительный полный путь в сетевом графике называется критическим. Критическими называются также работы и события, расположенные на этом пути. По существу, критический путь – «узкое» место проекта. Уменьшить общую продолжительность осуществления проекта можно, только изыскав способы сокращения работ, лежащих на критическом пути. Таким образом, нет никакой необходимости в часто практикуемом стремлении «поднажать» на всех работах ради сокращения общей длительности выполнения проекта. В больших проектах критическими бывают примерно 10% работ.

Для рассмотренного в примере 1 сетевого графика полными путями будут: путь 12478 (продолжительностью 10+30+0+20=60 минут), путь 125678 (продолжительностью 10+0+40+0+20=70 минут), путь 13478 (продолжительностью 20+0+0+20=40 минут), путь 135678 (продолжительностью 20+20+40+0+20=100 минут). Последний путь имеет наибольшую продолжительность и является критическим. Продолжительность критического пути составляет 100 минут. Быстрее работу выполнить нельзя, так как для достижения завершающего события критический путь надо пройти обязательно.

Время, необходимое для выполнения некритических работ, не имеет значения с точки зрения продолжительности осуществления проекта в целом. Иначе говоря, все ненапряженные пути имеют резервы времени. Эти резервы определяются вычитанием из критического пути продолжительности данного некритического пути.

3. Временные параметры сетевых графиков В таблице 3 приведены основные временные параметры сетевых графиков.

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.