WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 30 |

Поступим теперь другим образом. Для каждой из ( (k ) смоделированных последовательностей {2k ),K,100}, ( (k ) k = 2,K,500, сначала построим последовательность {x2k ),K, x100}, а ( (k ) затем построим последовательность {y2k ),K, y100} по формуле:

yi(k ) = + xi(k ) + i(k ), i = 2,K,100.

В отличие от предыдущего способа здесь для различных значений ( (k ) k используются различные последовательности {x2k ),K, x100}, ( (k ) определяемые последовательностью {2k ),K,100}. После получения ( (k ) ( (k ) последовательностей {x2k ),K, x100} и {y2k ),K, y100}, при каждом k = 2,K,500 производим оценивание статистической модели Инструментальные переменные. Системы… yi(k ) = + xi(k ) + i(k ) и получаем оценки коэффициентов (k ) (k ),. Обозначая оценки, полученные в самом начале, как (1) (1) (1) (1) и, так что =10.13984, = 2.553515, получаем (1) (500) (1) (500) последовательности оценок,K, и,K,.

Приведем сводку статистических характеристик последовательности (1) (500),K,.

Series: SLOPE_RANDOM Sample 2 Observations Mean 2.Median 2.Maximum 2.Minimum 2.Std. Dev. 0.Skewness 0.Kurtosis 4.Jarque-Bera 101.Probability 0.2.53 2.54 2.55 2.56 2.57 2.58 2.(k ) На этот раз среднее значение полученных значений, равное 2.552114, весьма сильно отличается от истинного значения параметра = 2, а наблюдаемое значение статистики Харке–Бера говорит о том, что распределение оценки наименьших квадратов параметра = 2 не является нормальным.

Заметим еще, что положительная коррелированность xi и i означает, что значениям xi, превышающим их среднее значение в выборке, по большей части соответствуют и значения остатков, превышающие их среднее значение в выборке. Но последнее равно нулю при использовании метода наименьших квадратов, так что значения остатков, превышающие их среднее значение в выборке, суть просто положительные значения остатков. В итоге для 110 Глава первоначально смоделированных данных yi, xi, i = 2,K,100, это приводит к следующей картине:

Y Y_THEOR Linear (Y) -4 -2 0 2 X Здесь Linear(Y) – прямая, подобранная по этим данным методом наименьших квадратов, т.е. прямая y =10.13984 + 2.553515 x, а Y_THEOR – “теоретическая” прямая y =10 + 2 x. Как видно из графика, первая прямая “повернута” относительно второй прямой в направлении против часовой стрелки, так что для больших значений xi наблюдаемые значения yi смещены вверх по отношению к прямой y =10 + 2 x.

Инструментальные переменные. Системы… 2.2. Модели, в которых некоторые объясняющие переменные коррелированы с ошибкой 2.2.1. Модели с ошибками в измерении объясняющих переменных Рассмотрим модель порождения данных DGP: yi = + zi + ui, i = 1,K,100, со стохастической объясняющей переменной z, для которой выполнены предположения:

E(ui )= 0, D(ui )=, E(ui zi)= 0, так что E(yi zt)= + zi.

Предположим, что значение zi невозможно измерить точно, и в результате измерения вместо истинного значения zi наблюдается значение xi = zi + vi, где vi – ошибка измерения. Подобное положение может соответствовать, например, ситуации, в которой yi – сбережения i го домохозяйства, а zi – располагаемый доход домохозяйства. Пусть при этом выполнены следующие условия:

• E(vi )= 0, D(vi )= v ;

• случайные величины ui и vi независимы:

• случайная величина vi не зависит от истинного значения zi.

(Это означает, что истинный уровень располагаемого дохода не дает какой-либо информации о величине и знаке ошибки измерений.) Выразим zi через xi и подставим xi - vi вместо zi в исходное уравнение. При этом получаем:

yi = + xi +, i где i = vi - ui и 112 Глава Cov(xi,i )= Cov(zi + vi,vi - ui )= - u.

Если > 0, то xi и i имеют отрицательную корреляцию; если < 0, то xi и i имеют положительную корреляцию.

Покажем, что оценка наименьших квадратов не только имеет смещение при конечных n, но и несостоятельна, т.е. даже при неограниченном увеличении количества наблюдений не сходится к истинному значению по вероятности. С этой целью обратимся к формуле для :

n i (y - y)(xi - x) i= = ;

n i (x - x) i=подставим в нее выражение для yi. Получаем:

n n i ( xi - x + i - )(xi - x) ( - )(xi - x) i=1 i= = = +, n n 2 i i (x - x) (x - x) i=1 i=так что Cov(xi,i ) - u p lim = + = +.

2 D(xi ) n + z u Таким образом, не стремится по вероятности к, за исключением случая, когда u = 0, т.е. когда ошибки измерения zi 2 отсутствуют. Если отношение дисперсий u мало, то тогда мало z и асимптотическое смещение оценки наименьших квадратов; в противном случае асимптотическое смещение оказывается Инструментальные переменные. Системы… значительным. В примере со сбережениями > 0, так что склонность к сбережению оказывается недооцененной.

2.2.2. Модели одновременных уравнений Рассмотрим кейнсианскую модель потребления Ct = + Yt + t, где Ct – реальное потребление на душу населения, Yt – реальный доход на душу населения, и параметр интерпретируется как склонность к потреблению (норма потребления). Мы могли бы на законных основаниях использовать для оценивания этого параметра метод наименьших квадратов, если бы не одно осложняющее обстоятельство. Если остановиться на модели замкнутой экономики без правительства, то в дополнение к указанному уравнению в этой модели имеется еще и соотношение Yt = Ct + It, где It – реальные инвестиции на душу населения, что приводит к системе уравнений Ct = + Yt + t, t Y = Ct + It о которой говорят как о структурной форме модели.

Выражая из этой системы Ct и Yt через It, получаем приведенную форму модели в виде:

C = + It + t, t 1- 1- 1- Yt = 1 It + 1 t.

+ 1- 1- 1- Предположим, что t ~ i.i.d., E(t )= 0, D(t )= > 0 и что для каждого t случайные величины It и t независимы. Тогда из второго уравнения приведенной формы находим:

114 Глава Cov(Yt,t )= Cov(t,t )= 0, 1- 1- так что в исходном уравнении для Ct объясняющая переменная Yt коррелирована с ошибкой. При этом для оценки коэффициента, получаемой применением метода наименьших квадратов к исходному уравнению, имеем:

Cov(Y,t ), p lim = + D(Yt ) n где D(Yt )= (D(It )+ ), (1- )и p lim = + (1 - ).

n D(It )+ Поскольку > 0 и в модели Кейнса 0 < <1, то переоценивает значение нормы потребления.

Заметим, однако, что получить оценки параметров и можно, минуя исходное уравнение и обращаясь только к уравнениям приведенной формы. В каждом из этих двух уравнений объясняющие переменные не коррелированы с ошибкой.

Первое уравнение приведенной формы можно записать в виде:

~ ~ ~ Ct = + It + t, ~ ~ ~ ~ где = (1- ), = (1- ), t = t (1- ), E(t ) = 0, ~ 2 D(t )= = (1- ). Применяя метод наименьших квадратов к ~ ~ ~ этому уравнению, находим оценки коэффициентов и и оценку дисперсии, после чего можно найти оценки для параметров ~ исходного уравнения, используя соотношения ~ ~ ~ ~ ~ 2 = (1+ ), = (1+ ), = (1+ ).

~ Инструментальные переменные. Системы… Таким образом, структурная форма восстанавливается по первому уравнению приведенной формы. Второе уравнение оказывается в этом плане избыточным. Однако используя одно это уравнение, мы также можем восстановить структурную форму.

Действительно, это уравнение можно записать в виде:

~ ~ ~ Yt = + It + t, ~ ~ ~ где = = (1- ), = 1 (1- ). Применяя метод наименьших ~ квадратов к этому уравнению, находим оценки коэффициентов и ~ и оценку дисперсии, после чего можно найти оценки для ~ параметров исходного уравнения, используя соотношения ~ ~ ~ ~~ 2 =( -1), =, =.

~ Однако при этом возникает вопрос о том, будут ли совпадать результаты восстановления параметров структурной формы, полученные по двум различным уравнениям приведенной формы.

Если обратиться к выражениям для, и через параметры этих уравнений, то нетрудно заметить, что ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~2 2 ~ ~ ~ = (1+ ), ( -1) = (1+ ), = (1+ ), ~ ~ так что, зная истинные значения параметров уравнений приведенной формы, мы однозначно восстанавливаем по ним значения параметров структурной формы. Однако это возможно, если мы знаем истинные значения параметров уравнений приведенной формы. Последние же нам не известны, и их приходится оценивать по имеющимся статистическим данным.

Поскольку в правых частях обоих уравнений приведенной формы стоят одни и те же объясняющие переменные, то можно показать, что эффективные оценки коэффициентов этих уравнений получаются применением метода наименьших квадратов к каждому из двух уравнений. Но при этом оценки параметров структурной формы, полученные с использованием оценок коэффициентов для разных уравнений приведенной формы, будут в общем случае отличаться друг от друга. И это связано с тем, что количество 116 Глава параметров приведенной формы больше количества, минимально необходимого для восстановления значений параметров структурной формы.

2.3. Метод инструментальных переменных Прежде, чем перейти к описанию метода инструментальных переменных, обратимся к обычному методу наименьших квадратов, применяемому к простейшей линейной модели yi = + xi +, i ~ i.i.d., E(i )= 0, D(i )=, i = 1,K, n.

i В этом случае оценка наименьших квадратов для коэффициента удовлетворяет системе нормальных уравнений n n i ( yi - - xi ) = 0, (y - - xi )xi = 0, i=1 i=T выражающей ортогональность вектора остатков e = (e1,K,en), где ei = yi - - xi – остаток в i -м наблюдении, векторам T T 1 = (1,K,1) и x = (x1,K, xn). Эти условия ортогональности, записанные в равносильных формах n n 1 1 = 0, xi = 0, ei ei n n i=1 i=являются выборочными аналогами теоретических соотношений Cov(i,1) = 0, Cov(i, xi ) = 0.

В силу предположения E(i ) = 0, первое из двух последних соотношений выполняется автоматически, а второе можно записать в виде:

E(i xi ) = 0.

n Если Cov(i, xi ) 0, то p lim xi 0 и соотношение ei n n i=n xi = 0 не является эмпирическим аналогом теоретического ei n i=Инструментальные переменные. Системы… соотношения. Можно было бы попытаться найти какую-то другую переменную zi, для которой выполняется соотношение Cov(i, zi)= E(i zi ) = 0, и заменить второе уравнение нормальной системы выборочным аналогом последнего соотношения, т.е.

уравнением n - - xi )zi = 0.

(yi i=Конечно, решение новой системы отличается от решения исходной системы, и мы временно обозначим получаемые оценки коэффициентов как и. Эти оценки удовлетворяют соотношениям n n - - xi ) = 0, - - xi )zi = 0, (yi (yi i=1 i= из которых находим явное выражение для :

n - y)(zi - z) (yi i= =, n - x)(zi - z) (xi i=которое можно также записать в виде n n - )(zi - z) ( xi - x + i - )(zi - z) 1 (i n i=1 i= = = +.

n n - x)(zi - z) - x)(zi - z) (xi (xi n i=1 i=Здесь n p lim - )(zi - z)= Cov(i, zi )= 0, (i n n i=n p lim - x)(zi - z)= Cov(xi, zi ), (xi n n i=118 Глава так что для того, чтобы p lim = 0, необходимо выполнение еще n одного условия: Cov(xi, zi ) 0.

Если для переменной zi выполнены оба условия Cov(i, zi)= 0, Cov(xi, zi) 0, то такую переменную называют инструментальной переменной, или просто инструментом. Наличие такой переменной позволяет получить состоятельную оценку коэффициента при переменной xi в ситуации, когда xi коррелирована с i. Инструментальная переменная является экзогенной переменной, в том смысле, что она определяется вне связи с рассматриваемым уравнением yi = + xi +, тогда как переменная xi в рассматриваемом i контексте является эндогенной переменной – она связана (коррелирована) с ошибкой в этом уравнении, так что значения xi устанавливаются совместно с i. Следуя обычной практике, мы будем снабжать оценки коэффициентов, полученные с использованием инструментальных переменных, подстрочным (или IV IV IV надстрочным) индексом IV:, (или, ). Здесь IV – IV аббревиатура от Instrumental Variables (инструментальные переменные). Сам метод получения таких оценок называют методом инструментальных переменных.

Возвратимся к системе, включающей кейнсианскую функцию потребления, т.е. к системе Ct = + Yt + t, Y = Ct + It.

t При сделанных ранее предположениях относительно этой модели мы имеем: Cov(Yt,t )= 0, так что Yt – эндогенная 1- переменная. В то же время Cov(It,t )= 0 (в силу предположения о Инструментальные переменные. Системы… независимости этих случайных величин), так что It – экзогенная переменная. Используя второе уравнение приведенной формы, 1 1 находим: Cov(Yt, It ) = Cov + It + t, It = D(It ) 0, 1- 1- 1- 1- так что переменную It можно использовать в качестве инструмента для получения состоятельной оценки коэффициента. Это приводит к оценке n t (C - C )(It - I) t = IV =.

n t (Y - Y )(It - I) t =Мы можем получить это же выражение для IV-оценки коэффициента следующим формальным образом. Возьмем ковариации обеих частей структурного уравнения Ct = + Yt + t с It. Это приводит к соотношению:

Cov(Ct, It )= Cov(, It )+ Cov(Yt, It )+ Cov(t, It ).

При сделанных предположениях оно сводится к равенству Cov(Ct, It )= Cov(Yt, It ), откуда находим:

Cov(Ct, It ).

= Cov(Yt, It ) Чтобы получить оценку для по n имеющимся наблюдениям, заменяем теоретические ковариации в правой части их выборочными аналогами:

120 Глава n n t t (C - C)(It - I ) (C - C)(It - I) n t =1 t = IV = =.

n n t t (Y - Y )(It - I) (Y - Y )(It - I) n t =1 t =П р и м е р Рассмотрим статистические данные о следующих макроэкономических показателях экономики США [Gujarati (1995), p.651]:

Cons = расходы на личное потребление, Y = валовый внутренний продукт, I = валовые внутренние частные инвестиции.

Все показатели даны в млрд долл. 1987 г.

Год CONS Y I 1970 1813.5 2873.9 429.1971 1873.7 2955.9 475.1972 1978.4 3107.1 532.1973 2066.7 3268.6 591.1974 2053.8 3248.1 543.1975 2097.5 3221.7 437.1976 2207.3 3380.8 520.1977 2296.6 3533.3 600.1978 2391.8 3703.5 664.1979 2448.4 3796.8 669.1980 2447.1 3776.3 594.1981 2476.9 3843.1 631.1982 2503.7 3760.3 540.1983 2619.4 3906.6 599.1984 2746.1 4148.5 757.1985 2865.8 4279.8 745.1986 2969.1 4404.5 735.1987 3052.2 4539.9 749.1988 3162.4 4718.6 773.Инструментальные переменные. Системы… 1989 3223.3 4838.0 784.1990 3260.4 4877.5 739.1991 3240.8 4821.0 661.Оценивание методом наименьших квадратов уравнения Const = + Yt + t приводит к следующим результатам:

Dependent Variable: CONS Method: Least Squares Sample: 1970 Included observations: Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C -301.1158 38.52693 -7.815722 0.Y 0.734314 0.009844 74.59484 0.Оценивая уравнения приведенной формы, получаем:

Const = 216.8 + 3.704It +, t Yt = 667.4 + 5.104It +, t так что в принятых ранее обозначениях ~ ~ ~ ~ = 216.8, = 3.704, = 667.4, = 216.8.

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 30 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.