WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 22 | 23 || 25 | 26 |   ...   | 30 |

Если же эта модель трактуется как FE-модель или если i случайны и E(i zi )= 0, но E(i xit ) 0, то тогда GLS-оценки (строящиеся, как в RE-модели) несостоятельны, и приходится искать другие оценки. Усредним обе части уравнения по t :

yi = µ + i + xi + zi + ui, i = 1,K, N.

Тогда yit - yi = (xit - xi)+ (uit - u ), i = 1,K, N.

В применении к последнему уравнению метод наименьших квадратов приводит опять к оценке с фиксированными эффектами (CV ). Но при таком подходе из исходного уравнения выметаются не только i, но и zi. Однако если i фиксированы или E(i xit ) 0, но E(i zi )= 0, то тогда все же можно построить состоятельную оценку коэффициента.

Для этого заметим, что yi - xi = µ + zi + (i + ui ). Если считать значение известным, то мы можем оценить эту модель, N минимизируя + ui ), и получить between-оценки (i i =Панельные данные N i ((y - y)- (xi - x) )(zi - z) i = =, N - z) (zi i = µ = y - x - z.

Подставляя CV вместо в эти два выражения, получаем оценки ~ ~ и µ для и µ ; при этом ~ plim =, N ~ т.е. – состоятельная оценка.

[В пакете STATA используeм predict residfe, ue после xtreg…, fe и затем xtreg…, fe Zi, be ] П р и м е р (объяснение размеров заработной платы, продолжение) При оценивании модели с фиксированными эффектами оказались выметенными переменные scooling, black, hispanic.

Попробуем все же получить оценки коэффициентов при этих переменных. Использование процедуры, предусмотренной Stata8, приводит к следующему результату.

Between regression (regression on group means) R-sq:

within = 0.between = 0. overall = 0.F(3,541) = 48.47, Prob > F = 0. Coef. Std. Err. t P>t SCHOOL.1015825.0089372 11.37 0.BLACK -.1442396.0484007 -2.98 0.HISP.0210173.0435069 0.48 0.294 Глава Полученные оценки практически совпадают с оценками для соответствующих коэффициентов в модели со случайными коэффициентами (при GLS-оценивании).

3.10.2. Модель Хаусмана–Тейлора Рассмотрим модель yit = Xit + Zi +i + uit, i =1,K, N, t =1,K,T, где X – строка k наблюдаемых переменных, изменяющихся и от it субъекта к субъекту и во времени, а Zi – строка g наблюдаемых переменных, инвариантных относительно времени на периоде наблюдений. Предполагается, что выполнены обычные предположения RE-модели (в частности, что все объясняющие переменные экзогенны в обычном смысле), за исключением того, что теперь ненаблюдаемые индивидуальные эффекты i могут быть коррелироваными с одними объясняющими переменными и некоррелироваными с другими объясняющими переменными.

Хаусман и Тейлор предложили в таком случае производить разбиение:

Xit = [X1it X2it ], Zi = [Z1i Z2i ], где k1 переменных, входящих в состав X1it, и g1 переменных, входящих в состав Z1i, экзогенны по отношению к i в том смысле, что E(X1iti )= E(Z1ii )= 0, а k2 переменных, входящих в состав X, и g2 переменных, 2it входящих в состав Z2i, эндогенны по отношению к i в том смысле, что E(X2iti) 0, E(Z2ii ) 0.

При таком разбиении модель записывается в виде yit = X1it1 + X 2 + Z1i1 + Z2i +i + uit, 2it Панельные данные и переход к модели, скорректированной на индивидуальные средние, yit - yi = (X1it - X1i)1 +(X - X )2 + uit, 2it 2i приводит к возможно неэффективной, но состоятельной оценке T T T CV для = (1,2 ). Однако при этом опять вместе с i выметаются переменные, инвариантные относительно времени.

T T 2,CV T Получив оценку CV = (1,CV, ) для, вычисляем для каждого субъекта остатки от оцененной “внутри”-регрессии:

2,CV dit = (yit - yi )-(X1it - X1i )1,CV -(X - X ) 2it 2i и получаем состоятельную оценку для дисперсии случайных ошибок D(uit )= u :

RSSCV u =.

NT - (k1 + k2 ) Далее, по аналогии с уже делавшимся ранее, замечаем, что yi - X1i1 - X 2 = Z1i1 + Z2i +(i + uit ).

2i Только на этот раз в правой части E(Z2ii ) 0, так что OLS-оценки для 1 и, получаемые по этой модели (between-оценки) смещены и несостоятельны. Поэтому здесь для получения состоятельных оценок для 1 и применяем метод инструментальных переменных (2SLS), используя инструменты [Z1i X1it ]. При этом количество экзогенных переменных в X1it (k1) должно быть не меньше числа эндогенных переменных в Z2i (g2). Полученные 1,IV 2,IV оценки для 1 и обозначим и.

Используя теперь все четыре полученные оценки, образуем “остатки” 2,IV eit = yit - X1it 1,CV - X 2,CV - Z1i1,IV - Z2i 2it и на их основе определим статистику 296 Глава N T 2 S =, eit NT i=1 t=2 которая является состоятельной оценкой для суммы u + T.

Тогда состоятельная оценка для получается как 2 u S - =.

T Следующим шагом является выполнение стандартного GLSпреобразования всех переменных, используемого в RE-модели:

yit = yit - yi и т.п.

Для реализации этого преобразования в качестве оценки параметра берется = 1 -, где u =, 2 + T u 2 2 2 а и – полученные выше состоятельные оценки для u и.

u Это приводит к преобразованному уравнению yit = X1it1 + X 2 + Z1i1 + Z2i +.

2it 2 it К этому уравнению применяем метод IV (2SLS), используя инструменты [X1it - X1i, X2it - X, X1i, Z1i], и получаем в результате 2i T T T для вектора =[, ] инструментальную оценку Хаусмана– T T HT HT T Тейлора HT =[, ].

З а м е ч а н и я 1. В процедуре Хаусмана–Тейлора инструменты берутся внутри самой модели.

2. X1it используется как инструмент дважды: как среднее и как отклонение от среднего.

3. Если k < g, то параметр не идентифицируем. В этом 1 HT HT случае = CV и не существует.

Панельные данные T T T HT HT IV 1,IV 2,IV 4. Если k = g, то = CV и = = (, ).

1 (Случай точной идентифицируемости.) 5. Если k > g, то уравнение сверхидентифицируемо. В этом 1 HT случае матрица Cov(CV )- Cov( ) положительно определена и оценка Хаусмана–Тейлора более эффективна, чем “внутри”-оценка.

Влияние метода Хаусмана–Тейлора на прикладные исследования относительно мало из-за трудности нахождения экзогенных переменных X, которые можно было бы уверенно рассматривать как не коррелированные с (так что E(X )= 0 ).

i 1it i 3.11. Динамические модели Рассмотрим динамическую модель.

yit = yi,t -1 + i + uit, i = 1,K, N, t = 1,K,T, в которой <1, uit ~ i.i.d.N(0,u ) – инновации (так что E(uit yi,t -k )= 0 для k > 0 ). Будем предполагать, что значения yit наблюдаются для t = 0,1,K,T. “Bнутри”-оценка для имеет вид:

N T - yi )(yi,t -1 - yi,-1) (yit CV i=1 t =1 T =, N - yi,-1) i,t (y -i=1 t=где T T 1 yi = yit, yi,-1 = yi,t -1.

T T t =1 t =В соответствии с определением модели, 298 Глава T yi = + i + uit)= yi,-1 + i + ui, ( yi,t -T t =так что yit - yi = (yi,t -1 - yi,-1)+ (uit - ui) и N T - ui )(yi,t-1 - yi,-1) NT (uit CV i=1 t=1 T = +.

N - yi,-1) NT (yi,t-i=1 t =Рассмотрим предел по вероятности числителя дроби в правой части последнего выражения:

N T plim - ui)(yi,t -1 - yi,-1)= (uit N NT i=1 t =N T T T = plim yi,t -1 - ui yi,t -1 -yi, -1uit + T ui yi,-1 = uit N NT i=1 t =1 t =1 t =N = plim (- ui yi,-1).

N N i=Заметим, что yi1 = yi0 + i + ui1, yi2 = yi1 + i + ui 2 = yi0 + ( +1)i + ui1 + ui2,...

t t t -yit = yi0 + (1 - )i (1 - )+ ui1 + L + ui,t -1 + uit.

Отсюда, в частности, получаем, что при T = 2 указанный предел по вероятности равен N - p lim (( + 1) yi0 + i + ui1)(ui1 + ui2 )= N 4N i=N 2 u - p lim = - 0, uiN 4N i=Панельные данные CV так что оценка несостоятельна.

При произвольном Т получаем:

N T plim - ui)(yi,t -1 - yi,-1)= (uit N NT i=1 t =T N -1- T + 1 T = plim (- ui yi,-1)= -u 2 2, N N T (1- ) i= T N T 1 1 T -1 - T + u plim - yi,-1) =.

1 - - 2 2 (yi,t -N NT 1 - T T (1 - ) i=1 t = Отсюда вытекает, что если не только N, но и T, то первый предел по вероятности стремится к нулю, а второй – к CV u p lim = 0, N,T 1CV так что p lim =. Если же значение Т фиксировано, то тогда N CV CV первый предел не равен нулю и p lim, так что оценка N несостоятельна.

Асимптотическое смещение вызывается “внутри”преобразованием, исключающим индивидуальные эффекты i из каждого наблюдения, что порождает корреляцию между остатками (uit - ui) в преобразованной модели и “объясняющей переменной” (yi,t -1 - yi,-1). Когда Т велико, эта корреляция близка к нулю. Для малых значений Т смещение отрицательно, если > 0. Например, для Т асимптотическое смещение равно - (1- ) 2. Следующий CV график иллюстрирует, как асимптотическое смещение оценки изменяется c ростом Т.

300 Глава 0.0.0.0.2 3 4 5 6 7 8 9 -0.-0.-0.T GAM=0.1 GAM=0.3 GAM=0.5 GAM=0.7 GAM=0. ”Внутри”-оценка остается несостоятельной при малых T и когда в правую часть уравнения модели добавляются экзогенные объясняющие переменные.

Для преодоления этой проблемы можно воспользоваться другим преобразованием, “выметающим” i : вместо вычитания средних по времени перейти к первым разностям временных рядов для каждого субъекта. При этом получаем:

yi,t - yi,t -1 = (yi,t -1 - yi,t -2)+(uit - ui,t -1), или yi,t = yi,t -1 + uit, где обозначено yi,t = yi,t - yi,t -1, uit = uit - ui,t -1.

Здесь Cov(yi,t -1, uit )= Cov(yi,t -1 - yi,t -2, uit - ui,t -1)= = -Cov(yi,t -1,ui,t -1) 0.

lim_gamma_estim Панельные данные Поэтому OLS-оценка для в преобразованном (“продифференцированном”) уравнении оказывается несостоятельной даже если T. Однако к преобразованному уравнению можно применить метод инструментальных переменных (IV – instrumental variables). Для этого достаточно заметить, что если взять переменную yi,t-2, то для нее Cov(yi,t -2, uit)= Cov(yi,t -2, uit - ui,t -1)= 0, Cov(yi,t -2, yi,t -1)= Cov(yi,t -2, yi,t -1 - yi,t -2) 0, а это означает, что эта переменная может использоваться в качестве инструмента, и это приводит к оценке N T - yi,t )yi,t (yi,t -1 -i=1 t=IV N T =.

- yi,t )yi,t-i,t (y -1 -i=1 t =Необходимое условие состоятельности этой оценки:

N T plim - ui,t )yi,t = (uit -1 -N(T N -1) i=1 t =при T или/и N.

В качестве инструмента вместо yi,t-2 можно использовать, например, разность yi,t -2 - yi,t -3, что приводит к другой оценке N T - yi,t-1)(yi,t -2 - yi,t -3) (yi,t i=1 t IV N T = =, - yi,t-2 )(yi,t-2 - yi,t-3) i,t (y -i=1 t =для состоятельности которой необходимо, чтобы N T plim - ui,t )(yi,t - yi,t )= 0.

(uit -1 -2 -N(T N - 2) i=1 t =302 Глава Состоятельность обеих оценок гарантируется отсутствием автокоррелированности ui,t.

Заметим теперь, что N T plim - ui,t )yi,t = E[(uit - ui,t -1)yi,t -2]= 0, (uit -1 -N(T N -1) i=1 t =N T plim - ui,t )(yi,t - yi,t )= (uit -1 -2 -N(T N - 2) i=1 t == E[(uit - ui,t -1)(yi,t -2 - yi,t -3)]= 0.

Это условия на моменты совместных распределений пар случайных величин (uit - ui,t -1), yi,t-2 и (uit - ui,t -1), (yi,t -2 - yi,t -3). Если оба эти условия (условия ортогональности) выполняются, то использование сразу двух инструментов приводит к повышению эффективности оценок (используется большее количество информации). Заметим, что можно найти и другие подходящие инструменты. Например, каждая из переменных yi,t -2- j, j = 0,1,K удовлетворяет условиям E[(uit - ui,t -1)yi,t -2- j]= 0, E[(yi,t -1 - yi,t -2)yi,t -2- j] 0, так что и эти переменные годятся в качестве инструментов.

Arellano, Bond (1991) предложили расширить список инструментов, поступая следующим образом. Пусть, например, Т = 4. Соотношение E[(ui2 - ui1)yi0]= рассматривается как моментное условие для t = 2. Для t = 3 имеем E[(ui3 - ui2)yi1]= 0, но при этом справедливо и соотношение E[(ui3 - ui2)yi0]= 0.

Для t = 4 имеется три аналогичных моментных условия:

Панельные данные E[(ui4 - ui3)yi0]= 0, E[(ui4 - ui3)yi1]= 0, E[(ui 4 - ui3)yi2]= 0.

Всю эту совокупность моментных условий можно использовать рамках обобщенного метода моментов (GMM – generalized method of moments).

Для произвольного Т определим (T -1)1-вектор ui2 - ui ui = M u - ui,T i,T - и (T -1)(T(T -1)/ 2)-матрицу [yi0] 0 L 0 [yi0, yi1] L Zi = ;

M O M 0 L 0 [yi0,K, yi,T -2] каждая строка матрицы Zi содержит инструменты, подходящие для соответствующего момента времени. В этих обозначениях, указанная совокупность T(T -1)/ 2 моментных условий записывается в виде:

E[ZiT ui]= 0.

Если определить еще yi2 - yi1 yi1 - yi yi = M, yi,-1 = M, yi,T - yi,T -1 yi,T -1 - yi,T - то последнее соотношение записывается также в виде:

E[ZiT(yi - yi,-1)]= 0.

В отличие от метода наименьших квадратов здесь мы имеем количество моментных условий больше необходимого для 304 Глава определения с их помощью значения, так что использование разных условий приводит к различным оценкам. Следовательно, нет возможности получения значения, при котором выполняются все указанные моментные условия. Вместо этого приходится ограничиваться требованием в каком-то смысле “наилучшего” приближения ко всем моментным условиям сразу. Чтобы использовать всю совокупность моментных условий, в GMM минимизируется квадратичная форма от выборочных аналогов моментных условий T N N 1 T Q( )= (yi - yi,-1) WN T (yi - yi,-1), Zi Zi N N i=1 i=где WN – симметричная положительно определенная весовая матрица. Искомый минимум достигается при значении, равном -N N N N T T GMM T WN T = yi,-1 Zi yi,-1 Zi WN.

i=1 Zi i=1 yi,-1 i=1 Zi i=1 yi Это и есть GMM-оценка параметра. Свойства этой оценки зависят от выбора взвешивающей матрицы WN. Хотя она состоятельна при положительной определенности матрицы WN, в частности, для единичной матрицы WN = IN, желательно выбирать матрицу WN таким образом, чтобы GMM-оценка была по возможности наиболее эффективна – о такой матрице говорят как об оптимальной взвешивающей матрице. Такая матрица должна удовлетворять условию:

--T p lim WN = (Cov(ZiT ui)) =[E(ZiT ui(ui ) Zi)].

N И если на ковариационную матрицу вектора ошибок наблюдений для i -го субъекта не накладывается никаких ограничений, то можно поступить следующим образом.

Сначала полагаем WN = IN и производим GMM-оценивание коэффициента в модели yi,t = yi,t-1 + uit с такой Панельные данные (1) взвешивающей матрицей, получая предварительную оценку для. При этом получаем остатки (1) it = yi,t - yi,t-и составляем из них векторы i i = M.

i,T Искомая матрица определяется после этого соотношением -N T opt T WN = i (i ) Zi.

Zi N i=Если uit ~ i.i.d., то положение значительно упрощается. В этом случае -1 0 K 0 -1 2 - 1 K 0 0 -1 2 K 0 T 2 E(ui (ui ) )= G = u u M M M O M M 0 0 0 K 2 - 0 0 0 K - 1 и поэтому не требуется предварительного оценивания.

Оптимальная матрица определяется соотношением -N opt T WN = G Zi Zi N i=и GMM-оценивание производится за один шаг.

Pages:     | 1 |   ...   | 22 | 23 || 25 | 26 |   ...   | 30 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.