WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 24 | 25 || 27 | 28 |   ...   | 30 |

Нарушение предположения об одинаковой распределенности случайных ошибок i в процессе порождения данных приводит к гетероскедастичной модели и к несостоятельности оценок максимального правдоподобия, получаемых на основании стандартной модели.

Перейдем теперь к панельным данным. И здесь модель бинарного выбора обычно связывается с наличием некоторой ненаблюдаемой (латентной) переменной yit и наблюдаемой индикаторной переменной yit такой, что Панельные данные 1, если yit > 0, yit = 0 - в противном случае.

Например, yit может указывать на то, работает ли i -й индивид в период t или нет. Типичной является модель, в которой T y = xit + i + it, it T где xit – вектор-строка значений объясняющих переменных для i -го субъекта в период t.

Предположим, что случайные ошибки it независимы и одинаково распределены в обоих направлениях и имеют симметричное распределение с функцией распределения G и что объясняющие переменные строго экзогенны.

Если трактовать i как фиксированные неизвестные параметры, то это соответствует включению в модель N дамми-переменных.

Логарифмическая функция правдоподобия принимает тогда вид:

ln L(,1,K, )= N T T = yit ln G(i + xit ) + - yit )ln(1 - G(i + xit )).

(i,t i,t И здесь возникает ситуация, когда оценка максимального правдоподобия для и i даже при выполнении стандартных предположений состоятельна только если T, а при конечном Т и N она несостоятельна. Мы встречались уже с такой ситуацией в рамках OLS-оценивания линейной модели с фиксированными эффектами. Только там при несостоятельности оценок для i оценка для оставалась все же состоятельной, тогда как здесь несостоятельность оценок для i в общем случае переносится и на оценку для. Одним из исключений является линейная модель вероятности, в которой вероятность P{yit =1 xit} моделируется как линейная функция от объясняющих переменных.

318 Глава Конечно, по подобию проделанного раньше, возникает желание вымести i непосредственно из уравнения T y = x + +. Однако это не дает практической пользы, it i it it поскольку, например, если выметание производится путем перехода в этом уравнении к разностям y - yit-1, то не удается указать, it переход к наблюдаемым переменным типа yit - yi,t-1.

Альтернативный подход состоит в использовании условного максимального правдоподобия (conditional FE).

В этом случае рассматривается функция правдоподобия, условная относительно некоторого множества статистик ti, которое достаточно для i. Это означает, что при заданных значениях этих статистик вклад i -го субъекта в правдоподобие уже не зависит от i. Таким образом, если f (yi1,K, yiT i, ) – совместная вероятность значений индикаторной переменной для i -го субъекта, то f (yi1,K, yiT ti,i,)= f (yi1,K, yiT ti,).

Соответственно, мы можем получить состоятельную оценку для, максимизируя условную функцию правдоподобия, основанную на f (yi1,K, yiT ti, ).

Наличие указанных достаточных статистик зависит от вида распределения it. В линейной модели вероятности с нормальными ошибками такой достаточной статистикой является y. Максимизация соответствующей условной функции правдоподобия приводит к FE-оценке для i. Однако, например, в случае пробит-модели, в которой нормальными являются ошибки в уравнении T y = xit + i + it, it Панельные данные достаточной статистики для i просто не существует. А это означает, что мы не можем состоятельно оценить пробит-модель с фиксированными эффектами при конечном Т.

3.12.1. Логит-модель с фиксированными эффектами Такой модели соответствует латентное уравнение T y = x + +, it i it it в котором it имеют логистическое распределение z e G(z) = (z)=. При этом z 1 + e T exp{xit + i} P{yit =1 xit,i, }= T 1 + exp{xit + i}, T exp{xit + i} P{yit = 0 xit,i, }=1 T T 1 + exp{xit + i}= 1 + exp{xit + i}.

Рассмотрим для иллюстрации логит-модель с Т = 2. Заметим, что в этом случае сумма yi1 + yi2 есть просто общее количество периодов безработицы (суммарная продолжительность пребывания в состоянии безработицы) для i -го субъекта, и что для каждого субъекта есть 4 возможных последовательности состояний (yi1, yi2 ) :

(0,0), (0,1), (1,0), (1,1). Соответственно, сумма yi1 + yi2 может принимать только 3 возможных значения: 0,1, 2 (у i -го субъекта не было периодов безработицы, был один период безработицы, был безработным в течение обоих периодов).

Вычислим условные вероятности указанных четырех последовательностей при различных значениях суммы yi1 + yi2.

Если yi1 + yi2 = 0, то возможна только последовательность (0,0), так что 320 Глава P{(0,0) yi1 + yi2 = 0,i, }=1, а условные вероятности трех других последовательностей при yi1 + yi2 = 0 равны 0.

Если yi1 + yi 2 = 2, то возможна только последовательность (1,1), так что P{(1,1) yi1 + yi 2 = 1,i, }= 1, а условные вероятности трех других последовательностей при yi1 + yi2 =1 равны 0.

Если же yi1 + yi2 =1, то возможны две последовательности (0,1) и (1,0), и они имеют условные вероятности, отличные от 0 и 1, тогда как условные вероятности последовательностей (0,0) и (1,1) равны 0. При этом P{(0,1) xit,i, } P{(0,1) yi1 + yi2 = 1, xit,i, }= P{y1 + y2 = 1 xit,i, }= P{yi1 = 0 xit,i, }P{yi2 =1 xit,i, } = P{yi1 = 0 xit,i, }P{yi2 =1 xit,i, }+ P{yi1 =1 xit,i, }P{yi2 = 0 xit,i, } T exp{xi2 +i} T T 1+ exp{xi1 +i}1+ exp{xi2 +i} = = T T exp{xi2 +i} exp{xi1 +i} 1 T T T T 1+ exp{xi1 +i}1+ exp{xi2 +i}+ 1+ exp{xi1 + }1+ exp{xi2 +i} i T T exp{xi2 +i} exp{xi2} = T T T T exp{xi1 +i}+ exp{xi2 + }= exp{xi1}+ exp{xi2}, i так что индивидуальные эффекты выметаются, и T exp{(xi2 - xi1) } P{(0,1) yi1 + yi2 = 1, xit,i, }= T 1 + exp{(xi2 - xi1) }.

Панельные данные Соответственно, P{(1,0) yi1 + yi2 = 1, xit,i, }= 1 - P{(0,1) yi1 + yi2 =1, xit,i, }= = T 1 + exp{(xi2 - xi1) }.

Таким образом, все условные вероятности P{(yi1, yi2 )= (r, s) yi1 + yi2 = l, xit,i, }, где r, s = 0,1, l = 0,1, 2, не зависят от индивидуальных эффектов, так что продолжительность периодов безработицы является достаточной статистикой для i, и использование условного правдоподобия приводит к состоятельной оценке для.

Полученные результаты означают, что при T = 2 мы можем оценивать логит-модель с фиксированными эффектами, используя стандартную логит модель, в которой в качестве объясняющей переменной выступает xi2 - xi1, а в качестве наблюдаемой бинарной переменной – переменная, отражающая изменение значения переменной yit при переходе от первого ко второму наблюдению (– при возрастании yit, 0 – при убывании yit ). Соответственно, функцию правдоподобия можно записать в виде:

N L = P{(0,0) }P{(0,1) }P{(1, 0) }P{(1,1) }= i=S01 ST N exp{(xi2 - xi1) } S=, 1 1+ exp{(xi2 - xi1) } T 1 + exp{(xi2 - xi1)T } 1S i= где Srs =1, если yi1 = r, yi2 = s, и Srs = 0 в противном случае.

Мы видим, что субъекты, для которых yi1 = yi2 = 0 или yi1 = yi2 = 1, не вносят дополнительный вклад в функцию правдоподобия и фактически игнорируются при оценивании. Для оценивания существенны только те субъекты, которые хотя бы однажды изменяют свой статус в отношении yit.

322 Глава Параметр идентифицируется здесь по одному только “within”-измерению данных. Вклад в оценивание вносят только те субъекты, которые изменили свой статус. При значениях T > вычисление условных вероятностей более хлопотно, но также возможно.

Проверку гипотезы H0 об отсутствии индивидуальных эффектов можно осуществить с помощью критерия типа Хаусмана, основанного на разности между оценкой CML для, полученной с использованием условного правдоподобия и обычной логит MLML оценкой, игнорирующей индивидуальные эффекты (при вычислении последней константа исключается). Логит MLE состоятельна и эффективна только при гипотезе H0 и несостоятельна при альтернативе. Условная же MLE состоятельна и при гипотезе H0 и при альтернативе, но не эффективна, так как использует не все данные. Таким образом, положение здесь соответствует тому, при котором реализуется схема Хаусмана (см.

Главу 2, разд. 2.6.5.). Статистика критерия CML ML T ML -1 ML H = ( - ) (Cv(CML)- Cv( )) (CML - ) имеет при гипотезе H0 асимптотическое распределение хи-квадрат с числом степеней свободы, равным размерности вектора.

З а м е ч а н и е Существенным недостатком метода условного правдоподобия является то, что он предполагает (условную) независимость yi1,K, yiT при фиксированных xit,i,. Метод неприменим к моделям с запаздывающими значениями объясняющей переменной в правой части.

Панельные данные 3.12.2. Пробит-модель со случайными эффектами Если i статистически независимы от объясняющих переменных, то модель со случайными эффектами представляется более подходящей, и в этом случае проще рассматривать не логит, а пробит-модель. (Хотя можно использовать и логит-модель, что и делается в приводимом далее примере.) Здесь мы отправляемся от спецификации 1, если yit > 0, yit = 0 - в противном случае, T y = xit + uit, it uit = i + it, где i – случайные индивидуальные эффекты, i ~ i.i.d. N(0, ), it – случайные ошибки, it ~ i.i.d. N(0, ), причем индивидуальные эффекты и ошибки статистически независимы. В этих условиях совместное распределение случайных 2 величин ui1,K,uiT нормально, причем E(uit )= 0, D(uit )= +, Cov(uit,uis )= Cov(i +,i + is )= для s t, так что значение it Cov(uit,uis ) коэффициента корреляции = = между 2 + D(uit ) D(uis ) ошибками uit и uis внутри одной группы (субъекта) одинаково для любых s t. В “стандартной” спецификации D(uit )=1 и =.

2 Это соответствует предположению о том, что =1-.

Совместная вероятность получения набора yi1,K, yiT при заданных xi1,K, xiT определяется как 324 Глава f (yi1,K, yiT xi1,K, xiT, )= f (yi1,K, yiT xi1,K, xiT,i,)f (i)di = T = f (yit xit,i,) f (i )di.

t =В рассматриваемой пробит-модели T xit +i, если yit =1, 1- f (yit xit,i, )= T xit +i, если yit = 0, 1- 1- i 1 f (i)= exp-.

Итоговый интеграл вычисляется численными методами.

Соответствующие программы имеются в некоторых пакетах (например, в Stata).

При гипотезе H0 об отсутствии индивидуальных эффектов = = 0, так что проверка отсутствия индивидуальных эффектов сводится к проверке гипотезы = 0.

З а м е ч а н и е В контексте панельных данных построение порядковых пробит моделей с несколькими категориями отклика довольно затруднительно.

Панельные данные 3.12.3. Пример Рассмотрим результаты исследования панельных данных по Германии (German Socio-Economic Panel) за 5-летний период с по 1989 гг., проводившихся с целью выяснения влияния состояния безработицы на степень удовлетворенности жизнью (“well-being”).

Исходные данные были представлены в порядковой шкале и индексировались числами от 0 до 10. Ввиду сложности построения порядковых логит- и пробит-моделей для панельных данных, данные были затем сжаты до бинарных. Индивиды, у которых удовлетворенность жизнью индексировалась числами от 0 до 4, считались неудовлетворенными жизнью, тогда как индивиды с индексами 5 и выше считались более или менее удовлетворенными жизнью.

В качестве объясняющих переменных первоначально были привлечены следующие характеристики индивидов:

Непрерывная переменная:

LOGINCOME – логарифм (располагаемого) дохода – см. ниже.

Дамми-переменные:

UNEMP (безработный), NOPARTIC (не включен в рынок труда), SELFEMP (самозанятый), PARTTIME (частично занятый) – указывают текущий сатус на рынке труда (категория “полностью занятый” не снабжается дамми-переменнной), MALE – индивид мужского пола, OKHEALTH – хорошее состояние здоровья, AGE – возраст и AGESQUARED – квадрат возраста, VOCATIONAL D. – наличие профессиональной степени, UNIVERSITY D. – наличие университетской степени, MARRIED – состояние в браке.

Для правильной интерпретации влияния безработицы на удовлетворенность жизнью надо учитывать целый ряд обстоятельств.

Например, безработица обычно ведет к сокращению дохода, что, в свою очередь, может уменьшить удовлетворенность. Однако, если 326 Глава доход включается в число объясняющих переменных, то коэффициент при безработице фактически измеряет влияние безработицы при прочих равных, т.е. при сохранении дохода постоянным. Это могло быть в реальности, если бы страховое возмещение при безработице достигало 100%. При высоком (отрицательном) коэффициенте корреляции между безработицей и доходом оценки остаются несмещенными, но их точность может значительно уменьшаться.

Удовлетворенность индивида может уменьшаться вследствие безработицы также и потому, что доля его вклада в общий семейный бюджет уменьшается. Поскольку, в отличие от доходов домохозяйства, имеющиеся в панели данные в отношении индивидуального дохода ограничены прошлыми доходами, в уравнение включается не индивидуальный доход, а доход домохозяйства.

Включение в модель взаимодействий факторов позволяет выделять дифференциальные эффекты влияния безработицы в группах, имеющих разные атрибуты, например, в разных возрастных группах. В связи с этим в модель включены помимо собственно UNEMP также и переменные UNEMP*AGE

Другим важным взаимодействием является взаимодействие между безработицей и продолжительностью текущего периода пребывания в состоянии безработного. Влияние продолжительности безработицы на психическое состояние индивида достаточно хорошо документировано в литературе по психологии. В соответствии с этим, в уравнение включается переменная UNEMPDUR (продолжительность периода безработицы, продолжающегося в настоящее время) и, для учета возможной нелинейности, переменная UNEMPDURSQ*10-2.

Панельные данные К сожалению, в данных полностью отсутствовал региональный аспект, так что не удалось выяснить влияние локального уровня безработицы.

Следует отметить очень существенное взаимодействие безработицы и пола индивида. По этой причине обработка данных производилась также раздельно по мужчинам и женщинам.

Наличие протяженных наблюдений позволяет, в принципе, включать в модель элементы динамики. Мы, однако, уже говорили о проблемах с оцениванием динамических моделей бинарного выбора, в частности, с включением в правую часть запаздывающих значений объясняемой переменной. В данном анализе предполагается устойчивость индивидуальных откликов во времени, и она как раз учитывается введением в модель индивидуальных эффектов. Для проверки этого свойства в модель помимо переменной UNEMPDUR включается также переменная PREVDUR, указывающая на суммарную продолжительность периодов безработицы за 10 лет, предшествующих анализируемому периоду.

Pages:     | 1 |   ...   | 24 | 25 || 27 | 28 |   ...   | 30 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.