WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |
Тренд и начальное значение в тестах на стационарность: асимптотический анализ Антон Скроботов Институт Экономической политики имени Е. Т. Гайдара, Российская Академия Народного Хозяйства и Государственной Службы при Президенте РФ 13 декабря 2012 г.

Аннотация В этой работе мы исследуем поведение тестов на стационарность, предложенных в Mller (2005) и Harris et al. (2007), при неопределённости относительно тренда и/или начального значения. Поскольку при различных величинах локального тренда и начального значения разные тесты являются эффективными, мы предлагаем, следуя Harvey et al. (2008), решающее правило, основанное на отвержении нулевой гипотезы для различных тестов. Также мы предлагаем модификацию этого решающего правила, используя дополнительную информацию о величинах локального тренда и/или начального значения, полученную посредством предварительного тестирования. Полученная модификация имеет хорошие свойства размера при обоих типах неопределённости.

Ключевые слова: Тест на стационарность, KPSS тест, неопределённость относительно тренда, неопределённость относительно начального значения, искажение размера, решающее правило пересечения отвержений.

JEL: C12, C22 1 Введение Влияние линейного тренда и/или начального значения может быть очень важно в тестировании на единичный корень. В недавних работах Harvey et al. (2009) и Harvey et al.

(2008) (далее HLT, см. также Harvey et al. (2012)) была рассмотрена проблема включения детерминированного тренда в тест на единичный корень, а также исследовано поведение тестов при различных начальных значениях. При неопределённости относительно линейного тренда Harvey et al. (2009) показали, что наилучшим тестом на единичный корень будет обычное объединение отвержений двух тестов (т.е. гипотеза единичного корня будет отвергаться, если она отвергнется хотя бы одним из тестов), первого с включением линейного тренда, второго – с включением только константы. Оба эти теста должны быть E-mail: antonskrobotov@gmail.com эффективными для своего типа детерминированной компоненты при отсутствии высокого начального значения. В то же время, при знании типа детерминированной компоненты (т.е. исследователь точно знает, присутствует ли тренд в данных или нет) и неопределённости относительно начального значения наилучшим тестом будет стратегия объединения отвержений тестов, один из которых является эффективным при низком начальном значении, а второй – при высоком для заданного типа модели (с трендом или без него). Harvey et al. (2008) расширили процедуру, предполагая неопределённость и относительно тренда, и относительно начального значения, предлагая стратегию объединения отвержений для всех четырёх тестов. Они также предложили модификацию этого теста, предварительно тестируя значимость коэффициента при линейном тренде и значимость начального значения. Тогда, если наблюдается значимый коэффициент при тренде и/или значимо высокое начальное значение, то это говорит в пользу того, что тренд и/или высокое начальное значение действительно присутствуют в данных. Т.е. можно использовать эту информацию, применяя меньшее количество тестов в стратегии объединении отвержений. В то же время, если гипотеза о нулевом коэффициенте при тренде и/или нулевом начальном значении не отвергается, то это может происходить из-за слишком малых значений параметров, в то время как они могут влиять на поведение тестов.

В связи с этим возникает необходимость разработать аналогичную процедуру для тестов на стационарность, поскольку тестирование противоположной наличию единичного корня гипотезы имеет важное значения для подтверждающего анализа (confirmatory analysis, см., например, Maddala and Kim (1998, Ch. 4.6)). Harris et al. (2007) (далее HLM) предложили модификацию стандартного Kwiatkowski et al. (1992) теста (далее KPSS) в случае почти интегрированности1, используя (квази) GLS-детрендирование. Асимптотические свойства полученного теста сравнивались с точечно-оптимальным тестом, предложенным Mller (2005), при различных начальных значениях в случае только константы в детерминированной компоненте. Результаты показали, что в случае низких начальных значений эффективным является тест, предложенный в Mller (2005), в то время как при увеличении начального отклонения этот тест имеет сильные либеральные искажения размера, стремящиеся к единице для умеренно близких к единичному корню процессов. В то же время он строго доминируется тестом HLM при высоком начальном значении.

В этой работе мы рассматриваем асимптотические свойства тестов на стационарность, предложенных HLM и Mller (2005), следуя подходу HLT. В Разделе 2 мы вводим тест HLM и точечно-оптимальный тест, предложенный в Mller (2005) и получаем соответствующие предельные распределения при локальном поведении тренда, а также при параметризации начального значения, следуя Mller and Elliott (2003). В Разделе 3.1 мы анализируем эти тесты в случае асимптотически незначительного начального значения, предполагая локальное поведение тренда. Кривые асимптотического размера показывают, как и в HLM, что в этом случае предпочтительнее использовать оптимальные тесты Mller (2005).

В то же время тест, включающий только константу, имеет сильные либеральные искажения размера при увеличении параметра локального тренда. Мы предлагаем использовать стратегию пересечения отвержений2 двух тестов, с наличием и отсутствием тренда, т.е.

Mller (2005) показал, что применение обычного KPSS теста с шириной окна для оценки долгосрочной дисперсии, возрастающей с более низкой скоростью, чем длина выборки, приводит к асимптотическому размеру, равному единице при нулевой гипотезе о почти интегрированности.

HLT использовали термин “объединение отвержений”, и эта тестовая стратегия отвергала нулевую гипотезу, если хотя бы один из тестов её отвергал. Но так как мы рассматриваем тесты на стационаротвергать нулевую гипотезу, если оба теста одновременно её отвергают. Мы также предлагаем модификацию этого решающего правила, используя предварительное тестирование параметра при тренде и используя эту информацию, чтобы применять только тест с учётом тренда, если параметр при нём является значимым. Как показывают симуляции, эта процедура имеет преимущество перед простым пересечением отвержений. В разделе 3.мы анализируем аналогичную процедуру, предполагая знание детерминированной компоненты, но не зная величину начального значения. В этом случае, аналогично Разделу 3.1, простое пересечение отвержений соответствующих тестов является наилучшим решением, как и модификация, используящая предварительное тестирование начального значения.

Однако результаты для случаев константы и тренда несколько отличаются. В то время как для случая тренда мы строго рекомендуем использовать эту модификацию, в случае константы она не приводит к выигрышу в размере, и можно использовать просто тест HLM. В разделе 3.3 мы обращаемся к совместной проблеме неопределённости относительно линейного тренда и начального значения. В этом случае, следуя HLT, мы предлагаем стратегию пересечения отвержений, состоящую из всех четырёх статистик, а также модификацию, предварительно тестируя параметр тренда и начального значения. Асимптотический анализ показывает превосходство рассмотренной модификации при варьировании параметров при локальном тренде и начальном значении. Поскольку в асимптотическом анализе размер всех тестов сравнивался при фиксированной мощности, т.е. критические значения были получены при интегрированном процессе (и нулевых параметрах тренда и начального значения), в Разделе 4 мы предлагаем критические значения и шкалирующие константы для некоторого фиксированного уровня показателя возвращения к среднему.

В заключении формулируются полученные результаты.

2 Модель Мы рассмотрим процесс порождения данных (DGP) согласно yt = µ + t + ut, t = 1,..., T (1) ut = ut-1 + t, t = 2,..., T (2) где процесс t удовлетворяет стандартным предположениям, рассматриваемым Phillips and Solo (1992):

Предположение 1 Пусть t = (L)et = iet-i, i= с (z) = 0 для всех |z| 1 и i|i| <, где et – мартингал-разность с условной i=дисперсией e и supt E(e4) <. Краткосрочная и долгосрочная дисперсии определяются t T 2 2 -1 как = E(2) и = limT T E t = e(1)2, соответственно.

t t=ность и в подобной процедуре отвергаем нулевую гипотезу, если все тесты её отвергают, мы называем её “пересечением отвержений”.

Также = T = 1 - c/T, где c 0. Мы тестируем нулевую гипотезу стационарности (локальной к единичному корню) H0 : c c > 0 против альтернативы H1 : c = 0, где c – минимальный уровень показателя возвращения к среднему при нулевой гипотезе.

Мы рассмотрим два теста. Первый был предложен Mller (2005). Следуя Mller and Elliott (2003), он предложил асимптотически оптимальную тестовую статистику Qµ( для c) случая константы и Q( для случая тренда, чтобы различать случаи между T = 1 и c) T = 1 - c/T. Эта статистика строится следующим образом:

i i Qi( = q1(u -1/2i )2 + q2(u -1/2i )c) -1T -1T T T i i + q3(u -1/2i )(u -1/2i ) + q4u -2 (i)2, (3) -1T -1T -2T T 1 t t=где i – OLS-остатки от регрессии ряда yt на dt, где dt = µ в случае константы и dt = µ+t t µ µ µ µ в случае тренда, q1 = q2 = c(1 + c)/(2 + c), q3 = -2 + c), q4 = c2 и q1 = q2 = c/( c2(8 + 5 + c2)/(24 + 24 + 82 + c3), q3 = 22(4 + c)/(24 + 24 + 82 + c3), q4 = c2. Также u c c c c c c – любая состоятельная оценка долгосрочной дисперсии ряда ut, используя остатки i.

t Второй тест был предложен Harris et al. (2007) и использует (квази) GLS-детрендрованные ряды. Более конкретно, пусть i, i = µ, – остатки от регрессии yc = yt - T yt-1 на t Zc = zt - T zt-1, t = 2,..., T, где zt = 1 в случае константы и zt = (1, t) в случае тренда.

Тогда тест Si( строится следующим обазом:

c) T t -T ( i )t=2 j=2 j Si( =, (4) c) u где u вычисляется, используя остатки i.

t Рассмотрим следующие два предположения, специфицирующие поведение коэффициента при линейном тренде и начальное условие u1.

-1/Предположение 2 Коэффициент при тренде удовлетворяет = T = T, где – некоторая конечная константа.

Предположение 3 Начальное условие u1 удовлетворяет u1 = = /(1 - 2 ), где T T = 1 - c/T, c > 0. В случае единичного корня, c = 0, начальное условие равно нулю, т.е.

все тесты инвариантны к параметру.

Следующая лемма даёт предельное распределение при заданных Предположениях 1-3.

Лемма 1 Пусть {yt} порождается согласно (1) и (3) и выполняются Предположения 1-3. Тогда при T = 1 - c/T, 0 c < 2 µ µ µ µ Qµ( q1 Kc (1) + + q2 Kc (0) c) 2 µ µ 1 µ µ µ + q3 Kc (1) + Kc (0) - + q4 Kc (r) + (r - ) dr, (5) 2 2 µ Q( q1Kc (1)2 + q2Kc (0)2 + q3Kc (1)Kc (0) + q4 Kc (r)dr, (6) c) Sµ( Hc,c,(r)2dr, (7) c) 1 S( Hc,c,0(r) - 6r(1 - r) Hc,c,0(s)ds dr, (8) c) 0 Здесь µ Kc (r) = Kc(r) - Kc(s)ds, 1 µ Kc (r) = Kc (r) - 12 r - s - Kc(s)ds, 2 r Hc,c,(r) = Kc(r) + c (Kc(s) + s)ds - r Kc(1) + c (Kc(s) + s)ds, 0 (e-rc - 1)(2c)-1/2 + Wc(r), c > Kc(r) =, W (r), c = r где Wc(r) = e-(r-s)cdW (s) – процесс Орнштейна-Уленбека, W (r) – стандартный Винеровский процесс, а обозначает слабую сходимость.

Доказательство (5) аналогично Harvey et al. (2009), доказательство (7) приведено в Приложении. Доказательства (6) и (8) стандартны и используют FCLT и CMT. Также следуя HLM (см. также Mller and Elliott (2003) и Elliott and Mller (2006)), мы устанавливаем c = 10 для тестов Qµ( и Sµ( и c = 15 для тестов Q( и S ( c) c) c) c).

3 Асимптотический анализ тестов на стационарность 3.1 Асимптотическое поведение при локальном тренде 1/Рассмотрим случай, когда начальное значение u1 = op(T ). Тогда в предельных распределениях, полученных в Лемме 1, процесс Kc(r) просто заменяется на процесс ОрнштейнаУленбека Wc(r). Рисунки 1(a)-(d) показывают асимптотический размер для c [0, 20], где для сравнения тестов критические значения получены при c = 0 и = 0, чтобы мощность была равна 0.5 для каждого теста, как в Mller (2005) и Harris et al. (2007)3.

Здесь и в следующих разделах результаты получены, используя симуляции предельного распределения Леммы 1, апроксимируя Винеровский процесс i.i.d.N(0, 1) переменными и апроксимируя интегралы нормализованными суммами с 1000 шагов, число повторений – 50000.

Сравнивая размер тестов для случая = 0 (рис. 1(a)), т.е. при отсутствии тренда, видно, что он меньше для тестов, не учитывающих наличие тренда. Также тесты Qi доминируют над тестами Si, как было видно на результатах симуляций Harris et al. (2007) для случая только константы в детерминированной компоненте. В результате, для тестирования стационарности при = 0 эффективным тестом среди рассмотренных будет Qµ.

Увеличивая параметр, для = 0.5 (рис. 1(b)) результаты почти аналогичны, и тест Qµ всё ещё является эффективным, за исключением очень небольшого интервала c [0, 1], когда Qµ доминируется тестами, учитывающими тренд (хотя они имеют более высокую мощность, интервал c [0, 1] можно считать незначительным). Заметим также, что размер тестов с учётом только константы несколько увеличивается, по сравнению со случаем = 0. Для = 1 (рис. 1(c)) тесты S ( и Q( явно превосходят тесты Sµ и Qµ (c)) (c)) (последние имеют существенные искажения размера, который никогда не ниже 0.4 для рассматриваемого интервала c [0, 20]), и эффективным тестом является Q. Размер тестов, учитывающих только константу продолжает увеличиваться с ростом. Для = (рис. 1(d)) размер тестов Sµ и Qµ почти всегда равен единице.

Поскольку каждый из тестов Qµ и Q являестя эффективным (в смысле размера) среди рассмотренных для некоторых значений локального тренда, тогда если существует неопределённость относительно величины этого локального тренда, необходимо использовать доступную стратегию, чтобы различить два случая, с наличием и отсутствием тренда.

Следуя Harvey et al. (2009), мы используем следующее решающее правило пересечения отвержений, где мы отвергаем нулевую гпотезу о стационарности, если одновременно оба теста отвергают нулевую гипотезу. Более конкретно, это решающее правило можно записать следующим образом:

Q,µ Q, IR = Отвергать H0 если {Qµ > mcv и Q > mcv }, (9) Q,µ Q, где cv и cv – асимптотические критические значения тестов Qµ и Q для некоторого специфицированного значения c и уровня значимости (подробнее см. в Разделе 4), а m – некоторая шкалирующая константа, гарантирующая, чтобы асимптотический размер был на уровне для заданного значения c (в случае отсутствия шкалирования размер и мощность тестов уменьшается, таким образом далее мы называем решающее правило с использованием шкалирования либеральным).

Pages:     || 2 | 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.