WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 30 |

j n Заменяя в выражении для Cov( ) истинные значения ij их оценками ij, получаем состоятельную оценку ковариационной матрицы Cov( ) в виде I. В результате приходим к доступной g обобщенной оценке наименьших квадратов (FGLS – feasible generalized least squares) -T T 3SLS =( (-1 I )) (-1 I )y, g g 170 Глава известной под названием трехшаговой оценки наименьших квадратов, или 3SLS-оценки (three-stage least squares).

2.6.4. Оценивание систем одновременных уравнений с использованием метода максимального правдоподобия Запишем совокупность g одновременных уравнений для n наблюдений в виде:

Y = X +U, где y11 K y1g Y = M O M – матрица значений в n наблюдениях всех g yn1 L yng эндогенных переменных, включенных в систему, x11 K x1K X = M O M – матрица значений в n наблюдениях всех xn1 K xnK K предопределенных переменных, включенных в систему, u11 K u1g U = M O M – матрица значений в n наблюдениях u L ung n случайных ошибок в g структурных уравнениях системы, K 1g 11 K 1g = M O M, = M O M – матрицы K K g1 gg K1 Kg коэффициентов.

Сделаем следующие предположения относительно векторов ut = (ut1,K,utg ) ошибок в g уравнениях в t -м наблюдении:

Инструментальные переменные. Системы… • векторы u1,K,un имеют одинаковое g -мерное нормальное распределение Ng(0,) с нулевым вектором математических ожиданий и положительно определенной ковариационной матрицей ;

• векторы u1,K,un независимы между собой.

При таких предположениях совместная плотность распределения случайных векторов u1,K,un имеет вид:

n pU (u1,K,un)= t 1 exp- 1 ut-1uT.

g t =1 ( 2 ) det Поскольку ut = yt - xt, то переходя от переменных u1,K,un к переменным y1,K, yn, получаем выражение для совместной плотности значений векторов y1,K, yn в виде:

-n g pY (y1,K, yn)= J ( 2 ) det T exp- (yt - xt )-1(yt - xt ), где J – якобиан перехода от переменных u1,K,un к переменным n y1,K, yn, J = det. Для взаимной однозначности такого перехода требуется, чтобы det 0. Рассматривая правую часть последнего выражения как функцию от неизвестных параметров, составляющих матрицы,,, при известных значениях Y, X, получаем функцию правдоподобия -n g n L(,, Y, X )= det ( 2 ) det n T exp- - xt )-1(yt - xt ), (yt t = 172 Глава логарифм которой равен n ng ln L(,, Y, X )= nln det - ln(det )- ln(2 )- 2 n T - - xt )-1(yt - xt ).

(yt t =Продифференцировав последнее выражение по элементам матрицы -1 и приравнивая найденные производные нулю, приходим к соотношению:

T = n-1(Y - X ) (Y - X ).

Подставляя полученное выражение для в правую часть выражения для ln L(,, Y, X ) и отбрасывая слагаемые, не зависящие от неизвестных параметров, получаем концентрированную логарифмическую функцию правдоподобия n T ln L(, ) = n ln det - ln n-1(Y - X ) (Y - X ).

Оценки матриц и находятся максимизацией ln L с учетом всех ограничений, накладываемых на коэффициенты структурных уравнений. В частности, если используются только исключающие и нормировочные ограничения, то максимизация проводится только по неспецифицированным элементам этих матриц. В процессе такой T максимизации матрица (Y - X ) (Y - X ) должна иметь полный ранг для всех допустимых значений и. Необходимым условием для этого является условие n g + K. Такое условие может быть ограничительным для систем с большим количеством переменных.

Матрицы и, получаемые в результате максимизации ln L, T и матрица = n-1(Y - X ) (Y - X ) вместе образуют оценку максимального правдоподобия, учитывающую полную информацию о структуре модели одновременных уравнений. Поэтому такую Инструментальные переменные. Системы… оценку называют оценкой максимального правдоподобия с полной информацией (FIML – full information maximum likelihood).

Пусть • выполнены сделанные выше предположения, • ранговое условие идентифицируемости выполняется для всех структурных уравнений системы, • матрица X имеет полный ранг, T • предельная матрица p lim X X = Q имеет конечные n n элементы и положительно определена.

Тогда FIML-оценка состоятельна и асимптотически нормальна. При этом требование нормальности распределения векторов u1,K,un не обязательно. (См., например, [Amemiya (1985), глава 7].) З а м е ч а н и е Если при выводе FIML отправляться не от структурной, а от приведенной формы системы, учитывающей ограничения, накладываемые на коэффициенты структурной формы, то тогда дело сводится к максимизации концентрированной функции правдоподобия n T ln L(,)= - ln n-1(Y - X -1) (Y - X -1), т.е., с учетом соотношения = -1, к минимизации целевой функции ~ T Q(, )= Q()= (Y - X ) (Y - X ) по элементам матрицы с учетом ограничений, накладываемых на коэффициенты этой матрицы выбранной спецификацией матриц и.

Если не учитывать эти ограничения при минимизации целевой ~ функции Q(), то при сверхидентифицируемости отдельных уравнений системы возникает неоднозначность восстановления и по полученной оценке. Если же все уравнения системы 174 Глава идентифицируемы точно, то значения и восстанавливаются однозначно и при этом восстановленные значения и совпадают с оценками, полученными при минимизации Q(,) по и.

З а м е ч а н и е При практической реализации метода FIML приходится использовать итерационные процедуры. Для обеспечения состоятельности и асимптотической нормальности FIML-оценки в качестве начальных значений параметров необходимо использовать их состоятельные оценки. Их можно получить двухшаговым методом наименьших квадратов. Если система неидентифицируема, то итерационный процесс может не сходиться.

З а м е ч а н и е Перед применением FIML обычно производят исключение из системы тождеств и недоидентифицируемых уравнений.

З а м е ч а н и е В рекурсивной системе с диагональной ковариационной матрицей оценка FIML получается применением OLS отдельно к каждому уравнению.

Пусть первое стохастическое структурное уравнение y1 = Y11 + X11 + uидентифицируемо, а другие уравнения либо неидентифицируемы либо имеются сомнения в правильности их спецификации. Пусть при этом известен список всех предопределенных переменных, включаемых в систему, и значения этих предопределенных переменных в n наблюдениях, так что известна матрица X этих значений и можно говорить о приведенной форме системы:

Y = X +W.

Удалим из приведенной формы часть, относящуюся к y1; оставшаяся часть принимает вид:

Инструментальные переменные. Системы… Y1 = X1 +W1.

Вместо полной системы структурных уравнений или полной приведенной системы рассмотрим теперь смешанную систему:

y1 = Y11 + X11 + u1, Y = X1 +W1.

Эту систему можно записать в виде u [y1 Y1] 1 Ig-1 =[X1 X1 ] 1 + W -1 и применить к ней метод FIML. Такая процедура приводит к оценке параметров 1,1,, называемой оценкой максимального правдоподобия с ограниченной информацией (LIML – limited information maximum likelihood).

При практической реализации этой процедуры итерационными методами в качестве начальных значений следует использовать состоятельные оценки параметров 1,1, 1. Состоятельную оценку матрицы 1 можно получить непосредственным применением метода наименьших квадратов к уравнениям системы Y1 = X1 +W1.

Состоятельные оценки параметров 1 и 1 можно получить, применяя двухшаговый метод наименьших квадратов.

2.6.5. Связь между различными оценками систем одновременных уравнений Пусть интерес представляет оценивание отдельного уравнения (single equation) структурной формы системы. Тогда:

• если оно идентифицируемо без запаса (точно), то достаточно применить косвенный метод наименьших квадратов ILS;

• если оно сверхидентифицируемо, то можно применить 2SLS, LIML, 3SLS, FIML.

176 Глава Для применимости 3SLS и FIML необходимо знать структуру всех уравнений системы и убедиться в идентифицируемости всех этих уравнений. Для применимости 2SLS и LIML достаточно знать только структуру рассматриваемого уравнения и список (и значения) всех предопределенных переменных, включенных в систему. В 2SLS и LIML ошибка спецификации одного структурного уравнения системы локализуется в пределах этого уравнения; в 3SLS и FIML такая ошибка влияет на оценку всех уравнений.

Предположим теперь, что выполнены указанные ранее условия состоятельности оценок. Тогда:

• если i -е структурное уравнение идентифицируемо точно, то оценки 2SLS, LIML и ILS совпадают; если же оно сверхидентифицируемо, то тогда оценки 2SLS и LIML имеют одинаковое асимптотическое распределение, но оценка LIML предпочтительнее при малом количестве наблюдений;

• если i -е структурное уравнение идентифицируемо, то 2SLS дает состоятельные оценки параметров и n(i2SLS - )d N(0,C2 );

i • если все структурные уравнения идентифицируемы, то 3SLS дает состоятельные оценки параметров и n(i3SLS - )d N(0,C3 ), причем матрица C2 - C i неотрицательно определена (положительно полуопределена), так что 3SLS приводит к более эффективным оценкам;

• если = Ig и все структурные уравнения идентифицируемы точно, то i3SLS = i2SLS ;

• оценки FIML и 3SLS имеют одинаковое асимптотическое распределение; при конечных n предпочтительнее FIML.

Инструментальные переменные. Системы… З а м е ч а н и е Если в i -м структурном уравнении системы Y = X +U ошибки автокоррелированы, то для учета этой автокоррелированности можно использовать комбинацию 2SLS и GLS, не прибегая к 3SLS. Пусть, например, ошибки в i -м уравнении следуют процессу авторегрессии первого порядка, uti = ut-1,i +t, < 1.

Тогда естественно применить к i -му уравнению авторегрессионное преобразование (Кохрейна–Оркатта). Состоятельную оценку для можно получить, оценивая обычным методом наименьших квадратов (OLS) уравнение IV ti = tIV1,i +, - t IV где ti – остатки, полученные в результате применения к i -му уравнению метода инструментальных переменных. При этом для повышения эффективности оценивания к используемым в качестве инструментов в 2SLS переменным xt = (xt1,K, xtK ) можно добавить yt-1 = (yt -1,1,K, yt-1,g ) и xt -1 = (xt-1,1,K, xt -1,K ).

2.6.6. Проверка правильности спецификации системы одновременных уравнений Мы уже говорили выше (Замечание 3 в разд. 2.6.2) о возможности проверки адекватности i -го структурного уравнения, опираясь на остатки i2SLS = yi - Zii2SLS, полученные в результате применения двухшагового метода наименьших квадратов к этому уравнению, в отношении таких стандартных предположений как линейность уравнения, нормальность, гомоскедастичность и некоррелированность ошибок.

Между тем не менее важным является вопрос о правильности подразделения включенных в систему переменных на эндогенные и экзогенные переменные, произведенного на основании 178 Глава соответствующих экономических и логических представлений о связях между переменными. Еще одна проблема спецификации структурных уравнений состоит в том, что сверхидентифицируемость i -го уравнения системы yi = Yii + Xii + ui = Zii + ui может быть просто следствием того, что на коэффициенты этого уравнения наложены ограничения, которых в действительности нет.

Например, из i -го уравнения могут быть ошибочно исключены некоторые предопределенные переменные, включенные в другие уравнения системы. Хотелось бы иметь какой-то статистический инструментарий, позволяющий ответить на такие вопросы. Ряд статистических критериев, служащих этой цели, использует следующую идею Хаусмана [Hausman (1978)].

Пусть для ( p 1) -вектора параметров имеются две различные ~ ~ оценки и, причем оценка состоятельна и при гипотезе H0 и при альтернативной гипотезе H, а оценка состоятельна и A асимптотически эффективна при гипотезе H0, но не является состоятельной при гипотезе H. Рассмотрим разность этих двух A ~ оценок q = -. Поскольку при гипотезе H0 обе оценки состоятельны, т.е. сходятся по вероятности к истинному значению, то их разность q сходится по вероятности к нулю.

Следовательно, если гипотеза H0 верна, то мы не ожидаем больших отклонений значения q от нуля, и наличие таковых может трактоваться как указание на невыполнение гипотезы H0.

Критерий Хаусмана для проверки правильности спецификации системы одновременных уравнений ([Hausman (1978)]) использует в качестве трехшаговую оценку наименьших ~ квадратов, а в качестве – двухшаговую оценку наименьших квадратов. Если все структурные уравнения специфицированы Инструментальные переменные. Системы… правильно, то 3SLS состоятельна и эффективна; если же хотя бы одно из уравнений специфицировано неправильно, то 3SLS перестает быть состоятельной оценкой.

Однако, как было отмечено в [Spencer, Berk (1981)], для применения этого критерия необходима спецификация всех структурных уравнений системы, тогда как на практике чаще представляет интерес правильность спецификации какого-то отдельного структурного уравнения. В таком случае речь идет о проверке правильности спецификации i -го структурного уравнения при ограниченной информации об остальной части системы (как при построении LIML оценки).

Статистика критерия Хаусмана определяется как H = n qT [asCv(q)]-1 q, где asCv(q) – состоятельная оценка асимптотической ~ ковариационной матрицы asCov(q) разности q = -, и при выполнении достаточно общих условий гипотезе H0 имеет асимптотическое распределение хи-квадрат. Некоторые трудности при использовании этой статистики вызывает то обстоятельство, что ~ компоненты вектора q = - в общем случае линейно зависимы, вследствие чего матрица asCov(q) может быть вырожденной и не иметь обратной в обычном смысле. В связи с этим, в формуле для статистики H следует использовать не обычную обратную матрицу, а так называемую обобщенную обратную матрицу.

Указанные трудности можно обойти, используя различные асимптотически эквивалентные версии критерия Хаусмана, основанные на оценивании тех или иных уравнений регрессии. В таких вариантах этого критерия дело сводится к проверке значимости оцененных коэффициентов соответствующих уравнений.

Версия критерия Хаусмана, приведенная в [Davidson, MacKinnon (1993)] и называемая там критерием Дарбина–Ву–Хаусмана (Durbin–Wu–Hausman test), состоит в следующем.

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 30 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.