WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 8 |

3.3.5. Дробно-линейная функция. Будем искать приближающую функцию в виде:

F(x,a,b) =. (18) ax + b Равенство (18) перепишем следующим образом:

= ax + b.

F(x,a,b) Из последнего равенства следует, что для нахождения значений параметров a и b по заданной таблице (1) нужно составить новую таблицу, у которой значения аргумента оставить прежними, а значения функции заменить обратными числами, после чего для полученной таблицы найти приближающую функцию вида ax+b. Найденные значения параметров a и b подставить в формулу (18).

Необходимым условием для выбора дробно-линейной функции в качестве искомой эмпирической формулы является соотношение [38]:

x1 + xn 2 y(x1) y(xn ) y( ) - = 0.

2 y(x1) + y(xn ) 3.3.6. Логарифмическая функция. Пусть приближающая функция имеет вид:

F(x,a,b) = a ln x + b. (19) Легко видеть, что для перехода к линейной функции достаточно сделать подстановку lnx=u. Отсюда следует, что для нахождения значений a и b нужно прологарифмировать значения аргумента в исходной таблице (1) и, рассматривая полученные значения в совокупности с исходными значениями функции, найти для полученной таким образом новой таблицы приближающую функцию в виде линейной. Коэффициенты a и b найденной функции подставить в формулу (19).

Необходимым условием для выбора логарифмической функции в качестве искомой эмпирической формулы является соотношение [38]:

y(x1) + y(xn ) y( x1xn ) - = 0.

3.3.7. Гипербола. Если точечный график, построенный по таблице (1), дает ветвь гиперболы, приближающую функцию можно искать в виде:

a F(x,a,b) = + b. (20) x Для перехода к линейной функции сделаем подстановку u =.

x (u,a,b) = au + b. (21) Практически перед нахождением приближающей функции вида (20) значения аргумента в исходной таблице (1) следует заменить обратными числами и найти для новой таблицы приближающую функцию в виде линейной вида (21). Полученные значения параметров а и b подставить в формулу (20).

Необходимым условием для выбора уравнения гиперболы в качестве искомой эмпирической формулы является соотношение [38]:

2x1xn y(x1) + y(xn ) y( ) - = 0.

x1 + xn 3.3.8. Дробно-рациональная функция. Пусть приближающая функция находится в виде:

x F(x,a,b) =. (22) ax + b Очевидно, что 1 b = a +, F(x,a,b) x так что задача сводится к случаю, рассмотренному в предыдущем пункте.

Действительно, если в исходной таблице заменить значения х и у их обрат1 ными величинами по формулам u = и z = и искать для новой таблицы y x приближающую функцию вида u=bz+a, то найденные значения а и b будут искомыми для формулы (22).

Необходимым условием для выбора дробно-рациональной функции в качестве искомой эмпирической формулы является соотношение [38]:

2x1xn 2 y(x1) y(xn ) y( ) - = 0.

x1 + xn y(x1) + y(xn ) В заключение отметим: может получиться, что ни одна из рассмотренных выше функций не приближает достаточно удовлетворительно имеющиеся эмпирические данные. В таком случае вид эмпирической кривой выбирают исходя из каких-то других известных данных о поведении функции. Иногда это помогают сделать специальные компьютерные программы аппроксимации экспериментальных данных [38].

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №Задание: Аппроксимировать функцию, заданную таблично, линейной функцией.

Образец выполнения задания Зададим функцию таблично n := 11 число значений аргумента a := 2 начальное значение аргумента h := 0.7 шаг изменения аргумента aa := 0.3 bb := 0.7 числовые коэффициенты i := 0.. n xi := a + ih значения аргумента yci := (-1)irnd(1) + aa + bbxi значения функции, случайная добавка (-1)irnd(1) позволяет придать данным естественный вид.

Графическое представление полученной функции yc 0 5 x Воспользуемся формулами для вычисления коэффициентов линейной зависимости:

m1:= m2 := ) m3:= x (x yc m4 := yc xi i i i i i i i i -n m1 m ab := m1 m2 m 1. ab = 0. yi := ab0 + ab1xi искомая линейная функция Проиллюстрируем решение графически:

yc i y i 0 5 x i В пакете MathCad имеются встроенные функции, которые позволяют быстрее решить задачу линейной регрессии. Это выполняется функцией slope(vx,vy), которая вычисляет наклон линии регрессии в смысле наименьших квадратов для данных из vx и vy, и функцией intercept(vx,vy), которая вычисляет смещение по оси ординат линии регрессии. Окончательно линия регрессии определяется в виде:

y= slope(vx,vy)*x+ intercept(vx,vy) На рисунке 7 показано, как можно использовать эти функции, чтобы провести линию через набор выборочных точек.

4. Множественная линейная регрессия 4.1. Понятие функции нескольких переменных До сих пор мы касались вопросов, связанных с исследованием функции одной переменной, т.е. изучали совместное изменение двух переменных, одна из которых зависела от другой. Значением независимой переменной полностью определялось значение зависимой переменной, или функции.

На практике значения географических переменных определяются обычно влиянием не одного, а нескольких объясняющих факторов. Например, хотя продуктивность водоема и зависит от продолжительности солнечного освещения, но очевидно, что это не единственный определяющий фактор, здесь важны и интенсивность освещения, и загрязненность водоема, и его географическое расположение, а также целый ряд дополнительных факторов. Таким образом, независимых переменных часто оказывается несколько, и для определения значения функции необходимо установить значения, совместно принимаемые всеми этими независимыми переменными. В таком случае зависимость y=f(x) означает, что х – вектор, содержащий m компонентов: x=(x1, x2,..., xm).

4.2. Постановка задачи множественной линейной регрессии Пусть в результате измерений в процессе опыта получена таблица некоторой зависимости f:

x1...

x2...

...............

xm...

y1 y2... yn y=f( x ) Требуется найти формулу, выражающую эту зависимость аналитически, т.е. найти функцию заданного вида y=F(x1, x2,..., xm), которая в точках x1, x2,... xn принимает значения, как можно более близкие к значениям y1, y2,... yn.

Мы будем говорить только о линейной зависимости у от х, то есть о множественной линейной регрессии. Теоретически уравнение y=F(x) имеет вид:

y=a0+a1x1+ a2 x2 +... +amxm.

Здесь а – вектор неизвестных параметров размерности (m+1).

Мы ограничимся рассмотрением частного случая m=2. Тогда приближающая функция примет следующий вид:

F(x) =a0+a1x1+a2 x2.

Пусть имеется n наблюдений вектора х и зависимой переменной у. Для того, чтобы формально можно было решить задачу, то есть найти некоторый наилучший вектор параметров, должно быть n m+1. Если это условие не выполняется, то можно найти бесконечно много разных векторов коэффициентов, при которых линейная формула связывает между собой х и у для имеющихся наблюдений абсолютно точно. Если в частном случае n=m+1 (например, при m=2 и n=3), то оценки коэффициентов а рассчитываются единственным образом – путем решения системы линейных уравнений yj=a0+a1x1j+a2x2j; j=1,...3. Графически это означает, что через три точки наблюдения в трехмерном пространстве можно провести единственную плоскость, определяемую параметрами a0, a1, a2. Если число наблюдений больше минимально необходимого, то есть n>3, то уже нельзя подобрать линейную формулу, в точности удовлетворяющую всем наблюдениями, и возникает необходимость оптимизации, то есть выбора наилучшей формулы-приближения для всех наблюдений.

Более подробно с вопросом приближения функций нескольких переменных можно ознакомиться в [13, 18].

Глава 2. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ Из курса физики хорошо известен принцип сохранения энергии в замкнутой системе. При исследовании природных зависимостей любые изменения энергии системы почти всегда приводят к необходимости вычисления различного рода интегралов от соответствующих функций. Известное из курса математического анализа вычисление определенного интеграла по b формуле Ньютона-Лейбница f (x)dx = F(b) - F(a) реализовать на прак a тике оказывается не всегда возможно. Например, может случиться, что первообразная F(x) не выражается через элементарные функции или через другие достаточно изученные функции либо выражается слишком сложно.

В этих случаях приходится обращаться к методам приближенного интегрирования, т.е. к методам, позволяющим найти численное значение определенного интеграла приближенно с любой степенью точности.

1. Методы численного интегрирования 1.1. Метод прямоугольников Идея численного интегрирования предельно проста и вытекает из геометрического смысла определенного интеграла – значение определенного интеграла численно равно площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), осью абсцисс и прямыми х=а, х=b. Находя приближенно площадь криволинейной трапеции, мы получаем значение интеграла. Формально процедура численного интегрирования заключается в том, что отрезок [а, b] разбивается на n частичных отрезков, а затем подынтегральная функция заменяется на нем легко интегрируемой функцией, по определенной зависимости интерполирующей значения подынтегральной функции в точках разбиения. Рассмотрим теперь простейшие из численных методов интегрирования.

Итак, функция у=f(x) интегрируема на сегменте [a,b] и требуется выb числить ее интеграл f (x)dx. Составим интегральную сумму для f(x) на a сегменте [a,b]. Для этого разобьем сегмент [a,b] на n равных между собой частей с помощью точек: x1, x2, …, xk, …, xn-1.

b - a Если длину каждой части мы обозначим через х, так что x =, то n для каждой точки xk будем иметь: xk = a + kx (k=0, 1, 2, … n).

Обозначим теперь через yk значение подынтегральной функции f(x) при x = xk = a + kx, то есть положим (k=0, 1, … n).

n n Тогда суммы yk-1x и ykx будут интегральными для функции k=1 k=f(x) на отрезке [a,b]. (При составлении первой суммы мы рассматриваем значения функции y=f(x) в точках, являющихся левыми концами частичных сегментов, а при составлении второй суммы – в точках, являющихся правыми концами этих сегментов.) По определению интеграла имеем:

b b n n f (x)dx = lim yk-1x и f (x)dx = lim ykx.

x0 xk=1 k=a a b Поэтому в качестве приближенного значения f (x)dx естественно взять a n n интегральную сумму yk-1x и ykx, т.е. положить:

k=1 k=b n f (x)dx yk-1x, k=a а также b n f (x)dx ykx, k=a т.е.

b b - a f (x)dx ( y0 + y1 + y2 +K+ yn-1) (1) n a и b b - a f (x)dx ( y1 + y2 + y3 +K+ yn ) (2) n a Эти приближенные равенства называются формулами прямоугольников.

В том случае, когда f(x)0, формулы (1) и (2) с геометрической точки зрения означают, что площадь криволинейной трапеции aABb, ограниченной дугой кривой y=f(x), осью Ох и прямыми х=а и х=b, принимается приближенно равной площади ступенчатой фигуры, образованной из n прямоb - a угольников с основаниями x = и высотами: y0, y1, y2, … yn-1 – в слуn чае формулы (1) (рис. 8) и y1, y2, y3, … yn – в случае формулы (2) (рис. 9).

Рис. 8 Рис. Исходя из приведенного выше геометрического смысла формул (1) и (2) способ приближенного вычисления определенного интеграла по этим формулам принято называть методом прямоугольников.

Всякое приближенное вычисление имеет определенную ценность лишь тогда, когда оно сопровождается оценкой допущенной при этом погрешности. Поэтому формулы прямоугольников будут практически пригодны для приближенного вычисления интегралов лишь в том случае, если будет существовать удобный способ оценки получающейся при этом погрешности (при заданном n), позволяющий к тому же находить и число частей n разбиения сегмента, гарантирующее требуемую степень точности приближенного вычисления.

Будем предполагать, что функция f(x) имеет ограниченную производную на сегменте [a, b], так что существует такое число М>0, что для всех значений х из [a, b] выполняется неравенство |f'(x)| M. Качественный смысл этого неравенства заключается в том, что скорость изменения значения функции ограничена. В реальных природных системах это требование практически всегда выполнено. В этих условиях абсолютная величина b погрешности Rn, которую мы допускаем, вычисляя интеграл f (x)dx по a формуле прямоугольников, может быть оценена по формуле [27]:

|Rn| M(b-a)2/2n. (3) При неограниченном возрастании n выражение M(b-a)2/2n, а следовательно, и абсолютная величина погрешности Rn будет стремиться к нулю, т.е. точность приближения будет тем больше, чем на большее число равных частей будет разделен сегмент [a, b]. Абсолютная погрешность результата будет заведомо меньше заданного числа >0, если взять n > M(b-a)2/2.

b Следовательно, для вычисления интеграла f (x)dx с указанной степенью a точности достаточно сегмент [a, b] разбить на число частей, большее числа M(b-a)2/2. [27].

Метод прямоугольников – это наиболее простой и вместе с тем наиболее грубый метод приближенного интегрирования. Заметно меньшую погрешность дает другой метод – метод трапеций.

1.2. Метод трапеций Очевидно, что чем больше будет число n отрезков разбиения, тем более точный результат дадут формулы (1) и (2). Однако увеличение числа отрезков разбиения промежутка интегрирования не всегда возможно. Поэтому большой интерес представляют формулы, дающие более точные результаты при том же числе точек разбиения.

Простейшая из таких формул получается как среднее арифметическое правых частей формул (1) и (2):

n-1 n-yk + yk+b n-b - a b - a yk + yk+k=0 k=f (x)dx = =. (4) n 2 n k=a Легко усмотреть геометрический смысл этой формулы. Если на каждом отрезке разбиения дугу графика подынтегральной функции y=f(x) заменить стягивающей ее хордой (линейная интерполяция), то мы получим b - a yk + yk+трапецию, площадь которой равна и, следовательно, форn мула (4) представляет собой площадь фигуры, состоящей из таких трапеций (рис. 10). Из геометрических соображений понятно, что площадь такой фигуры будет, вообще говоря, более точно выражать площадь криволинейной трапеции, нежели площадь ступенчатой фигуры, рассматриваемой в методе прямоугольников.

Рис. Приведя в формуле (4) подобные члены, окончательно получим b b - a y0 yn f (x)dx ( + y1 + y2 +K+ yn-1 + ) n 2 a. (5) Формулу (5) называют формулой трапеций.

Формулой трапеций часто пользуются для практических вычислений.

Что касается оценки погрешности Rn, возникающей при замене левой части (5) правой, то доказывается, что абсолютная величина ее удовлетворяет неравенству:

(b - a) Rn M2, (6) 12nгде М2 – максимум модуля второй производной подынтегральной функции на отрезке [a,b], т.е.

M2 = max] f (x).

x[a,b Следовательно, Rn убывает при n8 по крайней мере так же быстро, как. Абсолютная погрешность Rn будет меньше наперед заданного числа nM (b - a) >0, если взять n >.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 8 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.