WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 30 |

0 0 0 0 Тогда 1 - a1 - b0 0 0 1 0 0 b 1 =, 0 0 0 0 1 a0 b0 = b 0 b2 0 b 0 0 0 1 0 b T 11 = (1,-, 0 0 0 0 1 b1,b0,b2,b3) = b 146 Глава b rank(1)= rank(11)= rank =1, bтак что rank(1)= g -1 и для первого уравнения выполнено ранговое условие идентифицируемости. Поскольку g1 + K1 > g -1, то первое уравнение сверхидентифицируемо.

Приведем теперь пример системы, в которой присутствуют линейные ограничения неисключающего типа (упрощенный вариант модели мультипликатора-акселератора):

Ct = a0 + a1Yt + a2Ct-1 + ut1, I = b0 + b1(Yt -Yt-1)+ ut, t Y = Ct + It, t где Ct – потребление, It – инвестиции, Yt – доход. Подставляя выражение для Yt из последнего тождества во второе уравнение, запишем систему в виде:

Ct - a1Yt = a0 + a2Ct-1 + ut1, (1- = b0 - b1Yt-1 + ut 2.

- Ct + b1)Yt Список эндогенных переменных: (Ct,Yt ). Список предопределенных переменных: (1,Ct-1,Yt-1). Полный список: (Ct,Yt,1,Ct-1,Yt-1).

Матрица :

- - a1 1- b = a0 b0.

a2 0 - b В первом столбце одно исключающее ограничение 51 = 0, т.е.

11 = 0, где 1 = (0 0 0 0 1). При этом Инструментальные переменные. Системы… rank(1)= rank(11)= rank(- b1)=1 = g -1, так что первое уравнение идентифицируемо. Поскольку g1 + K1 =1 = g -1, это уравнение идентифицируемо точно.

Во втором столбце одно исключающее ограничение 42 = 0 и одно неисключающее ограничение 12 +22 = 52. Эту пару ограничений можно записать в виде 22 = 0, где 0 0 0 1 2 =.

1 1 0 0 - Тогда - - a1 1- b0 0 0 1 0 a2 2 =, 1 1 0 0 -1 a0 b0 = a1 1- a2 0 0 - b rank(2)=1, так что rank(2)= g -1 и для второго уравнения также выполнено ранговое условие идентифицируемости. Поскольку же R2 = 2 > g -1, то второе уравнение сверхидентифицируемо.

З а м е ч а н и е Константа играет в проблеме идентифицируемости такую же роль, что и остальные предопределенные переменные. Это илюстрирует следующий пример.

Мы уже выяснили ранее, что в системе Qt = a0 + a1Pt + ut, Q = b0 + b1Pt + vt t 148 Глава оба уравнения неидентифицируемы. Исключим константу из правой части второго уравнения:

Qt = a0 + a1Pt + ut, Q = b1Pt + vt.

t Для измененной системы имеем те же списки эндогенных и предопределенных переменных; полный список переменных в системе: (Qt, Pt, 1). При этом g = 2, K =1, матрица не изменяется, а матрицы и принимают вид:

1 =, = (a0,0), - a1 - b1 = = - a1 - b1.

B a0 На первый столбец матрицы не накладывается никаких ограничений кроме нормировочных, так что g1 = 0, K1 = 0, и для первого уравнения не выполнено порядковое условие gi + Ki g -1. Следовательно первое уравнение не идентифицируемо. Однако на второй столбец на этот раз накладывается исключающее ограничение 32 = 0, т.е. 22 = 0, где 2 = (0 0 1).

При этом rank (2) = rank(a0 0) = rank(21)= (a0)= 1 = g -1, так что второе уравнение идентифицируемо. Поскольку g2 + K2 =1 = g -1, это уравнение идентифицируемо точно.

Инструментальные переменные. Системы… З а м е ч а н и е Критерий идентифицируемости дает один и тот же результат в отношении i -го стохастического структурного уравнения (содержащего случайные ошибки в правой части) независимо от того, рассматривается полная система вместе с тождествами или система, в которой тождества учтены и исключены. Это илюстрирует следующий пример.

При исследовании вопроса об идентифицируемости модели Qd = a0 + a1P + ut, s Q = b0 + b1P + vt, Q = Qd s и различных ее расширений мы, исключая (и учитывая) тождество, сводили эти модели к системам без тождеств, так что в правых частях всех уравнений преобразованных систем присутствовали случайные ошибки. Поступая, например, таким образом с системой трех уравнений Qtd = a0 + a1Pt + a2Yt + ut, s Q = b0 + b1Pt + vt, t Q = Qts, d t мы проверяли условия идентифицируемости системы двух уравнений, полученных на основании этой системы:

Qt = a0 + a1Pt + a2Yt + ut, = b0 + b1Pt + vt, Qt и обнаружили, что первое уравнение системы неидентифицируемо, а второе идентифицируемо точно.

Попоробуем проверить условия идентифицируемости непосредственно в рамках исходной системы трех уравнений, так что g = 3. Для этой системы список эндогенных переменных полнее, чем у преобразованной системы: (Qtd,Qts, Pt), тогда как 150 Глава список предопределенных переменных (1, Yt ) не изменяется.

Полный список содержит теперь 5 переменных: (Qtd,Qts, Pt,1,Yt).

Перенесем все эндогенные переменные в левые части уравнений:

- a1Pt = a0 + a2Yt + ut, Qtd s Q - b1Pt = b0 + vt, t Q - Qts = 0, d t Матрица имеет вид:

1 0 0 1 - = - a1 - b1 0.

a0 b0 a2 0 На элементы первого столбца накладывается исключающее ограничение 21 = 0, т.е. 11 = 0, где 1 = (0 1 0 0 0). При этом rank(1)= rank(0 1 -1)=1 < g -1 = 2, так что первое уравнение неидентифицируемо. На элементы второго столбца накладывается K2 = 2 исключающих ограничения:

12 = 0 и 52 = 0, т.е. 22 = 0, где 1 0 0 0 2 =.

0 0 0 0 При этом 1 0 rank(2)= rank = 2 = g -1, 0 aтак что второе уравнение идентифицируемо, причем идентифицируемо точно, поскольку g2 + K2 = 2 = g -1. Результаты в Инструментальные переменные. Системы… отношении каждого из двух стохастических уравнений оказались одинаковыми для систем из трех и из двух уравнений.

До сих пор мы рассматривали только возможность восстановления коэффициентов структурных уравнений по коэффициентам приведенной формы. Однако идентифицируемость i -го стохастического структурного уравнения строго говоря означает не только идентифицируемость коэффициентов этого уравнения, но и идентифицируемость дисперсии случайной составляющей в этом уравнении. Идентифицируемость системы структурных уравнений в целом (на основании приведенной формы системы) означает не только идентифицируемость всех коэффициентов системы, но и идентифицируемость ковариационной матрицы случайных ошибок, входящих в правые части уравнений системы. При этом при восстановлении коэффициентов и ковариационной матрицы ошибок в структурной форме используются не только коэффициенты приведенной формы, но и ковариационная матрица ошибок в приведенной форме.

Обратимся опять к общей форме системы:

yt = xt + ut, t =1,K, n, где 11 K 1g 11 K 1g = M O M, = M O M, g1 K K1 K gg Kg yt = (yt1,K, ytg), xt = (xt1,K, xtK ), ut = (ut1,K,utg ) и предполагается невырожденность матрицы. Приведенная форма системы:

yt = xt-1 + ut-1 = xt + wt, 152 Глава где 11 K 1g = -1 = M O M, wt = ut-1 = (wt1,K, wtg ).

K K1 Kg Пусть T E(ut )= 0, Cov(ut ut)= (Cov(uti,utj))= = (ij), Cov(utTus)= (Cov(uti,usj))= 0 для t s, так что ошибки не коррелированы по времени, но для одного и того же момента времени ошибки в разных уравнениях могут быть коррелированными между собой. Тогда E(wt )= 0 и для T ковариационной матрицы = (ij)= Cov(wt wt)= (Cov(wti, wtj)) вектора wt ошибок в приведенном уравнении имеем:

T = Cov(wt )= Cov(ut-1)= (-1) (-1), так что = T.

Следовательно, если структурная система идентифицируема (коэффициенты структурной системы однозначно восстанавливаются по коэффициентам приведенной формы), то тогда, восстановив по коэффициентам приведенной формы матрицу, можно, используя эти восстановленные коэффициенты и матрицу, восстановить ковариационную матрицу.

Если структурная форма не восстанавливается целиком, а возможно лишь восстановление некоторых ее уравнений, то тогда для полной идентификации i -го стохастического структурного уравнения надо восстановить все его коэффициенты и дисперсию случайной составляющей этого уравнения. Пусть нас интересует, Инструментальные переменные. Системы… например, первое уравнение системы. Представим тогда матрицу в виде 11 K 1g 11 12 K 1g = M O M = [1 : 1 ], где 1 = M 1 = M O M.

g1 K g 2 K ggg gg Дисперсия случайной составляющей в первом структурном T уравнении равна 11 = 1 1, так что для ее восстановления по приведенной форме достаточно предварительно восстановить только коэффициенты первого уравнения. Аналогично, если нас интересует i -е стохастическое структурное уравнение, то дисперсия случайной составляющей в этом структурном уравнении равна T ii =, где – i -й столбец матрицы, и для восстановления i i i ii достаточно предварительно восстановить коэффициенты i -го уравнения.

В качестве примера рассмотрим опять структурную систему Qt = a0 + a1Pt + a2Yt + ut, Qt = b0 + b1Pt + vt.

Мы установили ранее, что в этой системе коэффициенты первого уравнения неидентифицируемы, а коэффициенты второго идентифицируемы точно. Для этой системы 1 1 =, =, - a1 - b1 2 b - так что (поскольку ковариационные матрицы симметричны) D(vt )= = (1 - b1) 12 1 = 11 - 2b112 + b1222.

b 21 - Оценив наряду с коэффициентами приведенной формы элементы ковариационной матрицы ошибок приведенной формы, можно получить оценку для коэффициента b1, а через нее – и оценку для D(vt ).

154 Глава З а м е ч а н и е Если посмотреть на все примеры, в которых на уравнения накладывались только исключающие ограничения, то нетрудно заметить, что проверку рангового условия идентифицируемости i го стохастического структурного уравнения по-существу можно проводить следующим образом.

Составляется таблица, в заголовке которой перечисляются эндогенные и предопределенные переменные, задействованные в системе, а в i -й строке находятся коэффициенты при этих переменных в левой и правой частях i -го уравнения (как они есть, без переносов в левую часть). Например, для системы Qt = a0 + a1Pt + a2Yt + ut, Q = b0 + b1Pt + b2Rt + vt t такая таблица принимает вид:

i Qt Pt Yt Rt a1 a0 a2 1 1 b0 b0 0 bДля исследования i -го уравнения достаточно рассмотреть матрицу, образованную теми столбцами таблицы, элементы которых, стоящие в i -й строке, равны нулю, и всеми строками таблицы кроме i -й. В рассматриваемом примере при исследовании 1-го уравнения такая матрица состоит из единственного элемента b2, а при исследовании 2-го уравнения – из единственного элемента a2. В обоих случаях ранг выделенной матрицы равен 1, и поскольку g -1 =1, оба уравнения идентифицируемы.

Инструментальные переменные. Системы… Для системы Qt = a0 + a1Pt + ut, Q = b0 + b1Pt + b2Rt + b3St + vt t указанная в Замечании 3 таблица имеет вид Qt Pt Rt St i a1 a1 0 1 b0 b0 b2 bДля второго уравнения нет ни исключающих, ни других линейных ограничений – только нормирующее ограничение, так что второе уравнение нединтифицируемо. На коэффициенты первого уравнения помимо нормирующего накладываются только исключающие ограничения. Выделяемая матрица сводится к одной строке с двумя элементами: (b2 b3). Ранг этой матрицы равен 1, так что g -1 =1 и первое уравнение идентифицируемо.

З а м е ч а н и е В реальных ситуациях если порядковое условие выполнено, то, как правило, выполняется и ранговое условие. Приводимые в литературе контрпримеры носят явно искусственный характер. В качестве такого контрпримера выступает, например, система трех стохастических структурных уравнений a11yt1 + a12 yt 2 + a13yt3 = a14xt1 + a15xt 2 + ut1, a21yt1 + a22 yt 2 + a23yt3 = a24xt1 + a25xt 2 + ut 2, a31yt1 + a32 yt 2 + a33yt3 = a34xt1 + a35xt 2 + ut3, в которой на коэффициенты первого уравнения накладываются линейные ограничения a14 = 0, a12 = a13. Эти ограничения записываются в стандартной форме как 1a1 = 0, где 0 0 0 1 1 =, 0 1 -1 0 так что 156 Глава a14 a24 a34 0 a24 a 1A =.

= a12 - a13 a22 - a23 a32 - a33 0 a22 - a23 a32 - a Ранговое условие не выполняется, если строки этой матрицы пропорциональны. Последнее может осуществляться • если на уравнения системы накладываются одинаковые ограничения;

• если переменная xt1 не входит в систему;

• если коэффициенты при yt 2 и yt3 равны во всех уравнениях.

З а м е ч а н и е До сих пор мы не предполагали никаких ограничений на ковариационную матрицу вектора ошибок в структурной форме.

Между тем введение ограничений на структуру этой матрицы в некоторых ситуациях может помочь идентификации уравнений, которые без таких ограничений неидентифицируемы. В качестве примера рассмотрим систему Qt = a1Pt + a2Qt-1 + ut1, Pt = b1Qt-1 + ut 2.

Здесь Pt и Qt – эндогенные переменные, а единственной предопределенной переменной является Qt-1. При этом 1 =, = (a2 b1), = (11 12), a- так что соотношение = принимает вид:

(11 12) 1 1 = (a2 b1), a- откуда (11 - a112 11)= (a2 b1), т.е. a2 = 11 - a112, b1 = 11.

Таким образом, единственный коэффициент второго уравнения восстанавливается по матрице однозначно, а для восстановления двух коэффициентов первого уравнения имеется только одно уравнение, и первое уравнение оказывается неидентифицируемым.

Инструментальные переменные. Системы… Вспомним, однако соотношение между ковариационными матрицами ошибок в приведенной и структурной формах:

= T.

В нашем примере оно принимает вид:

11 12 1 - a1 11 12 1 = 1 22 = a 21 22 21 - - 2a112 + a122 11 - a =.

11 - a112 Если предположить дополнительно, что 12 = 21 = 0, т.е. ошибки в разных уравнениях не коррелированы между собой, то из последнего соотношения получаем:

11 - a121 = 0, так что коэффициент a1 первого структурного уравнения восстанавливается по матрице : a1 = 11 21. После этого восстанавливается и коэффициент a2 первого структурного уравнения: a2 = 11 - a112. Тем самым оказывается идентифицируемым все первое уравнение структурной формы.

З а м е ч а н и е Рассмотренная в Замечании 5 система Qt = a1Pt + a2Qt-1 + ut1, Pt = b1Qt-1 + ut при выполнении условия 12 = = 0 принадлежит классу рекурсивных систем. Благодаря последовательному определению переменных в таких системах при переходе от уравнения к уравнению в правых частях каждого из уравнений системы не оказывается переменных, значения которых коррелированы со значением ошибки в этом уравнении при одном и том же t. Во 158 Глава втором уравнении рассматриваемой системы Cov(Qt-1,ut 2)= 0, т. к.

значение Qt-1 определяется ранее момента t. В правой части первого уравнения Cov(Qt-1,ut1)= 0 по той же причине и Cov(Pt,ut1)= Cov(b1Qt-1 + ut 2)= b1Cov(Qt-1,ut1)+ Cov(ut 2,ut1)= 0, так что при выполнении условия 12 = = 0 переменная Pt не является эндогенной. Если же 12 0, то Pt становится эндогенной переменной, а система перестает быть рекурсивной.

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 30 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.