WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 23 | 24 || 26 | 27 |   ...   | 30 |

GMM В общем случае GMM-оценка имеет асимптотически нормальное распределение с ковариационной матрицей 306 Глава --N N N 1 T 1 T T T p lim Zi ui (ui ) Zi yi,-1.

yi,-1 Zi Zi i=N N N N i=1 i= Если uit ~ i.i.d., то средняя составляющая редуцируется к -N 2 opt 2 T WN = G Zi.

u u Zi N i=Рассмотрим теперь динамическую модель с экзогенными переменными T yit = yi,t -1 + xit + i + uit, i =1,K, N, t =1,K,T.

Здесь дифференцирование приводит к модели T yi,t = yi,t -1 + xit + uit.

Если предполагать, что все p объясняющих переменных, входящих в состав вектора xit, строго экзогенны, в том смысле, что они не коррелированы с каждым uis, то тогда E(xituis)= 0 для всех t,s, так что в указанные ранее списки инструментов для каждого момента (периода) времени можно добавить xi1,K, xiT. Тогда для момента t список инструментов принимает вид:

[ yi0, yi1,K, yi,t -2, xi1,K, xiT ]. Такой список может быть весьма длинным, если p и T не очень малы. В то же время при строгой экзогенности xit имеем также:

E(xituit )= 0 для каждого t, так что xit могут выступать в качестве инструментов для самих себя. При таком подходе список инструментов для момента t имеет Панельные данные y вид: yi1,K, yi,t - 2, xi1,K, xit. Этот список существенно i0, короче, если панель достаточно длинна.

Предположим теперь, что переменные в xit не являются строго экзогенными, но являются предетерминированными, в том смысле, что E(xituis )= 0 для всех s > t.

В этом случае уже не все xi1,K, xiT годятся в качестве инструментов для продифференцированного уравнения в момент t, а только xi1,K, xi,t -1, и, соответственно, накладываются моментные условия E(xi,t - juit)= 0 для j =1,K,t -1.

Разумеется, если в состав xit входят как строго эндогенные, так и предетерминированные переменные, то списки инструментов соответствующим образом корректируются.

З а м е ч а н и е Указанная выше “оптимальная” взвешивающая матрица является оптимальной в отношении выбранного множества инструментов. В то же время возникает вопрос об “оптимальном” выборе самих инструментов.

Привлечение большего количества инструментов подразумевает получение более эффективных оценок. Однако здесь возникают две опасности:

• некоторые из переменных, привлеченных в качестве инструментов, в действительности могут быть коррелированными с ошибками; для предотвращения таких ситуаций необходимо проверять гипотезу о выполнении соответствующих условий ортогональности;

• оценки коэффициентов могут иметь значительное смещение вследствие оценивания взвешивающей матрицы WN.

308 Глава Проверка гипотез о правильности спецификации динамической модели П р и м е р Вернемся к рассмотренным ранее данным об объемах инвестиций y и прибыли x трех предприятий ( N = 3 ) за десятилетний период (T =10 ) и рассмотрим на этот раз динамическую модель первого порядка yit = µ + i + yi,t -1 + 1 xit + 2 xi,t -1 + uit, i =1,2,3, t = 2,K,10.

Дифференцирование приводит к модели для разностей:

yit = yi,t -1 + 1 xit + 2 xi,t -1 + uit, i =1,2,3, t = 3,K,10.

Если следовать описанию программы xtabond в пакете Stata8, то в этой программе будут использованы в качестве инструментов:

t Инструменты Кол-во 3 yi 4 yi1, yi 5 yi1, yi2, yi 6 yi1, yi2, yi3, yi 7 yi1, yi2, yi3, yi4, yi 8 yi1, yi2, yi3, yi4, yi5, yi 9 yi1, yi2, yi3, yi4, yi5, yi6, yi10 yi1, yi2, yi3, yi4, yi5, yi6, yi7, yiВсего: а также xi3 +L+xi,10 и xi2 +L+xi9. Это дает всего 36 + 2 = моментных условий. Поскольку модель в разностях содержит неизвестных коэффициента, для оценивания этих коэффициентов достаточно использовать только 3 моментных условия, а остальные 38 - 3 = 35 условий – избыточные. Их можно было бы не Панельные данные использовать вовсе, но это снизило бы эффективность получаемых оценок.

Вместе с тем наличие избыточных условий позволяет проверять адекватность сделанных в отношении модели предположений.

Точнее говоря, возникает возможность проверки гипотезы H0 о том, что избыточные условия (выведенные на основании исходных предположений о рассматриваемой модели) действительно выполняются. Для проверки этой гипотезы используется статистика Саргана (Sargan):

S = N Q(GMM ), где GMM – GMM-оценка вектора коэффициентов модели (в T нашем примере = (,1,2) ), а Q(GMM ) – значение при = GMM минимизируемой в методе GMM квадратичной формы. Если гипотеза H0 справедлива, то статистика Саргана имеет асимптотическое (при N ) распределение хи-квадрат с числом степеней свободы, равным количеству избыточных моментных условий (в нашем примере оно равно 35).

Приведем теперь результаты применения программы xtabond при использовании взвешивающей матрицы -N opt T WN = G Zi Zi N i=(так что оценивание производится за один шаг).

. xtabond y x l1(x), lags(1) Arellano-Bond dynamic panel-data estimation Number of obs = Number of groups = Obs per group: min = 310 Глава One-step results Coef. Std. Err. z P>z.0830295.2100682 0.40 0.y-x 1.132349.0606134 18.68 0.x-1 -.0423772.2375232 -0.18 0.cons.1032841.1361505 0.76 0.Sargan test of over-identifying restrictions:

chi2(35) = 21.81 Prob > chi2 = 0.Результаты применения критерия Саргана говорят в пользу гипотезы о выполнении избыточных предположений. В то же время коэффициенты при запаздывающей разности значений объясняемой переменной и запаздывающей разности объясняющей переменной статистически незначимы, что возвращает нас к статической модели регрессии.

В программе xtabond используется еще один критерий проверки адекватности модели. Он основан на следующем обстоятельстве.

Если ошибки ui1,K,uiT взаимно независимы, то • “соседние” разности uit,ui,t -1 коррелированы, т.к.

Corr(uit,ui,t -1)= Corr(uit - ui,t -1,ui,t -1 - ui,t -2)= -u ;

• отстоящие на большее количество периодов времени разности uit, ui,t -s, s = 2,3,K напротив, не являются коррелированными.

Соответственно, с целью дополнительной проверки адекватности оцененной модели проверяется “наличие автокоррелированности первого порядка” и “отсутствие автокоррелированности второго порядка”. Приведем результаты такой проверки для только что оцененной модели:

Arellano-Bond test that average autocovariance in residuals of order 1 is 0: H0: no autocorrelation z = -2.56, Pr > z = 0.0106.

Arellano-Bond test that average autocovariance in residuals of order 2 is 0: H0: no autocorrelation z = 0.77, Pr > z = 0.4427.

Панельные данные Полученные результаты подтверждают правильность сделанных предположений об ошибках П р и м е р Здесь мы обратимся к исследованию, предпринятому в работе Konigs, Roodhooft [De Economist, 145 (1997)] и касающемуся эластичности спроса на труд со стороны предприятий Бельгии.

Данные относились к более, чем 3000 крупных фирм в период с 1986 по 1994 г.

Статическое уравнение спроса на труд бралось в форме ln Lit = 1 + 2 ln wit + 3 ln rit + 4 lnYit + 5 ln wjt + uit, где wit – стоимость единицы труда, rit – стоимость единицы капитала, Yit – объем выпуска, wit – средняя реальная заработная плата по отрасли.

Динамические модели брались в разных формах, из которых простейшей была модель, в правую часть которой включалось запаздывающее на один период значение объясняемой переменной.

При этом rit заменялась акционерным капиталом Kit, а в качестве Yit выступала условно-чистая продукция. Соответствующая модель имела вид ln Lit = 1 + 2 ln wit + 3 ln Kit + 4 lnYit + 5 ln wjt + ln Li,t-1 +i + it.

Здесь i отражает наличие ненаблюдаемой переменной, специфичной в отношении фирм и не изменяющейся во времени.

Переходя к первым разностям, выметаем i, но полученное уравнение нельзя состоятельно оценить OLS из-за наличия корреляции между ln Li,t-1 и i,t. Кроме того, может существовать коррелированность между i,t и ln wi,t вследствие наличия договоров нанимателей с профсоюзами по вопросу о занятости и оплате труда, так что помимо ln Li,t-1 надо 312 Глава инструментировать и ln wi,t. В качестве инструментов можно использовать запаздывающие разности ln wi,t-2, ln wi,t-3 и т.д.

Приводимые ниже результаты оценивания относятся к модели, в правую часть которой дополнительно включались временные и региональные дамми-переменные.

Переменные Оценка коэффициента Стандартная ошибка 0.60 0.ln Li,t-0.008 0.lnYit -0.66 0.ln wi,t 0.054 0.ln wj,t 0.078 0.ln Kit Значимость коэффициента при ln Li,t-1 говорит в пользу динамической модели. Значение -0.66 характеризует “краткосрочную” эластичность спроса по заработной плате, а значение - 0.60 (1- 0.60)= -1.6 характеризует “долговременную” эластичность спроса по заработной плате.

Заметим, что если производить оценивание “долговременной” эластичности в рамках статической модели, интерпретируя такую модель как модель долговременной связи между переменными, то тогда долговременная эластичность оценивается величиной -1.78.

Такого рассогласования оценок можно было бы избежать в рамках модели коррекции ошибок.

Впрочем, к самим полученным результатам можно отнестись критически хотя бы по следующим обстоятельствам. В процессе инструментирования было использовано 29 “лишних” инструментов. Соответственно, имеется возможность проверить гипотезу о выполнении соответствующих 29 условий ортогональности с помощью статистики Саргана S = N Q(GMM ), где GMM – оценка вектора кэффициентов модели обобщенным методом моментов. Статистика Саргана принимает здесь значение 51.66, что Панельные данные соответствует P-значению, рассчитанному по распределению хиквадрат с 29 степенями свободы, равному 0.006. Следовательно, гипотеза о выполнении дополнительных моментных условий отвергается.

3.12. Модели бинарного выбора Мы уже рассматривали модели такого рода в Главе 1, но только для данных, относящихся к одному-единственному моменту (периоду) времени (cross-section data – данные в сечениях). Если исследование затрагивало n субъектов, то мы отмечали факт наличия или отсутствия некоторого интересующего нас признака у i -го субъекта при помощи индикаторной (бинарной) переменной y, которая принимает в i -м наблюдении значение yi. При этом yi =1 при наличии рассматриваемого признака у i -го субъекта и yi = 0 – при отсутствии рассматриваемого признака у i -го субъекта.

Если пытаться объяснить наличие или отсутствие рассматриваемого признака значениями (точнее, сочетанием значений) некоторых факторов (объясняющих переменных), то, следуя идеологии классической линейной модели, мы могли бы расмотреть модель наблюдений yi = 1xi1 +L+ xip + i, i =1,K, n, p в которой xi1,K, xip – значения p объясняющих переменных в i -м наблюдении, 1,K, – неизвестные параметры, а 1,K, – p n случайные ошибки, отражающие влияние на наличие или отсутствие рассматриваемого признака у i -го субъекта каких-то неучтенных дополнительных факторов. При обычных предположениях регрессионного анализа в такой модели получаем:

P{yi =1 xi}= 1xi1 + L + xip, p 314 Глава т.е. должно выполняться соотношение 0 1xi1 +L+ xip 1.

p Это первая из трудностей, с которыми мы сталкиваемся при обращении к таким моделям.

Далее, случайная величина i имеет условную дисперсию T D( xi ) = xi (1 - xiT).

i Таким образом, здесь возникает также проблема гетероскедастичности, осложненная еще и тем, что в выражения для дисперсий i входит и (неизвестный) вектор параметров.

Кроме того, если, скажем, yi = + xi + i, i =1,K, n, то E(yi xi ) = P{yi =1 xi}= + xi, так что если значение xi увеличить на единицу, то вероятность наличия представляющего интерес признака у i -го субъекта увеличится на величину, равную ( + (xi +1))-( + xi)=, независимо от того, сколь большим или малым является значение xi.

Более подробное рассмотрение этой ситуации привело нас к необходимости использования нелинейных моделей вероятности вида P{yi =1 xi}= G(1xi1 + L + xip ), p где G(z) – S-образная функция распределения, имеющего плотность g(z)= G (z), что соответствует нелинейной модели регрессии yi = G(1xi1 + L + xip )+, i =1,K, n.

p i Предположим, что при фиксированных значениях объясняющих переменных в n наблюдениях, что соответствует фиксированным значениям векторов xi, случайные ошибки 1,K,n статистически Панельные данные независимы. Тогда при фиксированных xi статистически независимы и случайные величины G(1xi1 + L + xip )+ i, p i =1,K, n, т.е. статистически независимы y1,K, yn. В силу этого (условная при фиксированных xi, i =1,K, n ) совместная вероятность получения конкретного набора наблюдений y1,K, yn (конкретного набора нулей и единиц) равна произведению n n yi 1- yi yi 1- yi T (P{yi =1 xi}) (P{yi = 0 xi}) = (G(xiT)) (1 - G(xi )).

i=i=Правая часть этого выражения является при фиксированных xi, i =1,K, n, функцией от вектора неизвестных параметров, n yi 1- yi T L( ) = L( x1,K, xn )= (G(xi )) (1 - G(xiT)) i=и интерпретируется как функция правдоподобия параметров 1,K,. Дело в том, что при различных наборах значений 1,K, p p получаются различные L( ), т.е. при фиксированных xi, i =1,K, n, вероятность наблюдать конкретный набор значений y1,K, yn может быть более высокой или более низкой, в зависимости от значения.

Метод максимального правдоподобия предлагает в качестве оценки вектора параметров использовать значение =, максимизирующее функцию правдоподобия, так что n yi 1- yi T T L()= max L()= max (G(xi )) (1 - G(xi )).

i=Использование свойства монотонного возрастания функции ln(z), позволяет найти то же самое значение, максимизируя логарифмическую функцию правдоподобия ln L( ). В нашем случае n n ln L( )= yi ln G(xiT)+ - yi )ln(1 - G(xiT)).

(i=1 i=316 Глава Если не имеет место чистая мультиколлинеарность объясняющих переменных (т.е. если матрица X = (xij) значений p объясняющих переменных в n наблюдениях имеет ранг p, так что ее столбцы линейно независимы), то тогда функция L( ) имеет единственный локальный максимум, являющийся и глобальным максимумом, что гарантирует сходимость соответствующих итерационных процедур к оценке максимального правдоподобия.

Модель бинарного выбора обычно связывается с наличием некоторой ненаблюдаемой (латентной) переменной yi, часто трактуемой как “полезность” интересующего нас признака для i -го субъекта, и такой, что 1, если yi >, yi = 0 - в противном случае.

Если эта “полезность” определяется соотношением y = 1xi1 +L+ xip + i, i =1,K, n, p i и случайные ошибки имеют нормальное распределение, то P{yi =1 xi}= G(xiT )= (1xi1 + L + xip ).

p В стандартной модели полагается = 0.

Pages:     | 1 |   ...   | 23 | 24 || 26 | 27 |   ...   | 30 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.