WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 17 | 18 || 20 | 21 |

Переменной t по-прежнему будем обозначать время. Однако если в дискретном случае периоду i мог соответствовать как момент, так и интервал, то в непрерывном случае переменной t будем обозначать только моменты времени. Поэтому функциями времени в этом случае может описываться только динамика переменных типа запаса. Место переменных типа потока займут соответствующие им интенсивности потока. Соответствующие обозначения будем помечать сверху значком "~", чтобы различать переменные типа потока и их интенсивности.

Пусть имеется полная информация о траектории, т. е. о динамике всех цен и количеств на анализируемом отрезке времени от момента T0 до моj мента T1. Функцией p (t) будем обозначать цену представителя j в момент t. Ее смысл тот же, что и в дискретном случае. Однако в непрерывном случае это цена, соответствующая именно моменту t, тогда как в дискретном случае pij может быть и средней ценой за интервал времени 132 www.iet.ru ti ~ j j q (t) p (t)dt ti -pij =, ti ~ j q (t)dt ti-~ j как, например, при построении дефляторов. Здесь функцией q (t) обозначена интенсивность потока количества представителя j в момент t. Если в дискретном случае периоду i соответствует интервал от ti 1 до ti, то количество qij представителя j периода i равно ti ~ j qij = (t)dt.

q ti-~ j j j ~ Аналогично v (t) = p (t)q (t) интенсивность потока стоимости ~ ~ j представителя j в момент t, V (t) = v (t) интенсивность потока стои j ~ j j ~ мости корзины в момент t, w (t) = v (t) V (t) доля потока стоимости представителя j в потоке стоимости корзины в момент t.

Тогда ~ ~ d lnV (t) 1 dV (t) 1 d j j ~ = = (p (t)q (t))= ~ ~ j dt dt dt V (t) V (t) j j j j ~ ~ & & = ( p (t)q (t) + p (t)q (t))= ~ j j V (t) j ~ j & & 1 p (t) q (t) j j j j ~ ~ = p (t)q (t) + p (t)q (t) = ~ j j ~ j V (t) p (t) q (t) j ~ j & & p (t) q (t) j j = w (t) + w (t), j j j j ~ p (t) q (t) где точка над значком функции обозначает дифференцирование по времени.

Таким образом, темп изменения интенсивности потока стоимости корзины есть сумма среднего темпа изменения цен и среднего темпа изменения интенсивностей потоков количества. Первое слагаемое определяется www.iet.ru динамикой цен, а второе динамикой интенсивностей потоков количества.

Поэтому если последнее выражение проинтегрировать, то на основе первого слагаемого получим индекс цен, а на основе второго индекс потоков количества.

Индекс цен Дивизиа определяется как ~ T1 T1 j j j & q (t) p (t) & p (t) p,D j I (T0,T1) = exp j w (t) dt = exp j ~ j j dt, j T p (t) q (t) p (t) 0 T j а индекс потоков количества Дивизиа как ~ & T1 T1 j j ~ j & q (t) p (t) ~,D q (t) q j I (T0,T1) = exp j w (t) dt = exp j ~ j j dt.

~ j T q (t) q (t) p (t) 0 T j По построению ~ ~,D v q p,D I (T0,T1) = I (T0,T1) I (T0,T1), ~ ~ V (T1) v где I (T0,T1) = индекс потоков стоимости.

~ V (T0) Приведенная пара индексов напоминает пару прямых индексов количеств и цен. Однако, аналогия здесь неполная. Индекс цен Дивизиа имеет тот же смысл, что и прямой индекс цен. Второй же индекс является индексом потоков количества, в отличие от прямого индекса количеств. Заметим, что индексы потоков количества Дивизиа часто называют просто индексами количеств. Тем не менее необходимо помнить о том, что они имеют иной смысл, чем обычные индексы количеств. Произведение пары индексов Дивизиа дает индекс потоков стоимости, а не индекс стоимостей, как в случае прямых индексов. Наконец, оба индекса данной пары, как и их произведение, являются переменными типа запаса.

В пределе при уменьшении шага по времени сцепленного индекса до нуля для весьма широкого класса индексных формул (включающего все рассмотренные выше) сцепленный индекс сходится к индексу Дивизиа.

Индексы Дивизиа обсуждаются, в частности, в [61 67].

134 www.iet.ru 6.6. Разностные аппроксимации индексов Дивизиа Для построения индексов Дивизиа требуется полная информация о динамике цен и количеств. Поскольку она обычно не бывает доступна, то на практике используют сцепленные индексы, которые можно рассматривать как разностные аппроксимации индексов Дивизиа. Поскольку прямые индексы являются частным случаем сцепленных, когда шаг по времени совпадает с интервалом сопоставления, то и прямые индексы можно рассматривать как аппроксимации индексов Дивизиа.

Хотя сцепленные индексы, построенные на основе почти всех используемых на практике индексных формул, и являются аппроксимациями индексов Дивизиа, точность аппроксимации для разных сцепленных индексов различна и зависит, в частности, от величины шага по времени и от используемой индексной формулы.

~ 6.6.1. Аппроксимации в переменных (p,q) При предположении о наличии полной информации о траектории, т. е. о динамике всех цен и количеств за анализируемый отрезок времени от T0 до T1, несмещенными оценками индексов цен и количеств естественно считать индексы Дивизиа. Ниже будем рассматривать только индексы цен Дивизиа~ T1 j j & q (t) p (t) j p,D (6.12) ln I (T0,T1) = dt.

~ j j q (t) p (t) T0 j Задача построения индекса цен, таким образом, сводится к задаче численного интегрирования (6.12).

Традиционный подход к решению таких задач состоит в разбиении отрезка интегрирования [T0,T1] на N частей T0 = t0 < t1 <...< tN = T1, например, равной длины = (T1 -T0) / N, т. е. tn = T0 + n, n = 0, N, и в аппроксимации на каждом шаге по времени [tn,tn+1] значения интеграла.

Применительно к задаче (6.12) для этого удобно аппроксимировать ~ j функции q (t), поскольку они выполняют роль весов. Аппроксимируя на j j ~ j ~ ~ ~ шаге n функции q (t) константами q (t) q (tn ) = qnj, т. е. выбирая весо Заметим, что в российской переходной экономике рассматриваемые вопросы наиболее актуальны именно для измерения динамики цен, поскольку цены изменяются гораздо быстрее количеств.

www.iet.ru вую базу (момент, которому соответствуют веса) на данном шаге соответствующей исходной базе (началу шага), получаем следующую формулу аппроксимации интеграла (6.12) ~ ~ j tn+1 j j tn+& & q (t) p (t) qnj p (t) j j p,D (6.13) ln I (tn,tn+1) = dt = dt = ~ j j ~ j q (t) p (t) qnj p (t) tn j tn j ~ qnj pnj +j = ln, ~ qnj pnj j j j где pnj = p (tn), pnj = p (tn+1). Здесь и ниже мы предполагаем, что состав +корзины может изменяться лишь в узлах сетки tn, n = 1, N -1, оставаясь неизменным в пределах каждого шага по времени.

Таким образом, в этом случае на шаге по времени [tn,tn+1] индекс Дивизиа аппроксимируется прямым индексом (т. е. индексом, учитывающим информацию о ценах и количествах только на концах интервала сопоставления) Ласпейреса, а на всем отрезке [T0,T1] сцепленным индексом Ласпейреса ~ ~ N -1 N qnj pnj -qnj pnj +1 +j j p,CL (6.14) ln I (T0,T1) =.

ln qnj pnj = ln ~ ~ qnj pnj n=0 n=j j j j ~ ~ ~ Если же на шаге n положить q (t) q (tn+1) = qnj, получаем формулу +Пааше ~ qnj pnj +1 +j p,D (6.15) ln I (tn,tn+1) = ln, ~ qnj pnj +j для которой весовая база соответствует концу шага по времени.

При 0 погрешность метода сцепленного индекса Ласпейреса p,D p,CL ln I (T0,T1) - ln I (T0,T1) = O( ), и аналогично для формулы Пааше, т. е. это методы первого порядка. Остаточный член формулы Ласпейреса (6.13) 136 www.iet.ru ~ ~ tn+1 j j & q (t) p (t) qnj pnj +j j Rn = dt - ln ~ j j ~ q (t) p (t) qnj pnj tn j j при малых примерно равен остаточному члену формулы Пааше (6.15), но имеет противоположный знак. Это отражает уже обсуждавшееся свойство пары индексов Ласпейреса и Пааше, состоящее в том, что один из них обычно завышает рост цен, тогда как второй на том же шаге по времени его занижает, т. е. они дают двустороннее приближение решения. Различие между значениями, полученными по формулам Ласпейреса и Пааше, позволяет поэтому судить о величине их погрешности.

Эти индексы дают очень низкую точность, причиной чего является запаздывание весов (весовая база отстает от середины шага по времени на 2 ) в случае индекса Ласпейреса и их опережение (весовая база опережает середину шага по времени также на 2 ) в случае индекса Пааше.

Взаимно компенсировать в первом приближении ошибки формул Ласпейреса и Пааше можно по-разному. Для этого часто используют полусумму их логарифмов, что дает индекс Фишера ~ ~ qnj pnj 1 +1 +1 +j j p,D ln qnj pnj (6.16) ln I (tn,tn+1) = + ln = ~ ~ qnj pnj qnj pnj +j j 1/ ~ ~ qnj pnj qnj pnj +1 +1 +j.

= ln j ~ ~ qnj pnj qnj pnj +j j Метод сцепленных индексов Фишера является методом второго порядка, поскольку при уменьшении шага по времени погрешность этого метода вычисления равна O( ), т. е. он, вообще говоря, сходится к индексу Дивизиа быстрее, чем сцепленные индексы Ласпейреса и Пааше.

j j j ~ ~ ~ ~ ~ Аппроксимируя q (t) (q (tn ) + q (tn+1)) / 2 = (qnj + qnj ) / 2, получаем +на данном шаге индекс Эджворта Маршалла ~ ~ (qnj + qnj ) pnj +1 +j p,D (6.17) ln I (tn,tn+1) = ln.

~ ~ (qnj + qnj ) pnj +j www.iet.ru Сцепленный индекс Эджворта Маршалла также является методом второго порядка. Остаточный член в формуле Эджворта Маршалла может быть уменьшен вдвое в пределе при 0, если вместо полусуммы значений в ~ j соседних узлах функцию q (t) аппроксимировать ее значениями в центральной точке шага по времени j j ~ ~ ~ j ~ q (t) q ((tn + tn+1) / 2) = q (tn + / 2) = qnj 2, что дает формулу средней +1/ точки ~ qnj 2 pnj +1/ +j p,D (6.18) ln I (tn,tn+1) = ln.

~ qnj 2 pnj +1/ j 6.6.2. Аппроксимации в переменных (r,w) Недостатком всех формул, полученных на основе (6.12), является ис~ j пользование в них информации о динамике потоков количества q (t). Зачастую единственной доступной информацией о количествах является ин~ j j ~ формация о динамике долей потоков стоимости w (t) = v (t) /V (t), j j ~ w (t) 0, w (t) 1. В этом случае от переменных (p,q) удобно перей j j p (t) j ти к переменным (r,w), где r (t) = ln логарифмы индивидуальj p (T0) ных индексов цен. В этих переменных индекс цен Дивизиа может быть записан как Tp,D j j & (6.19) ln I (T0,T1) = w (t)r (t)dt, j Tчто несколько проще, чем (6.12).

~ Преобразование переменных (p,q) в (r,w) не является взаимно однозначным, поэтому в переменных (r,w) не все рассмотренные выше аппроксимации могут быть получены. Так, если данные о долях потоков стоимости известны только в узлах сетки, то не может быть использована формула Эджворта Маршалла (6.17), а если они известны только в полуцелых узлах tn+1/ 2 = (tn + tn+1) / 2 = tn + / 2 то не могут быть использова138 www.iet.ru ны формулы Ласпейреса, Пааше и, следовательно, Фишера. Вместе с тем (6.19) позволяет дополнительно получить несколько иные аппроксимации.

j j Так, если на шаге n положить w (t) w (tn ) = wnj, получаем tn+p,D j j & (6.20) ln I (tn,tn+1) = w (t)r (t)dt = wnj (rnj - rnj ) = +j j tn wnj pnj += ln pnj, j pnj j j +где rnj = r (tn), rnj = r (tn+1), rnj - rnj = ln. Таким образом, на данном +1 +pnj шаге по времени индекс Дивизиа аппроксимируется взвешенным средним геометрическим с весами, соответствующими началу шага по времени, а на всем отрезке [T0,T1] сцепленным индексом wnj N -1 N - pnj p,G+(6.21) ln I (T0,T1) = w j (rnj rnj ) = ln pnj.

n + n=0 j n=0 j j j Если же на шаге n положить w (t) w (tn+1) = wnj, получаем формулу +взвешенного среднего геометрического с весами, соответствующими концу шага по времени wnj + pnj p,D +(6.22) ln I (tn,tn+1) = wnj (rnj - rnj ) = ln j pnj.

+1 + j Пара формул (6.20), (6.22) является аналогом пары формул Ласпейреса и Пааше, полученных с использованием геометрических средних вместо арифметических. Как и в случае формул Ласпейреса и Пааше, обе эти формулы дают методы первого порядка, т. е. также обеспечивают низкую точность по причине запаздывания весов на 2 в индексе (6.20) и их опережения на 2 в индексе (6.22), и они имеют примерно одинаковые остаточные члены на каждом шаге, но с противоположными знаками28. Эти Заметим, что из этого не следует, что индексы (6.20) и (6.22) имеют примерно ту же точность, что и индексы Ласпейреса и Пааше, поскольку точность, помимо скоwww.iet.ru погрешности можно в первом приближении взаимно компенсировать так же, как и в случае формул для арифметических средних.

j Аппроксимация на шаге n функций w (t) полусуммой значений в узлах j j j w (t) (w (tn) + w (tn+1)) / 2 = (wnj + wnj ) / 2 дает индекс Торнквиста +j j wn +wn+ 1 pnj p,D +(6.23) ln I (tn,tn+1) = (w j + wnj )(rnj rnj ) = ln pnj, n +1 + j j который является аналогом индексов Фишера и Эджворта Маршалла одновременно и так же, как и они, является методом второго порядка. Исj j j пользование средней точки w (t) w ((tn + tn+1) / 2) = w (tn + / 2) = wnj +1/ вместо полусуммы значений в узлах позволяет примерно вдвое уменьшить остаточный член в формуле Торнквиста и дает индекс wnj +1/ pnj p,D +(6.24) ln I (tn,tn+1) = w j (rnj rnj ) = ln pnj.

n+1/ 2 + j j Этот метод представляется особо привлекательным, поскольку данные о структуре потребительских расходов на шаге по времени, на основе которых формируют веса для построения индексов потребительских цен, соответствуют в первом приближении как раз середине шага по времени.

В основе всех рассмотренных формул разностных аппроксимаций индекса Дивизиа лежит использование информации лишь в двух узлах сетки на каждом шаге интегрирования. Вместе с тем существует много формул численного интегрирования, основанных на использовании информации в большем числе узлов сетки. Такие формулы позволяют существенно повысить точность метода интегрирования. Несмотря на это, при построении разностных аппроксимаций индекса Дивизиа обычно ограничиваются формулами, основанными на информации лишь в двух узлах сетки. Использование в формулах для аппроксимации шага интеграла (6.12) значений ~ j j функций q (t) или w (t) в более, чем двух, узлах сетки с целью повышения порядка метода обычно ограничивается невысокой точностью исходных данных о количествах, их несопоставимостью для разных шагов по времени при изменениях состава потребительской корзины в узлах сетки и рости сходимости, определяется еще и константой. Эти константы для двух пар индексов могут различаться даже по порядку величины.

140 www.iet.ru малым числом шагов по времени N, для которых обычно имеются исходные данные.

Pages:     | 1 |   ...   | 17 | 18 || 20 | 21 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.