WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 27 | 28 || 30 |

Такую модель коррекции ошибок можно записать в компактном виде как T yt = µ + yt - 1 + 1 yt -1 +K+ p yt- p + t где 1,K, p – матрицы размера N N, а и – (N r)матрицы полного ранга r. При этом столбцы (1),K, (r) матрицы являются линейно независимыми коинтегрирующими векторами, а элементы ij матрицы являются коэффициентами при стационарных линейных комбинациях z1,t -1 = (T) yt -1,K, zr,t -1 = (T ) yt -1 r (представляющих отклонения в момент t -1 от r долговременных соотношений между рядами y1t,K, yNt ) в правых частях уравнений для y1t,K,yNt. Мы будем говорить о такой модели коррекции ошибок как о модели коррекции ошибок без ограничений (UECM – unrestricted error correction model).

Глава 4 Представление коинтегрированной VAR в форме модели коррекции ошибок не единственно, поскольку в качестве набора (1),K, (r) можно взять любой базис коинтеграционного пространства. Соответственно, неоднозначность имеется и в отношении матрицы. В практических задачах на первый план (наряду с определением ранга коинтеграции) выходит идентификация коинтегрирующих векторов, выражающих осмысленные с экономической точки зрения (экономической теории) долговременные связи между рассматриваемыми переменными (например, паритет покупательной способности, спрос на деньги и т.п.). Это, в свою очередь, требует наложения на коинтегрирующие векторы соответствующих идентифицирующих ограничений, позволяющих различать эти векторы, выделяя их из всего множества линейных комбинаций базисных векторов.

Заметим теперь, что в правую часть уравнений стандартной формы VAR включаются только запаздывающие значения переменных y1t,K, yNt. Поэтому в правой части ECM, соответствующей такой VAR, оказываются только запаздывающие значения приращений y1 t,K,yN t. Между тем в практических исследованиях при рассмотрении оцененной корреляционной матрицы вектора приращений (y1t,K,yNt ) часто наблюдаются достаточно удаленные от нуля значения недиагональных элементов этой матрицы. Последнее указывает на возможную коррелированность приращений, соответствующих одному и тому же моменту времени. Непосредственно учесть такого рода коррелированность можно, переходя к модели структурной VAR (SVAR – structural vector autoregression) и соответствующей ей модели структурной ECM (SECM – structural error correction model).

Рассмотрим пару рядов y1t, y2t, составляющих векторный T случайный процесс yt = (y1t, y2t ), порождающийся структурной ECM:

Структурные и приведенные формы… y1 t = 12y2t + 11y1,t -1 + 12y2,t -1 + + a11(11y1,t -1 + 21y2,t -1)+ a12(12y1,t -1 + 22y2,t -1)+ 1t, y2 t = 21y1t + y1,t -1 + y2,t -1 + 21 + a21(11y1,t -1 + 21y2,t -1)+ a22(12y1,t -1 + 22y2,t -1)+, 2t Обозначая 11 12 a11 a 11 12 =, 1 =, a =, 21 22 a21 a 21 -12 1t =, =, t -21 2t получаем для этой структурной ECM компактное выражение:

T yt = 1yt -1 + a yt -1 +.

t Умножая обе части последнего выражения слева на матрицу -1, находим приведенную форму ECM:

T yt = 1yt -1 + yt -1 + t, где 1 = -11, = -1a, t = -1.

t Но 1 -1 =, (1-1221)21 так что, обозначая, =1-1221, получаем:

11 =(11 +12 ), 12 =(12 +12 ), = ( +2111), 21 =( +2112), 22 Глава 4 1 12 a11 a =, 21 1 a21 a 11 = (a11 +12a21), 12 = (a12 + 12a22), 21 = (a21 + 21a11), 22 = (a22 +21a11).

Рассматриваемая структурная ECM не имеет ограничений в том смысле, что в ней не приравниваются нулю:

• никакие внедиагональные элементы матрицы -1 ;

• никакие элементы матрицы 1 ;

• никакие элементы вектора a ;

• никакие элементы вектора.

В конкретных же примерах некоторые из перечисленных элементов зануляются. Например, если y1t, y2t ~ I(1) и коинтегрированы, то T коинтегрирующий вектор единствен. Если это вектор (11, 21), то тогда можно положить 12 = 22 = 0, 12 = 22 = 0, что уменьшает количество неизвестных коэффициентов.

В общем случае структурная ECM имеет вид:

T yt = 1yt -1 +K+ pyt - p + a yt -1 +, t где – недиагональная невырожденная квадратная матрица размера N N. Умножая здесь обе части уравнения на -1, мы приходим к приведенной форме ECM:

T yt = 1yt -1 +K+ pyt - p + yt -1 + t, где j = -1, = -1a, t = -1t.

j T В этих двух формах общим является только yt -1, т.е.

долговременное соотношение, тогда как коэффициенты адаптации (в приведенной форме ECM) являются функциями от коэффициентов структурной ECM: = -1a. Последнее приводит к тому, что отсутствие некоторой корректирующей составляющей в одном из уравнений SECM отнюдь не означает, что эта Структурные и приведенные формы… составляющая будет отсутствовать и в соответствующем уравнении приведенной ECM. Соответственно, коррекция ошибок в одном уравнении SECM может распространяться и на все остальные уравнения приведенной ECM.

При рассмотрении вопроса об идентифицируемости параметров структурной ECM естественно выделить отдельно идентификацию коинтегрирующих векторов и идентификацию коэффициентов, связанных с динамической адаптацией, т.е. элементов матриц, 1,K, p, a. Поскольку коинтегрирующие соотношения в структурной и приведенной ECM одни и те же, можно использовать результаты, касающиеся идентифицируемости коинтегрирующих векторов в приведенной ECM.

Вопрос об идентификации коинтегрирующих векторов естественно возникает при наличии двух и более коинтегрирующих векторов и связан с возможностью различения таких векторов. В процедуре Йохансена, реализованной в пакете EVIEWS, такое различение производится исходя из того, что если ранг коинтеграции равен 1 < r < N, то тогда существует N - r некоинтегрированных между собой (в совокупности) переменных – “общих трендов” (common trends), таких, что добавление к этой совокупности любой из оставшихся r переменных приводит к коинтегрированности пополненного множества из N - r +переменных. Это означает, что в качестве линейно независимых коинтегрирующих векторов можно взять любой набор из r векторов вида Глава 4 11 0 M M M rr 0, 0, K,.

r, 1, r +1 2,r +1 r + M M M r k 1k 2k Конечно, при этом предполагается, что переменные занумерованы так, что “общие тренды” соответствуют переменным с номерами r +1,K, N. Выделение из этого множества возможных наборов единственного набора производится в EVIEWS нормализацией каждого из этих векторов, так что j -й вектор нормализуется делением всех его элементов на, вследствие чего получаем jj набор из r векторов:

1 0 M M M 0, 0, K,.

r 1, r +1 2, r +1, r + M M M r 1N 2N, N Такой набор образует базис r -мерного линейного пространства коинтегрирующих векторов при ранге коинтеграции r.

Проблема, однако, в том, что с точки зрения экономической теории нас могут интересовать коинтегрирующие векторы и какогото другого вида (являющиеся, конечно, линейными комбинациями векторов, принадлежащих базису). При этом на соответствующие коинтегрирующие векторы накладываются определенные ограничения, вытекающие из экономической теории: невхождение в Структурные и приведенные формы… коинтегрирующую линейную комбинацию тех или иных переменных, равенство некоторых компонент коинтегрирующего вектора или наличие у них противоположных знаков при одинаковой абсолютной величине и т.п. В такой ситуации возникает вопрос о необходимости и достаточности множества накладываемых ограничений для идентификации, т.е. различения коинтегрирующих векторов.

Обычно ограничиваются рассмотрением линейных ограничений, в том числе исключающих появление отдельных переменных в коинтегрирующей линейной комбинации. При этом ограничения могут быть представлены как в явной, так и в неявной форме. Если векторы уже нормализованы, то тогда необходимым условием идентифицируемости r коинтегрирующих векторов является наложение на каждый из r векторов не менее r -1 линейных ограничений. Об этом условии говорят как о порядковом условии идентифицируемости.

Порядковое условие, вообще говоря, не является достаточным для идентифицируемости, поскольку при его выполнении полученные r векторов могут все же оказаться линейно зависимыми, так что, скажем, вектор 1 нельзя отличить от некоторой линейной комбинации векторов 2,K, r. Поэтому, в принципе, следует производить еще и проверку линейной независимости полученных r векторов. Для этого можно воспользоваться достаточными условиями идентифицируемости, формулируемыми в терминах матриц, участвующих в формировании явной и неявной форм линейных ограничений.

Если на i -й коинтегрирующий вектор накладывается ri линейных ограничений, то их можно записать в двух формах: явной и неявной. Под неявной формой понимается представление этих ограничений в виде:

Rii = 0, где Ri – матрица размера ri N ранга ri. Ту же самую совокупность ограничений можно представить в явной форме в виде:

Глава 4 i = Hii, где Hi – матрица размера N (N - ri ) ранга N - ri, i – вектор размера (N - ri )1. При этом выполняется соотношение RiHi = 0, т.е. строки матрицы Ri ортогональны столбцам матрицы Hi.

Поясним это на примере модели IS/LM, связывающей следующие макроэкономические параметры:

mt = ln Mt, где Mt – номинальная денежная масса, inct = GDPt, где GDPt – реальный валовый внутренний продукт, pt = ln Pt, где Pt – дефлятор GDP, rts – краткосрочная процентная ставка, rtb – долгосрочная процентная ставка.

Пусть все эти ряды интегрированные порядка 1, ранг коинтеграции этих временных рядов равен r = 3 и в коинтеграционное соотношение приходится включать еще и временной тренд t. Тогда речь идет об идентификации трех коинтегрирующих векторов 11 12 21 22 31 32 1 =, 2 =, 3 =, 41 42 51 52 61 62 обеспечивающих стационарность линейных комбинаций z1t = 11mt + 21inct + 31pt + 41rts + 51rtb + 61t, z2t = 12mt + 22inct + 32 pt + 42rts + 52rtb + 62t, z3t = 13mt + 23inct + 33 pt + 43rts + 53rtb + 63t.

Ограничения на коэффициенты этих векторов могут быть получены, например, из следующих соображений.

Структурные и приведенные формы… Если спрос на реальные деньги рассматривается как функция от реального дохода, краткосрочной ставки и тренда, т.е.

mt - pt = f1(inct,rts,t), то это подразумевает наличие долгосрочной связи между переменными mt - pt, inct, rts, t без включения в нее переменной rtb, так что стационарной является линейная комбинация z1t = 11mt + 21inct - 11 pt + 41rts + 61t. Ограничения на вектор 1 принимают вид: 31 = -11, 51 = 0. Эти ограничения можно записать в виде R11 = 0 (неявная форма), где 1 0 1 0 0 R1 =, 0 0 0 0 1 или в виде 1 = H11, где 1 0 0 0 0 1 0 0 11 -1 0 0 0 21 -, 1 =, H1 = так что 1 =.

0 0 1 0 0 0 0 0 41 0 0 0 1 Нетрудно проверить, что R1H1 = 0.

Если дифференциал процентных ставок rts - rtb определяется через остальные переменные без включения тренда, т.е.

rts - rtb = f1(mt,inct, pt ), то это подразумевает наличие долговременной связи между переменными rts - rtb, mt, inct, pt без включения в нее переменной t, так что стационарной является линейная комбинация z2t = 12mt + 22inct + 32 pt + 42rts - 42rtb.

Ограничения на вектор 2 принимают вид: 52 = -42, 62 = 0. Эти ограничения можно записать в виде R22 = 0 (неявная форма), где Глава 4 0 0 0 1 1 R2 =, 0 0 0 0 0 или в виде 2 = H22, где 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 H2 =, 2 =, так что 2 =.

0 0 0 1 0 0 0 -1 - 0 0 0 0 Наконец, если долгосрочная процентная ставка rtb определяется как функция только от mt, pt и t, то это подразумевает наличие долговременной связи между переменными rtb, mt, pt и t без включения в нее переменных inct и rts, так что стационарной является линейная комбинация z3t = 13mt + 33 pt + 53rtb + 63t.

Ограничения на вектор 3 принимают вид: 23 = 0, 43 = 0. Эти ограничения можно записать в виде R33 = 0 (неявная форма), где 0 1 0 0 0 R3 =, 0 0 0 1 0 или в виде 3 = H33, где 1 0 0 0 0 0 13 0 1 0 23 H =, 3 =, так что 3 =.

0 0 0 0 0 1 43 0 0 0 Структурные и приведенные формы… Необходимое и достаточное условие идентифицируемости 1< r < N коинтегрирующих векторов имеет в общем случае довольно сложный вид. Однако при r = 2,3 оно достаточно просто для проверки (см., например, [Patterson (2000)]).

При r = 2 коинтегрирующие векторы 1, 2 идентифицируемы тогда и только тогда, когда выполняются соотношения:

rank (R1H2) 1, rank(R2H1)1.

При r = 3 коинтегрирующие векторы 1, 2, 3 идентифицируемы тогда и только тогда, когда выполняются соотношения:

rank(RiH )1, i j, i, j =1,2,3, (6 соотношений) j rank (R1[H2, H3]) 2, rank(R2[H1, H3]) 2, rank(R3[H1, H2]) 2.

Проверим выполнение этого условия в только что рассмотренном примере, где r = 3. Имеем:

1 0 1 0 1 0 1 R1H2 = R1H3 =,, 0 0 0 -1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 R2H1 = R2H3 =,, 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 R3H1 = R3H2 =,.

0 0 1 0 0 0 0 Все 6 матриц имеют ранг 2>1, так что первая группа условий выполняется. Далее, Глава 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 R1[H2, H3]= = 0 0 0 0 1 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 =, 0 0 0 -1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 - R2[H1, H3]= = 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 =, 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 R3[H1, H2] = = 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 =.

0 0 1 0 0 0 0 Структурные и приведенные формы… Ранги всех трех матриц равны 2, так что и эта группа условий выполнена. Таким образом, коинтегрирующие векторы 1, 2, идентифицируемы.

Если r коинтегрирующих векторов идентифицируемы, то на каждый их них накладывается не менее r -1 линейных ограничений. В случае, когда на каждый из этих векторов накладывается ровно r -1 ограничений, мы имеем дело с точной идентифицируемостью. Если же хотя бы для одного из векторов количество ограничений превышает r -1, то мы имеем дело со сверхидентифицируемостью. В последнем случае имеются “лишние” ограничения и имеется возможность проверки гипотезы о том, что заявленные дополнительные ограничения на векторы 1, 2,K, r действительно выполняются.

В рассмотренном примере можно, например, следуя работе [Johansen, Juselius (1994)], наложить следующие более строгие ограничения на векторы 1, 2, 3.

Вектор 1 нормализуется на inct, коэффициенты при mt и pt равны по абсолютной величине и противоположны по знаку, а коэффициенты при обеих процентных ставках равны нулю.

Pages:     | 1 |   ...   | 27 | 28 || 30 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.