WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |   ...   | 30 |

180 Глава Пусть yi = Yii + Xii + ui = Zii + ui, X – матрица значений инструментальных переменных, Yi – матрица значений тех объясняющих переменных в i -м уравнении, которые не входят в состав инструментальных переменных и не являются линейными комбинациями последних. Гипотеза H0 : в i -м уравнении отсутствует проблема эндогенности, т.е. все объясняющие переменные в составе Yi не коррелированы с ui. Иначе говоря, это гипотеза экзогенности (предопределенности) переменных, входящих в состав Yi. Если эта гипотеза выполнена, то оценивание i -го уравнения можно производить обычным методом наименьших квадратов (OLS). В противном случае надо применять метод инструментальных переменных.

Сначала производится OLS оценивание уравнений регрессии объясняющих переменных, входящих в состав Yi, на инструментальные переменные:

Yi = X i +Wi и вычисляются прогнозные значения i этих переменных. Затем эти прогнозные значения добавляются в качестве дополнительных объясняющих переменных в правую часть i -го уравнения, что приводит к расширенному уравнению yi = Zi + i + i, i производится OLS оценивание расширенного уравнения и проверяется гипотеза H0 : = 0. Для проверки этой гипотезы используется обычный F -критерий, хотя, вообще говоря, он является в этой ситуации только приближенным критерием.

Вместо i в расширенном уравнении можно использовать остатки i = Yi - i, т.е. оценивать уравнение yi = Zi + i + i i Инструментальные переменные. Системы… и проверять гипотезу H0 : = 0 в рамках этого уравнения. В любом случае отклонение гипотезы H0 трактуется как наличие проблемы эндогенности, вызывающей несостоятельность OLS оценок параметров i -го структурного уравнения.

Еще один вариант критерия Хаусмана для проверки той же гипотезы состоит в следующем.

Наряду с остатками i = Yi - i, определенными выше, рассмотрим остатки i, получаемые при оценивании i -го уравнения обычным методом наименьших квадратов (OLS). Пусть R2 – коэффициент детерминации, получаемый при OLS оценивании уравнения i = Zi + i + i. Тогда при выполнении гипотезы i экзогенности статистика nR2 имеет асимптотическое (при n ) распределение (gi ), где gi – количество переменных в составе Yi. Эта гипотеза отвергается при nR2 > 12 (gi), где – выбранный уровень значимости критерия.

Можно указать и некоторые другие варианты реализации критерия Хаусмана для проверки гипотезы об отсутствии проблемы эндогенности в i -м уравнении. Но как бы там ни было, прежде чем производить проверку тех или иных переменных, включенных в структурное уравнение, на эндогенность, рекомендуется предварительно провести проверку пригодности самих выбранных инструментов. Такую проверку можно провести в том случае, когда количество имеющихся инструментов превышает их необходимое количество, и сделать это можно, используя, например, J-статистику, предложенную в работе [Godfrey, Hutton (1994)].

Пусть для очистки эндогенных переменных, входящих в правую часть i -го уравнения системы yi = Yii + Xii + ui = Zii + ui используется уравнение 182 Глава Yi = X i +Wi, где X – матрица значений инструментальных переменных.

Применив к i -му уравнению двухшаговый метод наименьших квадратов, получим 2SLS-остатки в виде i2SLS = yi - Zii2SLS.

После этого оценим линейную модель регрессии i2SLS на переменные, входящие в состав X. Пусть R2 – полученное при этом значение коэффициента детерминации. Указанная J -статистика равна J = nR2 и имеет асимптотическое (при n ) распределение хи-квадрат с числом степеней свободы, равным разности между количеством переменных в составе X и количеством объясняющих переменных в первом уравнении.

Гипотеза пригодности выбранного множества инструментов отвергается при значениях J -статистики, превышающих критическое значение, рассчитанное по указанному хи-квадрат распределению (т.е. при значениях J -статистики, для которых P значение оказывается меньше заданного уровня значимости). Если это происходит, то тогда нет смысла заниматься IV оцениванием коэффициентов рассматриваемого уравнения с выбранным множеством инструментов, поскольку в этом случае или сами эти инструменты непригодны или уравнение неправильно специфицировано.

Если указанная гипотеза не отвергается J -критерием, то тогда переходят ко второму шагу, на котором используется критерий Хаусмана (в том или ином его варианте) для проверки переменных в i -м уравнении системы на эндогенность/экзогенность.

В работе [Godfrey, Hutton (1994)] показано, что статистики, используемые в такой двухступенчатой процедуре, асимптотически независимы, так что вероятность ошибочного решения в этой процедуре приближенно равна 1-(1-J )(1-H )= J +H -JH, где – уровень значимости J -критерия, а H – уровень J значимости критерия Хаусмана, используемого на втором шаге.

Инструментальные переменные. Системы… З а м е ч а н и е Отклонение нулевой гипотезы при применении критериев экзогенности означает только, что проблема эндогенности существует. Однако степень влияния обнаруженной эндогенности на смещение обычных оценок наименьших квадратов остается при этом неизвестной. Вместе с тем, мощность критериев типа Хаусмана становится довольно низкой, если инструменты слабо коррелированы с эндогенными переменными. И это означает, что нулевая гипотеза экзогенности может быть не отвергнута, а смещение OLS оценок в то же время велико. Поэтому во многих практических исследованиях авторы сообщают и результаты IV- оценивания и результаты OLS-оценивания.

2.6.7. Примеры оценивания систем одновременных уравнений.

П р и м е р Рассмотрим модель спроса-предложения в виде:

P = 1Q +11 +12DPI + u1, Q = 2P +21 +22Weather +23Invest + u2, где P – розничная цена свежих фруктов, выраженная в постоянных ценах с использованием индекса розничных цен, Q – потребление свежих фруктов на душу населения, DPI – располагаемый доход на душу населения, дефлированный на индекс потребительских цен (CPI), Weather – климатическая характеристика, отражающая размер потенциальных потерь урожая из-за неблагоприятных погодных условий, Invest – дефлированный на CPI объем на душу населения чистых инвестиций производителей свежих фруктов, отражающий издержки производства.

184 Глава Первое уравнение является уравнением спроса, а второе – уравнением предложения.

Всего имеется 30 наблюдений; все переменные выражены в индексной форме с одним и тем же базовым периодом.

Price (P) Quantity (Q) DPI Weather Invest 1 108.9 127.4 97.6 99.1 142.2 100.6 105.1 98.2 98.9 123.3 109.7 76.7 99.8 110.8 111.4 111.6 93.8 100.5 108.2 121.5 109.8 88.3 96.6 108.7 92.6 104.4 78.4 88.9 100.6 97.7 89.6 89.6 84.6 70.9 64.8 117.2 75.3 96.4 110.5 78.9 109.3 109.1 104.4 92.5 109.10 114.9 121.3 110.7 89.3 128.11 112.0 106.3 99.1 90.3 95.12 112.9 129.1 105.6 95.2 130.13 121.0 118.6 116.8 98.6 125.14 112.8 94.3 105.3 105.7 109.15 102.9 81.0 85.6 107.8 88.16 86.0 104.9 84.8 80.4 96.17 95.7 94.6 89.8 90.7 90.18 104.9 102.9 93.2 88.9 101.19 114.0 110.6 105.9 96.9 110.20 121.9 111.7 110.8 101.9 117.21 127.2 117.6 115.3 104.9 134.22 128.3 125.1 120.6 103.6 140.23 125.0 87.4 105.7 106.2 78.24 117.1 84.6 103.5 100.8 94.25 122.7 107.8 110.6 110.5 135.26 111.6 120.7 109.3 86.7 126.27 114.1 102.8 99.5 93.8 90.28 110.4 99.2 105.9 99.9 134.29 109.2 107.1 102.7 104 123.30 108.9 127.4 97.6 99.1 142.Переходя к обозначениям, использованным ранее при рассмотрении систем одновременных уравнений, запишем систему в виде:

Инструментальные переменные. Системы… yt1 = 11yt 2 +11xt1 +21xt 2 + ut1, y = 12 yt1 +12xt1 +22xt3 +32xt + ut, t 2 4 где yt1 = Pt, yt 2 = Qt, xt1 1, xt 2 = (DPI), xt3 = (Weather), t t xt 4 = (Invest). Список эндогенных переменных: (yt1, yt 2). Список t экзогенных переменных: (1, xt 2, xt3, xt 4). Полный список переменных, включенных в систему: (yt1, yt 2,1, xt 2, xt3, xt 4). Соответственно, g = 2, K = 4, - 11 12 - -12 11 =, B =, = =.

1 0 22 B 21 -11 0 32 0 0 На элементы первого столбца матрицы A помимо нормировочного накладывается два исключающих ограничения 51 = 0, 61 = 0, так что для этого столбца g1 = 0, K1 = 2, и g1 + K1 > g - 1, т.е.

порядковое условие идентифицируемости выполняется. На элементы второго столбца помимо нормировочного накладывается одно исключающее ограничение 42 = 0, так что для этого столбца g2 = 0, K2 = 1, и g2 + K2 = g -1, т.е. порядковое условие идентифицируемости выполняется.

Для проверки выполнения ранговых условий идентифицируемости воспользуемся Замечанием 3 из разд. 2.5. В соответствии с этим замечанием построим таблицу коэффициентов:

yt1 yt 2 xt 2 xt3 xt i 1 1 11 11 21 0 2 12 1 12 0 22 186 Глава При рассмотрении первого уравнения выделяемая матрица сводится к одной строке с двумя элементами: (22 32). Ранг этой матрицы равен 1, что совпадает со значением g -1 =1, так что первое уравнение идентифицируемо. При рассмотрении второго уравнения выделяемая матрица сводится к одному элементу: (21). Ранг этой матрицы равен также равен 1, так что и второе уравнение идентифицируемо. Разница только в том, что для первого уравнения g1 + K1 > g -1, а для второго g2 + K2 = g -1, т.е. первое уравнение сверхидентифицируемо, а второе идентифицируемо точно.

Соответственно, для оценивания второго уравнения можно использовать косвенный метод наименьших квадратов, а для оценивания первого уравнения этот метод не годится.

Чтобы применить косвенный метод наименьших квадратов, сначала раздельно оценим методом наименьших квадратов уравнения приведенной формы yt1 = 11 + 21xt 2 + 31xt3 + 41xt 4 + wt1, yt 2 = 12 + 22xt 2 + 32xt3 + 42xt 4 + wt 2.

Это дает следующие результаты (в пакете EVIEWS):

Dependent Variable: YVariable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C -12.40954 8.192675 -1.514712 0.X2 1.030854 0.090988 11.32951 0.X3 0.361564 0.066508 5.436388 0.X4 -0.152442 0.040203 -3.791820 0.R-squared 0.902361 Mean dependent var 111.Adjusted R-squared 0.891094 S.D. dependent var 9.S.E. of regression 3.259777 Akaike info criterion 5.Sum squared resid 276.2797 Schwarz criterion 5.Log likelihood -75.87140 F-statistic 80.Durbin-Watson stat 2.016289 Prob(F-statistic) 0.Инструментальные переменные. Системы… Dependent Variable: YVariable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 81.78495 17.56752 4.655463 0.X2 0.581396 0.195106 2.979896 0.X3 -0.924096 0.142613 -6.479734 0.X4 0.475229 0.086207 5.512656 0.R-squared 0.824120 Mean dependent var 101.Adjusted R-squared 0.803826 S.D. dependent var 15.S.E. of regression 6.989927 Akaike info criterion 6.Sum squared resid 1270.336 Schwarz criterion 7.Log likelihood -98.75575 F-statistic 40.Durbin-Watson stat 2.084533 Prob(F-statistic) 0.Используем теперь соотношение =, которое в нашем примере принимает вид 11 12 11 22 1 -12 = 21 32 1 0 42 - 0 41 и приводит к уравнениям:

11 -1211 = 11, 12 -1112 = 12, 21 - 2211 = 21, 22 -2112 = 0, 31 - 3211 = 0, 32 -3112 = 22, 41 - 4211 = 0, 42 -4112 = 32.

Поскольку точно идентифицируемо только второе структурное уравнение системы, интерес для применения косвенного метода наименьших квадратов представляют только коэффициенты этого уравнения 12, 12, 22 и 32. Это означает, что из восьми приведенных уравнений достаточно рассмотреть только четыре уравнения, стоящие в правом столбце. Решая эти уравнения, находим:

12 = 22 21, 188 Глава 12 = 11 - 12(22 ), 22 = 31 -32(22 21), 32 = - 42( ).

41 22 Подставляя в правые части оцененные значения коэффициентов, ki находим оценки для коэффициентов второго структурного уравнения. Например, 22 12 = = 0.581396 1.030854 = 0.5639945. В отношении трех остальных коэффициентов получаем:

12 = 88.78386, 22 = -1.128017, 32 = 0.561206.

З а м е ч а н и е В таблицах результатов применения косвенного метода наименьших квадратов обычно не приводятся значения стандартных ошибок коэффициентов, поскольку из-за нелинейности соотношений между коэффициентами структурной и приведенной форм вычисление стандартных ошибок оценок коэффициентов при конечных n затруднительно. В то же время при применении двухшагового метода наименьших квадратов для вычисления этих ошибок имеются соответствующие формулы. Поэтому мы могли бы вычислить искомые стандартные ошибки оценок коэффициентов первого уравнения рассматриваемой системы, используя 2SLS и имея в виду, что в случае точно идентифицируемого уравнения результаты оценивания его коэффициентов методами ILS и 2SLS совпадают. Проблема, однако, в том, что (см., например, [Sawa (1969)]) в этой ситуации у 2SLS оценки не существует конечных выборочных моментов. Соответственно, по сравнению с нормальным распределением, оценки более часто далеко отклоняются от истинных значений параметров, и это затрудняет интерпретацию полученных результатов.

Имея в виду сделанное замечание, применим все же двухшаговый метод наименьших квадратов для оценивания обоих Инструментальные переменные. Системы… структурных уравнений. Результаты применения этого метода таковы:

System: FRU Estimation Method: Two-Stage Least Squares Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C(1) -0.361831 0.081657 -4.431122 0.C(2) 18.16639 9.760145 1.861283 0.C(3) 1.279190 0.126018 10.15089 0.C(4) 0.563994 0.175307 3.217171 0.C(5) 88.78386 15.06578 5.893080 0.C(6) -1.128017 0.158217 -7.129565 0.C(7) 0.561206 0.065442 8.575557 0.Determinant residual covariance 479.Equation: Y1=C(1)*Y2+C(2)+C(3)*XObservations: R-squared 0.781184 Mean dependent var 111.Adjusted R-squared 0.764975 S.D. dependent var 9.S.E. of regression 4.788722 Sum squared resid 619.Durbin-Watson stat 2.Equation: Y2=C(4)*Y1+C(5)+C(6)*X3+C(7)*XObservations: R-squared 0.849107 Mean dependent var 101.Adjusted R-squared 0.831696 S.D. dependent var 15.S.E. of regression 6.474401 Sum squared resid 1089.Durbin-Watson stat 2.Оценки всех коэффициентов кроме постоянной составляющей в первом уравнении имеют высокую статистическую значимость.

Отрицательное значение оценки коэффициента при переменной yt 2 в первом уравнении согласуется с тем, что первое уравнение является уравнением спроса. Положительное значение оценки при переменной yt1 во втором уравнении согласуется с тем, что второе уравнение является уравнением предложения. Также соответствуют априорным 190 Глава предположениям знаки оцененных коэффициентов при переменных xt 2, xt3 и xt 4 (увеличение спроса при возрастании дохода, уменьшение предложения при усилении неблагоприятных погодных факторов и увеличение предложения при возрастании инвестиций).

Вместе с тем, если обратиться к оцениванию корреляционной матрицы ошибок в структурных уравнениях, то оцененная на основании векторов остатков i2SLS = yi - Zii2SLS ковариационная матрица имеет вид:

20.638675 16. 16.439387 36.328821.

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |   ...   | 30 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.