WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 30 |

• эндогенные переменные;

• экзогенные переменные;

• предопределенные переменные.

Значения эндогенных переменных определяются внутри рассматриваемой системы; эндогеннная переменная, входящая в i -е уравнение системы, коррелирована с ошибкой в этом уравнении.

Значения экзогенных переменных определяются вне рассматриваемой системы; экзогенные переменные не коррелированы с ошибками во всех уравнениях системы для всех моментов времени. Понятие предопределенной переменной относится к системам, в которых наблюдения производятся в последовательные моменты времени. Значения предопределенных переменных, как и значения эндогенных переменных, определяются внутри системы. Однако значение в момент t предопределенной переменной, входящей в i -е уравнение, не должно быть коррелированным со значениями ошибки в этом уравнении, соответствующими моментам t, t +1,K Например, в системе Qt = a1Pt + a2Qt-1 + ut, P = b1Qt-1 + vt t переменные Qt и Pt – эндогенные, а переменная Qt-1 – предопределенная.

Предполагается, что • система состоит из g уравнений, в каждое из которых входит хотя бы одна эндогенная переменная;

• в систему входит g эндогенных переменных;

• в систему входит K экзогенных и предопределенных переменных;

В смысле возможности восстановления коэффициентов структурных уравнений на основании коэффициентов уравнений приведенной формы.

Инструментальные переменные. Системы… • каждое из g уравнений нормировано, так что коэффициент при одной из эндогенных переменных, входящих в уравнение, равен 1.

(В последнем примере g = 2, K =1, уравнения нормированы.) При выводе условий идентифицируемости можно не различать предопределенные и экзогенные переменные, и мы для краткости будем называть их в контексте проблемы идентифицируемости предопределенными переменными.

Если собрать все эндогенные переменные в левых частях структурных уравнений, то систему одновременных уравнений можно записать в виде:

11yt1 +K+ ytg = 11xt1 +K+ K1xtK + ut1, g L yt1 +K+ ytg = 1g xt1 +K+ Kg xtK + utg, 1g gg где t =1,K,n, yt1,K, ytg – эндогенные переменные, xt1,K, xtK – предопределенные переменные, ut1,K,utg – случайные ошибки.

Заметим, что в этой записи – коэффициент при j -й эндогенной ji переменной в i -м уравнении, а – коэффициент при j -й ji предопределенной переменной в i -м уравнении. (Разумеется, часть коэффициентов в конкретных системах равна нулю.) Заметив, что последнюю запись можно также представить как yt111 +K+ ytg = xt111 +K+ xtK K1 + ut1, g L y 1g +K+ ytg = xt11g +K+ xtK Kg + utg, tgg 136 Глава обозначим:

11 K 1g 11 K 1g = M O M, = M O M, g1 K K1 K gg Kg yt = (yt1,K, ytg), xt = (xt1,K, xtK ), ut = (ut1,K,utg ).

(Последние три вектора здесь удобнее представлять как векторыстроки.) Тогда система записывается в компактном виде:

yt = xt + ut, t =1,K, n.

Предполагая невырожденность матрицы, так что для этой матрицы существует обратная, умножим обе части последнего уравнения на -1 ; при этом получаем приведенную форму системы:

yt = xt-1 + ut-1 = xt + wt.

Здесь 11 K 1g = -1 = M O M, wt = ut-1 = (wt1,K, wtg ), K K1 Kg так что wti – случайная ошибка в i -м уравнении приведенной формы в момент t. Выше мы уже фактически использовали это представление для получения приведенных форм систем Qt = a0 + a1Pt + a2Yt + ut, Q = b0 + b1Pt + b2Rt + vt t и Qt - a1Pt = a0 + ut, Q - b1Pt = b0 + b2Rt + b3St + vt.

t Следует заметить, что даже если векторы ut = (ut1,K,utg ), i =1,K,n, взаимно независимы и имеют одинаковое g -мерное нормальное распределение с нулевым средним и ковариационной матрицей = Ig, где Ig – единичная матрица, векторы Инструментальные переменные. Системы… wt = (wt1,K, wtg) могут иметь коррелированные между собой и неодинаково распределенные компоненты. Однако это не препятствует получению эффективных и несмещенных оценок элементов матрицы обычным методом наименьших квадратов:

достаточно применить этот метод отдельно к каждому уравнению приведенной системы.

Поскольку 11 K 1g = -1 = M O M, K K1 Kg то =, и мы использовали это соотношение для восстановления коэффициентов структурных уравнений двух последних систем.

Вопрос об идентифицируемости структурной формы – это вопрос о возможности однозначного восстановления всех коэффициентов структурной формы, т.е. восстановления матриц и, на основании матрицы = -1. Заметим, что в совокупности матрицы и состоят из g2 + Kg элементов, тогда как в матрице всего Kg элементов. Это означает, что однозначное восстановление коэффициентов структурной формы по коэффициентам приведенной формы невозможно без использования дополнительной информации в виде невключения в отдельные уравнения тех или иных переменных, нормировки коэффициентов, линейных ограничений на параметры структуры2.

Как мы увидим ниже в этом разделе (см. Замечание 5) коэффициенты структурной формы могут не восстанавливаться однозначно по одним только коэффициентам приведенной формы и в то же время однозначно восстанавливаться при привлечении дополнительной информации в виде ограничений на элементы ковариационной матрицы ошибок в правых частях уравнений структурной формы и использовании элементов ковариационной матрицы ошибок в правых частях уравнений приведенной формы.

138 Глава Если нас интересует i -е структурное уравнение, то идентифицируемость этого уравнения означает возможность однозначного восстановления на основании коэффициентов приведенной формы • i – i -го столбца матрицы, который содержит коэффициенты при эндогенных переменных, входящих в i -е структурное уравнение;

• i – i -го столбца матрицы, который содержит коэффициенты при предопределенных переменных, входящих в i -е структурное уравнение.

При этом по-существу достаточно иметь возможность восстановления i и i с точностью до умножения их на один и тот же числовой множитель: единственность достигается в этом случае указанием правила нормировки, в соответствии с которым коэффициент при определенной эндогенной переменной в i -м структурном уравнении полагается равным 1.

Для дальнейшего удобно использовать матрицу размера (g + K) g, составленную из матриц и таким образом, что матрица располагается над матрицей :

=.

Коэффициенты при g эндогенных и K предопределенных переменных в i -м структурном уравнении составляют i -й столбец i матрицы.

Существенным является то обстоятельство, что коэффициенты i -го структурного уравнения не могут быть восстановлены на основании коэффициентов приведенной формы, если в это уравнение входят все ( g ) эндогенные и все ( K ) предопределенные переменные системы.

Инструментальные переменные. Системы… Поэтому мы будем предполагать далее, что на элементы вектора i помимо нормировочного накладываются еще и некоторые дополнительные однородные линейные ограничения в виде уравнений ii = 0, где i – матрица размера Ri (g + K ), Ri – количество этих линейных ограничений. Неспецифицированные коэффициенты i -го уравнения определяются по матрице = -1 после применения правила нормировки однозначным образом тогда и только тогда, когда выполнено следующее ранговое условие идентифицируемости:

rank(i)= g -.

(Матрица i имеет Ri строк и g столбцов.) Пусть i – матрица, получаемая из матрицы вычеркиванием ее i -го столбца i, так что = [i : Ai ]. Тогда rank(i)= rank(i[i : i])= rank(ii : ii ), и поскольку ii = 0, то rank(i)= rank(0 : ii )= rank(ii ).

Но матрица ii имеет размер Ri (g -1), и чтобы ее ранг был равен g -1, во всяком случае необходимо, чтобы выполнялось следующее порядковое условие идентифицируемости i -го структурного уравнения:

Ri g -1.

Предположим, что все линейные ограничения, накладываемые на элементы столбца i (помимо условия нормировки) являются исключающими ограничениями (т.е. все они состоят в приравнивании определенных элементов столбца i нулю) и соответствуют исключению из i -го уравнения gi эндогенных и Ki предопределенных переменных. Тогда общее количество 140 Глава исключенных переменных равно gi + Ki, и необходимое условие идентифицируемости i -го структурного уравнения принимает вид:

gi + Ki g -1, или Ki (g - gi)-1.

Иначе говоря, количество предопределенных переменных в системе, не включенных в i -е структурное уравнение, должно быть не меньше количества эндогенных переменных, включенных в i -е уравнение, уменьшенного на единицу. Если в левой части i -го структурного уравнения находится единственная эндогенная переменная, то (g - gi)-1 есть просто количество эндогенных переменных, включенных в правую часть этого уравнения.

Теперь мы имеем возможность охарактеризовать три ситуации, возникающие при оценивании i -го структурного уравнения:

1. rank(i)< g -1 i -е уравнение неидентифицируемо (недоопределено);

2. rank(i)= g -1 и Ri = g -1 i -е уравнение идентифицируемо точно;

3. rank(i) = g -1 и Ri > g -1 i -е уравнение сверхидентифицируемо (переопределено).

В ситуации 1 просто не выполнено необходимое условие идентифицируемости. В ситуациях 2 и 3 коэффициенты i -го структурного уравнения однозначно восстанавливаются на основании коэффициентов приведенной системы. Однако эти две ситауции различаются существенным образом, если рассматривать задачу восстановления коэффициентов i -го структурного уравнения на основании оценок коэффициентов приведенной формы, полученных методом наименьших квадратов, примененным к каждому отдельному уравнению приведенной системы и не учитывающем ограничения на коэффициенты приведенной формы, Инструментальные переменные. Системы… накладываемые на них соотношением = -1. Если – оценка матрицы, полученная таким свободным оцениванием, то в ситуации 2 коэффициенты i -го структурного уравнения восстанавливаются по матрице однозначным образом, тогда как в ситуации 3 существует несколько вариантов такого восстановления, приводящих к различным результатам.

Заметим, что разным уравнениям системы могут соответствовать разные ситуации из трех перечисленных.

Пробежимся теперь по уже рассмотренным в этом разделе примерам систем одновременных уравнений.

Первой мы рассмотрели систему Qt = a0 + a1Pt + ut, Q = b0 + b1Pt + vt.

t Здесь список эндогенных переменных: (Qt, Pt ), а список предопределенных переменных ограничивается переменной, тождественно равной 1, так что полный список переменных в системе: (Qt, Pt, 1). При этом g = 2, K =1, матрицы, и имеют вид:

1 =, = (a0,b0), - a1 - b1 = = - a1 - b1.

B a0 b На столбцы матрицы А не накладывается никаких ограничений кроме нормировочных, так что g1 = g2 = 0, K1 = K2 = 0, и ни для одного из двух уравнений не выполнено порядковое условие gi + Ki g -1. Следовательно система не идентифицируема.

142 Глава Следующий пример:

Qt = a0 + a1Pt + a2Yt + ut, Q = b0 + b1Pt + vt, t т.е.

Qt - a1Pt = a0 + a2Yt + ut, Q - b1Pt = b0 + vt.

t Здесь список эндогенных переменных тот же: (Qt, Pt ). В список предопределенных переменных входят две переменные: (1,Yt ).

Полный список переменных в системе: (Qt, Pt, 1,Yt ). При этом g = 2, K = 2, матрицы, и А имеют вид:

1 1 a0 b =, =, a - a1 - b1 11 12 1 a1 - b21 A = (1 )= =.

32 B = a0 b a2 41 42 На элементы первого столбца матрицы А накладывается только условие нормировки 11 =1. Поэтому первое уравнение системы неидентифицируемо. На элементы второго столбца помимо нормировочного накладывается одно исключающее ограничение 42 = 0, так что для этого столбца g2 = 0, K2 = 1, и g2 + K2 = g -1 = 1, т.е. порядковое условие идентифицируемости выполняется.

Заметим далее, что ограничение 42 = 0 можно записать в виде 22 = 0, где 2 = (0 0 0 1). Тогда Инструментальные переменные. Системы… T 22 = (0 0 0 1)(1,-a1, a0,a2 ) = (a2 ), rank(2) = rank(22 ) = rank(a2 ) = 1, так что rank(2) = g -1 и выполнено ранговое условие идентифицируемости. Наконец, поскольку g2 + K2 = g -1, то второе уравнение идентифицируемо точно.

Следующая система:

Qt = a0 + a1Pt + a2Yt + ut, Q = b0 + b1Pt + b2Rt + vt, t т.е.

Qt - a1Pt = a0 + a2Yt + ut, Q - b1Pt = b0 + b2Rt + vt.

t Список эндогенных переменных: (Qt, Pt ). Список предопределенных переменных: (1,Yt, Rt ). Полный список переменных в системе:

(Qt, Pt, 1,Yt, Rt ). При этом g = 2, K = 3, матрицы, и имеют вид:

a0 b 1 =, = 0, a - a1 - b 0 b 1 - a1 - b = = a0 b0.

B a2 0 b Соответственно, здесь для каждого из столбцов матрицы помимо нормирующего ограничения имеется по одному исключающему 144 Глава ограничению на экзогенные переменные, так что g1 = g2 = 0, K1 = K2 =1, gi + Ki = g -1, и порядковое условие выполнено.

Ограничение 41 = 0 в первом столбце можно записать в виде 11 = 0, где 1 = (0 0 0 0 1). Тогда T 11 = (0 0 0 0 1)(1, - b1,b0,0,b2) = (b2), rank(1)= rank(11)= rank(b2)=1, так что rank(1)= g -1 и для первого уравнения выполнено ранговое условие идентфицируемости. Наконец, поскольку g1 + K1 = g -1, то первое уравнение идентифицируемо точно.

Ограничение 32 = 0 во втором столбце можно записать в виде 22 = 0, где 2 = (0 0 0 1 0). Тогда T 22 = (0 0 0 1 0)(1,- a1, a0, a2,0) = (a2), rank(2)= rank(22)= rank(a2)=1, так что rank(2)= g -1 и для второго уравнения также выполнено ранговое условие идентифицируемости. Наконец, поскольку g2 + K2 = g -1, то второе уравнение идентифицируемо точно.

Таким образом в данной системе одновременных уравнений оба уравнения идентифицируемы, причем идентифицируемы точно.

Наконец, в системе Qt = a0 + a1Pt + ut, Q = b0 + b1Pt + b2Rt + b3St + vt, t т.е.

Qt - a1Pt = a0 + ut, Q - b1Pt = b0 + b2Rt + b3St + vt, t эндогенные переменные те же, а список предопределенных переменных: (1, Rt, St ). Полный список переменных в системе:

Инструментальные переменные. Системы… (Qt, Pt,1, Rt, St ). При этом g = 2, K = 3, матрицы, и имеют вид:

a0 b 1 =, = 0 b2, - a1 - b 0 b 1 - a1 - b = = a0 b0.

0 b 0 b На элементы второго столбца накладывается только условие нормировки. Поэтому второе уравнение системы неидентифицируемо. На элементы первого столбца помимо условия нормировки накладываются два исключающих ограничения:

41 = 0, 51 = 0. При этом g1 = 0, K1 = 2, g1 + K1 = 2 > g -1, так что первое уравнение идентифицируемо. Исключающие ограничения можно записать в форме 11 = 0, где 0 0 0 1 1 =.

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 30 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.