WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Возможно также дополнительно улучшить эту стратегию, используя информацию о высоком значении параметра, т.е. о ясном свидетельстве наличия тренда. Для этого можно использовать предварительные тесты Dan-J, t, tm2 и tRQF,4 предложенные, со ответственно, Bunzel and Vogelsang (2005), Harvey et al. (2007), Perron and Yabu (2009) и анализированные в HLT и Harvey et al. (2010) для различных значений локального тренда и начального значения. Более конкретно, рассмотрим модификацию решающего правила (9):

Тесты t и tRQF асимптотически эквивалентны, поэтому мы рассматриваем только первый в иссле довании асимптотического поведения тестов.

Q,µ Q, Отвергать H0 если {Qµ > mcv и Q > mcv }, если |s| cv IR(s) =, (10) Q, Отвергать H0 если {Q > cv }, если |s| > cv где s обозначает некоторый предварительный тест для тестирования = 0, а cv – соответствующее ему критическое значение. Предельное распределение этих двух тестов прямо следует из Леммы 1 и CMT, и, поэтому, опущено.

Рисунки 2(a)-(d) показывают асимптотический размер тестов Qµ, Q, IR, IR(|t|), IR(|tm2|) и IR(|Dan-J|) для значений {0, 1, 2, 4} и c [0, 1]. Константы m мы под бираем таким образом, чтобы асимптотическая мощность теста IR была на уровне 0.50.

Для = 0 размер теста IR, как и предполагается, лежит между Qµ и Q. Размер тестов IR(s) практически совпадает с IR. При увеличении размер тестов IR(s) приближается к эффективному Q.

3.2 Асимптотическое поведение при различных начальных значениях Аналогично предыдущему разделу, рассмотрим тесты Qi и Si, i = µ,, варьируя параметры начального значения от 0 до 65 и параметр c {2.5, 5, 10}. Также мы предполагаем знание типа детерминированной компоненты. Рисунки 3(a),(c),(e) показывают асимптотический размер тестов Qµ, Sµ, IR и IR(s). Последние два теста будут рассмотрены далее.

Результаты показывают, что при малых начальных значениях тест Qµ доминирует Sµ, в то время как при увеличении асимптотический размер теста Qµ стремится к единице (для умеренных значений c). В то же время лишь при малых c размер теста Sµ увеличивается, например, при c = 10 (рис. (e)) он остаётся постоянным при любом, хотя и доминируется Qµ при малых начальных значениях ( < 2.6). Таким образом, при малых значениях эффективным тестом является Qµ, в то время как при больших значениях его применение приводит к стопроцентному отвержению нулевой гипотезы. В этом случае, имея информацию о начальном значении, необходимо использовать тест Sµ.

Результаты для случая тренда приведены на Рисунках 3(b),(d),(f) и полностью аналогичны, хотя искажения размера для Q и S не так сильны при больших и малых c, как для Qµ и Sµ.

Как и в Harvey et al. (2009) можно использовать следующую стратегию пересечения отвержений:

Q,i S,i IR = Отвергать H0 если {Qi > mi cv и Si > mi cv }, (11) Q,i S,i где cv и cv, i = µ, – асимптотические критические значения тестов Qi и Si для некоторого специфицированного значения c и уровня значимости, а mi – некоторая шкалирующая константа, чтобы асимптотический размер был на уровне для заданного значения c.

Аналогично предыдущему разделу можно модифицировать эту стратегию, используя дополнительную информацию о высоком начальном значении, чтобы применять в этом случае только тест Si:

Так как тесты симметричны около, нет необходимости рассматривать отрицательные параметры начального значения.

Q,i S,i Отвергать H0 если {Qi > mi cv и Si > mi cv }, если s cv IR(s) =, (12) S,i Отвергать H0 если {Si > cv }, если s > cv где s обозначает некоторую тестовую статистику для тестирования = 0, а cv – соответствующее ему критическое значение. Как и в предыдущем разделе, предельное распределение этих двух тестов прямо следует из Леммы 1 и CMT и для краткости опущено.

В качестве s можно использовать статистику, предложенную в HLT:

QD, cv s = DF -QD - DF -OLS, (13) OLS, cv где DF -QD и DF -OLS – соответственно, ADF тесты для GLS и OLS детрендированных QD, OLS, данных, а cv и cv – соответствующие им критические значения. Большие значения верхнего хвоста распределения этой статистики указывают на высокое значение ||.

Harvey et al. (2008) получили критические значения при c = 30, т.е. только в этом случае статистика s имеет корректный размер. При меньших значениях c она имеет либеральные искажения размера, которые увеличиваются с уменьшением c.

На Рисунках 3(a)-(f) также показан асимптотический размер тестов IR и IR(s) (критические значения для s вычислены при c = 20). Как и в предыдущем разделе критические значения тестов Qi и Si (i = µ, ) и корректирующие факторы m вычисляются так, чтобы тесты имели мощность, равную 0.50. Было проанализировано поведение тестов, если критические значения для s были получены для разных c (результаты доступны по запросу). В случае константы (Рис. 3(a), 3(c) и 3(e)) при высоких c для теста IR(s) асимптотический размер близок к Sµ, хотя размер последнего несколько меньше при 2.5.

При уменьшении c при малых размер теста IR(s) значимо меньше Sµ и близок к IR.

Однако только при больших размер IR(s) значимо меньше, чем для IR, хотя не сильно приближается к Sµ, который является эффективным тестом в этом случае. В целом, различие между IR(s) и Sµ незначительно, в том смысле, что возможный выигрыш в размере теста IR(s) по сравнению с Sµ при малых компенсируется проигрышом при высоких. Поэтому можно рекомендовать в случае константы использовать только тест Sµ.

Случай тренда кардинально отличается. Рис. 3(b), 3(d) и 3(f) показывают, что размер теста IR(s) приблизительно равен размеру IR при малых и приблизительно равен размеру S при больших (критические значения для s вычислены при c = 20). В некоторых промежуточных случаях размер может быть ниже обоих тестов. Таким образом, IR(s) в случае тренда эффективно различает случаи низких и высоких начальных значений.

3.3 Асимптотическое поведение при неопределённости относительно тренда и начального значения В предыдущих разделах были рассмотрены тесты, первый из которых является тестом на стационарность при неопределённости относительно линейного тренда при известном нулевом начальном значении, а второй также тестирует стационарность при знании точной спецификации детерминированной компоненты, но неопределённости относительно величины начального отклонения. Однако исследователю может не быть априорно известно ни величина начального значения, ни величина параметра при тренде. В этом случае, следуя HLT (см. также Harvey et al. (2012)), можно применить стратегию пересечения отвержений, которая заключается в том, чтобы отвергать стационарность, если каждый из четырёх тестов, Qi и Si (i = µ, ), отвергает нулевую гипотезу стационарности. Это либеральное решающее правило записывается следующим образом:

Q,µ Q, IR4 = Отвергать H0 если {Qµ > mcv и Q > mcv S,µ S, и Sµ > mcv и S > mcv }, (14) где m – шкалирующая константа. Также можно улучшить этот тест, предварительно вы являя возможно высокое начальное значение или значимый тренд, как в Разделах 3.1 и 3.2.

Однако, как было показано в Harvey et al. (2008), тесты Dan-J, t и tm2 очень чувствитель ны к величине начального значения. Harvey et al. (2012) использовали модифицированный тест t :

t = (1 - )t0 + t1, (15) где в отличие от Harvey et al. (2007) t1 строится, используя t-статистику с коррекцией автокорреляции для тестирования T = 0 в квази-дифференцированной регрессии yt - T yt-1 = µ(1 - T ) + T (t - T (t - 1)) + t, t = 2,..., T, (16) где T = 1-, а соответствующая долгосрочная дисперсия получается, используя остат c/T ки t. Harvey et al. (2012) получили предельное распределение модифицированной статистики и показали, что при c = c она асимптотически инвариантна к начальному значению в точке c = c и асимптотически нормальна. Harvey et al. (2012) устанавливают s = |t | c c = 30, и используя стандартное нормальное критическое значение. Тест s тогда будет иметь увеличивающиеся либеральные искажения размера при приближении параметра c к нулю, а в c = 30 будет иметь корректный размер.

Таким образом, как и в HLT, модифицированное либеральное решающее правило записывается следующим образом:

Определение 1 Модифицированная стратегия пересечения отвержений IR4 определяется следующим образом:

• Если s cv и s cv, тогда используется либеральное решающее правило IR(Qµ, Q, Sµ, S), определённое в (14);

• Если s cv и s > cv, тогда используется либеральное решающее правило IR(Sµ, S), соответствующая шкалирующая константа обозначается m;

• Если s > cv и s cv, тогда используется либеральное решающее правило IR(Q, S), соответствующая шкалирующая константа обозначается m;

• Если s > cv и s > cv, тогда используется решающее правило отвергать H0, S, если S < cv ;

Рисунки 4-6 показывают для = 0, 0.5, 1, соответственно, асимптотический размер те стов S, IR4 и IR4 для c [0, 1], фиксируя мощность на уровне 0.50. На каждом рисунке (a)-(i) показываются результаты для = {-4, -2, -1, -0.5, 0, 0.5, 1, 2, 4}, соответственно.

Из всех четырёх исходных тестов только S рассматривается на рисунках для сравнения, так как он является робастным к обоим формам неопределённости. Заметим, что необ ходимо также как в Harvey et al. (2012) корректировать тест IR4 для асимптотического Q,µ Q, S,µ S, Q,µ Q, S,µ контроля размера. Поэтому мы заменяем cv, cv, cv и cv на cv, cv, cv S, и cv, соответственно, где – шкалирующая константа, чтобы мощность теста всегда была не ниже уровня 0.50.

Когда = 0 тест IR4 везде превосходит S. Только в случае = 4 при малых c размер этого теста несколько выше. По сравнению с IR4, размер последнего почти всегда ниже S и IR4, хотя в случае высоких || этот тест имеет серьёзные искажения размера при малых c. При = 0.5 для отрицательных размер IR4 несколько выше S (кроме c > 5 в случае = -4), но при увеличении, уже при = 0.5 их кривые размера пересекаются, а при = 2 размер IR4 ниже, чем S. Для || < 1 размер IR4 ведёт себя почти так же, как и S, но при увеличении || его кривые размера становятся сильно немонотонными.

Для более высоких кривая размера IR4 лежит между S и IR4, а искажения раз мера IR4 сильно увеличиваются, особенно для больших ||, в то время как размер IRприближается к размеру эффективного теста S даже для умеренных c.

Так как неясно, какая из тестовых стратегий доминирует другую среди различных и, для сравнения рассмотрим асимптотический интегрированный размер всех трёх тестов, аналогично Harvey et al. (2009), которые рассмотрели асимптотическую интегрированную мощность. Асимптотический интегрированный размер является областью, ниже чем каждая кривая на Рисунках 9-11 для c {0, 1,..., 20}. Таблица 1 показывает потери в асимптотическом интегрированном размере относительно эффективного теста (с минимальным размером) в конкретном случае. Выделенные жирным шрифтом – максимальные потери в размере для каждой конкретной стратегии. Для теста S по всем и максимальное значение – 0.69 (в случае = 0 и = 0), для IR4 – 0.82 (в случае = 1 и = -2), для IR4 – 0.40 (в случае = 1 и = -0.5), что доказывает превосходство последнего теста, так как максимальные потери для него минимальны.

В то же время, если рассматривать интегрированный размер по отношению к максимальному значению (Таблица 2), видно, что и для теста S, и для теста IR4 существует такое, где они всегда доминируются тестом IR4 (для первого в случае = 0, для второго – = 1). В то же время, максимальный выигрыш в размере не сильно отличается для всех тестов, за исключением случая = 0 и = 0, когда выигрыш в размере для теста IR4 равен 0.52, как и предполагается теоретическими результатами.

Таким образом, исходя из асимптотических результатов, мы строго рекомендуем ис пользовать модифицированное решающее правило IR4, если существует неопределённость относительно тренда и начального значения.

4 Критические значения В этом разделе мы обсуждаем получение критических значений для практического применения тестов6, так как ранее мы сравнивали тесты, фиксируя мощность на уровне 0.50.

Критические значения для тестов Qµ( и Sµ( приведены в Таблице 3. Мы получаем c) c) их при c = 10 для тестов Qµ( и Sµ( как и в Mller and Elliott (2003) и Elliott and c) c), Mller (2006), а для тестов Q( и S ( – при c = 15. Заметим (см. HLM), что в этом c) c) случае c = c, и тесты Si( (i =, ) имеют стандартное KPSS предельное распределение, c), поэтому критические значения те же самые, что и для обычных KPSS тестов. Также Qi( не инвариантен к начальному значению при c > 0, поэтому критические значения c) получены при = 0.

Критические значения для теста на начальное отклонение s были получены при c = и приведены в Таблице 4.

Также необходимо получить шкалирующие константы для всех тестов пересечения отвержений, которые были рассмотрены в Разделах 3-5. Однако возникает некоторая сложность, поскольку критические значения для тестов, включающих тренд, построены при c = 15, тогда как тесты, учитывающие только константу, строились при c = 10. В этом случае, если стратегия пересечения отвержений включает в себя тесты с различными типами детерминированных компонент, то мы получаем шкалирующие константы, чтобы тест имел корректный размер при c = 12.5. В противном случае шкалирование производится, используя c для соответствующего типа детерминированной компоненты в рассматриваемых тестах. Все шкалирующие константы приведены в Таблице 5 (код для симуляций доступен по запросу).

5 Заключение В этой работе мы рассмотрели проблему тестирования стационарности при неопределённости относительно тренда и/или начального значения. Мы предложили использовать стратегию пересечения отвержений нескольких тестов (аналогично использованию HLT стратегии объединения отвержений), если существует неопределённость относительно тренда и/или начального значения. На симуляциях мы показали, что при тестировании стационарности наилучшие свойства будет иметь тестовая стратегия, основанная на отвержении всех тестов, каждый из которых является эффективным при малом/высоком начальном значении и/или малом/высоком параметре локального тренда. Кроме того, мы показали, что предварительное тестирование параметра при тренде и начального значения может улучшить процедуру, если какой-то из этих параметров будет значимо ненулевым. Таким образом, наша процедура полезна в эмпирических приложениях совместно с тестом HLT, так как тестирование гипотезы, противоположной наличию единичного корня, необходимо для подтверждающего анализа.

В этом разделе мы получаем результаты, используя нормализованные суммы с 5000 шагов и повторений.

A Приложение Доказательство Леммы 5: Вследствие инвариантности мы устанавливаем µ = 0 без потери общности, таким образом yt = t + ut.

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.