WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 8 |

j := ix - 1.. ix + yix+1 - yix k := xix+1 - xix в уравнение искомой прямой подставим значение хх аргумента yx := yix + k(xx - xix) yx = 2.Проиллюстрируем решение графически:

3.y j yx 2.5.5 6 6.5 x j В пакете MathCad имеются встроенные функции, которые позволяют быстрее решить задачу линейной интерполяции. Это выполняется функцией linterp(vx,vy,x), которая использует векторы данных vx и vy, чтобы вычислить линейно интерполируемое значение у, соответствующее третьему аргументу х. Аргументы vx и vy должны быть одинаковой длины. Вектор vx должен содержать вещественные значения, расположенные в порядке возрастания. На рисунке 4 решена предложенная задача линейной интерполяции.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №Задание: Используя квадратичную интерполяцию, вычислить значения функции у(х), заданной таблично, при заданном значении аргумента.

Образец выполнения задания Зададим функцию таблично n := 11 число значений аргумента a := 2 начальное значение аргумента h := 0.7 шаг изменения аргумента i := 0.. n xi := a + ih + rnd(0.8) значения аргумента yi := ln(xi) + rnd(2) значения функции таблицы значений х и у 0 графическое представление 0 2.007 0 2.заданной функции 1 3.125 1 2.2 3.881 2 3.3 4.233 3 2.4 5.161 4 2.x = y = 5 5.546 5 3.yi 6 6.827 6 2.7 7.316 7 3.8 8.301 8 2.9 9.065 9 2.10 9.431 10 3.0 5 10 x 11 10.07 11 3.i xx := 7.575 данное значение аргумента ix := 7 номер табличного значения аргумента, ближайшего к данному Через 3 точки, ближайшие к хх (х7, х8, х9) проведем параболу y(x)=ax2+bx+c, коэффициенты которой найдем по формуле:

xix 2 xix yix.

yix abc xix 1 2 xix 1 yix xix 2 2 xix 2 1.abc = 19.83.f(t) := abc0t2 + abc1t + abc2 Уравнение искомой параболы yx := f(xx) в найденное уравнение подставим значение хх аргумента yx = 2.Проиллюстрируем решение графически f( t) f x i yx 7 8 7t, x 9.i В пакете MathCad имеются встроенные функции, которые позволяют быстрее решить задачу квадратичной интерполяции. На рисунке 5 предлагается решение данной задачи.

3. Аппроксимация функций 3.1. Постановка задачи аппроксимации функции одной переменной Пусть в результате измерений в процессе опыта получено табличное задание некоторой функции f(х), выражающей связь между двумя географическими параметрами:

х x1 х2 … xn (1) f(x) y1 у2 … yn Конечно, можно найти формулу, выражающую эту зависимость аналитически, применив метод интерполяции. Однако совпадение значений полученного аналитического задания функции в узлах интерполяции с имеющимися эмпирическими данными часто может вовсе не означать совпадение характеров поведения исходной и интерполирующей функции на всем интервале наблюдения. Кроме того, табличная зависимость географических показателей всегда получается в результате измерений различными приборами, имеющими определенную и не всегда достаточно малую погрешность измерения. Требование точного совпадения значений приближающей и приближаемой функций в узлах является тем более неоправданным, если значения функции f(х), полученные в результате измерений, уже сами являются приближенными.

Задача аппроксимации функции одной переменной с самого начала обязательно учитывает характер поведения исходной функции на всем интервале наблюдений. Формулировка задачи выглядит следующим образом.

Функция у= f(х) задана таблицей (1). Необходимо найти функцию заданного вида:

y=F(x), (2) которая в точках x1, x2, …, xn принимает значения, как можно более близкие к табличным y1, y2, …, yn.

На практике вид приближающей функции чаще всего определяют путем сравнения вида приближенно построенного графика функции у= f(х) с графиками известных исследователю функций, заданных аналитически (чаще всего простых по виду элементарных функций). А именно: по таблице (1) строится точечный график f(x), затем проводится плавная кривая, по возможности наилучшим образом отражающая характер расположения точек. По полученной таким образом кривой на качественном уровне устанавливается вид приближающей функции.

Рассмотрим рисунок 6:

Рис. На рисунке 6 изображены три ситуации:

• На графике а взаимосвязь х и у близка к линейной; прямая линия здесь близка к точкам наблюдений, и последние отклоняются от нее лишь в результате сравнительно небольших случайных воздействий.

• На графике b реальная взаимосвязь величин х и у описывается нелинейной функцией, и какую бы мы ни провели прямую линию, отклонение точек наблюдения от нее будет существенным и неслучайным. В то же время проведенная ветка параболы достаточно хорошо отражает характер зависимости между величинами.

• На графике с явная взаимосвязь между переменными х и у отсутствует; какую бы мы ни выбрали формулу связи, результаты ее параметризации будут здесь неудачными. В частности, обе выбранные прямые одинаково плохи для того, чтобы делать выводы об ожидаемых значениях переменной у по значениям переменной х.

Следует заметить, что строгая функциональная зависимость для таблицы исходных данных наблюдается редко, ибо каждая из участвующих в ней величин может зависеть от многих случайных факторов. Однако формула (2) (ее называют эмпирической формулой, или уравнением регрессии у на х) интересна тем, что позволяет находить значения функции f для нетабличных значений х, «сглаживая» результаты измерений величины у, т.е.

на всем интервале изменения х. Оправданность такого подхода определяется в конечном счете практической полезностью полученной формулы.

3.2. Метод наименьших квадратов Через имеющееся «облако» точек всегда можно попытаться провести линию установленного вида, которая является наилучшей в определенном смысле среди всех линий данного вида, то есть «ближайшей» к точкам наблюдений по их совокупности. Для этого определим вначале понятие близости линии к некоторому множеству точек на плоскости. Меры такой близости могут быть различными [13]. Однако любая разумная мера должна быть связана с расстоянием от точек наблюдения до рассматриваемой линии (задаваемой уравнением y=F(x)).

Предположим, что приближающая функция F(x) в точках х1, x2,..., xn имеет значения y1, y2,..., yn. Часто в качестве критерия близости используется минимум суммы квадратов разностей наблюдений зависимой переменной yi и теоретических, рассчитанных по уравнению регрессии значений yi.

Здесь считается, что yi и xi – известные данные наблюдений, а F – уравнение линии регрессии с неизвестными параметрами (формулы для их вычисления будут приведены ниже). Метод оценивания параметров приближающей функции, минимизирующий сумму квадратов отклонений наблюдений зависимой переменной от значений искомой функции, называется методом наименьших квадратов (МНК), или Least Squares Method (LS).

Итак, задачу приближения функции f теперь можно сформулировать следующим образом: для функции f, заданной таблицей (1), найти функцию F определенного вида так, чтобы сумма квадратов Ф была наименьшей.

= yi - F(xi ))2 min.

( i Рассмотрим метод нахождения приближающей функции в общем виде на примере аппроксимирующей функции с тремя параметрами:

y = F(x,a,b,c). (3) Пусть F(xi, a, b, c) = yi, i=1, 2,..., n. Сумма квадратов разностей соответствующих значений f и F будет иметь вид:

(4) [ yi - F(xi,a,b,c)]2 = (a,b,c).

i Эта сумма является функцией Ф(а, b, c) трех переменных (параметров a, b и c). Задача сводится к отысканию ее минимума. Используем необходимое условие экстремума:

= 0, = 0, = 0.

a b c Получаем систему для определения неизвестных параметров a, b, c.

[ yi - F(xi,a,b,c)] Fa'(xi,a,b,c) = i (5) [ yi - F(xi,a,b,c)] Fb'(xi,a,b,c) = 0.

i [ yi - F(xi,a,b,c)] Fc'(xi,a,b,c) = i Решив эту систему трех уравнений с тремя неизвестными относительно параметров a, b, c, мы и получим конкретный вид искомой функции F(x, a, b, c). Как видно из рассмотренного примера, изменение количества параметров не приведет к искажению сущности самого подхода, а выразится лишь в изменении количества уравнений в системе (5).

Естественно ожидать, что значения найденной функции F(x, a, b, c) в точках х1, x2,..., xn, будут отличаться от табличных значений y1, y2,..., yn.

Значения разностей yi-F(xi,a, b, c)=i (i=1, 2,..., n) называются отклонениями измеренных значений y от вычисленных по формуле (3). Для найденной эмпирической формулы (2) в соответствии с исходной таблицей (1) можно, следовательно, найти сумму квадратов отклонений = )2, которая в ( i i соответствии с методом наименьших квадратов для заданного вида приближающей функции (и найденных значений параметров) должна быть наименьшей. Из двух разных приближений одной и той же табличной функции, следуя методу наименьших квадратов, лучшим нужно считать то, для которого сумма (4) имеет наименьшее значение.

В экспериментальной практике в качестве приближающих функций в зависимости от характера точечного графика f часто используются приближающие функции с двумя параметрами:

1) y = ax + b, 5) y =, ax + b 2) y = ax2 + bx + c, 6) y = a ln x, a 3) y = axm, 7) y = + b, x x 4) y = aemx, 8) y =.

ax + b Очевидно, что когда вид приближающей функции установлен, задача сводится только к отысканию значений параметров.

3.3. Нахождение приближающей функции в виде основных элементарных функций Рассмотрим наиболее часто встречающиеся в практических исследованиях эмпирические зависимости.

3.3.1. Линейная функция (линейная регрессия). Начальным пунктом анализа зависимостей обычно является оценка линейной зависимости переменных. Следует при этом учитывать, однако, что «наилучшая» по методу наименьших квадратов прямая линия всегда существует, но даже наилучшая не всегда является достаточно хорошей. Если в действительности зависимость y=f(x) является квадратичной, то ее не сможет адекватно описать никакая линейная функция, хотя среди всех таких функций обязательно найдется «наилучшая». Если величины х и у вообще не связаны, мы также всегда сможем найти «наилучшую» линейную функцию y=ax+b для данной совокупности наблюдений, но в этом случае конкретные значения а и b определяются только случайными отклонениями переменных и сами будут очень сильно меняться для различных выборок из одной и той же генеральной совокупности.

Рассмотрим теперь задачу оценки коэффициентов линейной регрессии более формально. Предположим, что связь между x и y линейна и искомую приближающую функцию будем искать в виде:

F(x,a,b) = ax + b. (6) Найдем частные производные по параметрам: Fa' = x, Fb' = 1.

Подставим полученные соотношения в систему вида (5):

- axi - b) xi = 0, ( yi i ( yi - axi - b) = 0, i = 1..n.

i Далее имеем:

yi xi - a )2 - b xi = 0, (x i ii i yi - a xi - nb = 0, i = 1..n.

ii или, деля каждое уравнение на n:

1 1 ( xi ) b = yi xi, (x )2 ) a + (n i n n ii i (1 xi ) a + b = 1 yi, i = 1..n.

n n ii Введем обозначения:

1 xi = M, yi = M, x y n n i i (7) 1 yi xi = M, (x )2 = M.

xy i xn n i i Тогда последняя система будет иметь вид:

M a + M b = M x xy x (8) x y M a + b = M.

Коэффициенты этой системы Mx, My, Mxy, Mx2 – числа, которые в каждой конкретной задаче приближения могут быть легко вычислены по формулам (7), где xi, yi – значения из таблицы (1). Решив систему (8), получим значения параметров a и b, а следовательно, и конкретный вид линейной функции (6).

Необходимым условием для выбора линейной функции в качестве искомой эмпирической формулы является соотношение [38]:

x1 + xn y - y(x1) y(xn ) = 0.

3.3.2. Квадратичная функция (квадратичная регрессия). Будем искать приближающую функцию в виде квадратного трехчлена:

F(x,a,b,c) = ax2 + bx + c. (9) Находим частные производные:

Fa' = x2, Fb' = x, Fc' = 1.

Составим систему вида (5):

( yi - a(xi )2 bxi - c) (xi )2 = 0, i - ( yi - a(xi )2 bxi - c) xi = 0, i ( yi - a(xi )2 bxi - c) = 0, i = 1..n.

i После несложных преобразований получается система трех линейных уравнений с тремя неизвестными a, b, c. Коэффициенты системы так же, как и в случае линейной функции, выражаются только через известные данные из таблицы (1):

M a + M b + M c = M x4 x3 x2 x2 y M x3 a + M x2 b + M c = M (10) x xy M a + M b + c = M.

x y xЗдесь использованы обозначения (7), а также 1 1 (x )4 = M, n (x )3 = M, n (x )2 yi = M.

i i i x4 x3 x2 y n i ii Решение системы (10) дает значение параметров a, b и с для приближающей функции (9).

Квадратичная регрессия применяется, если все выражения вида у2 -2y1 + y0, y3 -2 y2 + y1, y4 -2 y3 + y2 и т.д. мало отличаются друг от друга.

3.3.3. Степенная функция (геометрическая регрессия). Найдем теперь приближающую функция в виде:

F(x,a,m) = axm. (11) Предполагая, что в исходной таблице (1) значения аргумента и значения функции положительны, прологарифмируем равенство (11) при условии а>0:

ln F = ln a + m ln x. (12) Так как функция F является приближающей для функции f, функция lnF будет приближающей для функции lnf. Введем новую переменную u=lnx;

тогда, как следует из (12), lnF будет функцией от u: Ф(u).

Обозначим m = A, ln a = B. (13) Теперь равенство (12) принимает вид:

(u, A, B) = Au + B, (14) т.е. задача свелась к отысканию приближающей функции в виде линейной.

Практически для нахождения искомой приближающей функции в виде степенной (при сделанных выше предположениях) необходимо проделать следующее:

1) по данной таблице (1) составить новую таблицу, прологарифмировав значения x и y в исходной таблице;

2) по новой таблице найти параметры А и В приближающей функции вида (14);

3) использовав обозначения (13), найти значения параметров a и m и подставить их в выражение (11).

Необходимым условием для выбора степенной функции в качестве искомой эмпирической формулы является соотношение [38]:

y( x1xn ) - y(x1) y(xn ) = 0.

3.3.4. Показательная функция. Пусть исходная таблица (1) такова, что приближающую функцию целесообразно искать в виде показательной функции:

F(x,a,m) = a emx, a > 0. (15) Прологарифмируем равенство (15):

ln F = ln a + mx. (16) Приняв обозначения (13), перепишем (16) в виде:

ln F = Ax + B. (17) Таким образом, для нахождения приближающей функции в виде (15) нужно прологарифмировать значения функции в исходной таблице (1) и, рассматривая их совместно с исходными значениями аргумента, построить для новой таблицы приближающую функцию вида (17). Вслед за этим в соответствии с обозначениями (13) остается получить значения искомых параметров a и b и подставить их в формулу (15).

Необходимым условием для выбора показательной функции в качестве искомой эмпирической формулы является соотношение [38]:

x1 + xn y( ) - y(x1) y(xn ) = 0.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 8 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.