WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 30 |

Использование оценок коэффициентов первого уравнения приводит к следующим оценкам для и :

~ ~ ~ ~ = (1 + )= 0.787, = (1 + )= 46.1.

Если использовать оценки коэффициентов второго уравнения, то получаем:

~ ~ ~ ~ = ( - 1) = 0.995, = = 3.1.

Различие оказывается весьма существенным.

Вычисляя оценку коэффициента с привлечением в качестве инструмента переменной It, находим:

122 Глава n t (C - C)(It - I ) t = IV = = 0.725604.

n t (Y - Y )(It - I ) t =Заметим, что ту же самую оценку для можно получить, используя двухшаговую процедуру, идея которой состоит в построении искусственной инструментальной переменной t, которой можно подменить эндогенную объясняющую переменную Yt в структурном уравнении.

На первом шаге методом наименьших квадратов оценивается модель линейной зависимости эндогенной объясняющей переменной Yt от инструментальной переменной It (она соответствует второму уравнению приведенной системы).

Используя полученные оценки и, строим новую переменную t = + It, которая интерпретируется как результат “очистки” переменной Yt от корреляционной связи с t. Фактически, при этом производится “расщепление” переменной Yt на две составляющие:

Yt = t + (Yt - t ), одна из которых затем отбрасывается.

На втором шаге методом наименьших квадратов оценивается модель Const = + t + t, в которой прежняя объясняющая переменная Yt заменяется ее очищенным вариантом.

Инструментальные переменные. Системы… Такой метод оценивания параметров структурного уравнения Const = + Yt + t называется двухшаговым методом наименьших квадратов, сокращенно 2SLS (two-stage least squares).

Оценки 2SLS и 2SLS, получаемые этим методом, удовлетворяют соотношениям n 2SLS 2SLS - - Yi ) = 0, (Const t=n 2SLS 2SLS - - Yt )It = 0, (Const t=т.е. являются IV-оценками.

Использование метода инструментальных переменных в форме 2SLS в нашем примере дает на втором шаге:

Dependent Variable: CONS Method: Least Squares Sample: 1970 Included observations: Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C -267.4634 352.8290 -0.758054 0.Y_CLEANED 0.725604 0.090399 8.026691 0.З а м е ч а н и е В связи с использованием метода инструментальных переменных при наличии коррелированности некоторых объясняющих переменных с ошибками, возникают определенные проблемы:

• этот метод может обеспечить только состоятельность получаемых оценок и, при определенных условиях, асимптотическую нормальность этих оценок, но не обеспечивает несмещенность оценок при небольшом количестве наблюдений;

124 Глава • для применения метода требуется достаточное количество инструментальных переменных, с помощью которых можно было бы “очистить” эндогенные объясняющие переменные;

найти такие переменные удается далеко не всегда.

Первое обстоятельство означает, что ориентироваться на оценки, полученные методом инструментальных переменных, можно только при достаточно большом количестве имеющихся наблюдений, так что приведенный нами пример можно рассматривать только как иллюстрацию. Если наблюдений мало, то IV-оценки могут иметь даже большее смещение, чем OLS-оценки.

Второе обстоятельство значительно затрудняет практическое использование метода инструментальных переменных. Из-за этого, например, на практике обычно игнорируется тот факт, что используемые статистические данные содержат ошибки измерений.

Кроме того, исследования показывают, что если выбранные инструментальные переменные являются “слабыми инструментами” (weak instruments), т.е. слабо коррелированы с эндогенными объясняющими переменными, то качество IV-оценок с такими инструментами может быть хуже, чем у OLS-оценок (см., например, [Staiger, Stock (1997)]).

Инструментальные переменные. Системы… 2.4. Проблема идентифицируемости структурной формы системы одновременных уравнений При рассмотрении примера с кейнсианской функцией потребления мы обнаружили, что оценив коэффициенты приведенной системы, не можем однозначно восстановить с помощью полученных оценок коэффициенты структурного уравнения. Подобное положение встречается на практике довольно часто. Однако возможны и другие ситуации.

Рассмотрим простейшую модель рынка некоторого товара:

Qd = a0 + a1P, s Q = b0 + b1P, Q = Qd, s в которой Qs – предложение товара, Qd - спрос на товар, P - цена единицы товара; a1 < 0, b1 > 0. Если правила определения объемов предложения и спроса известны, т.е. известны коэффициенты a0, a1, b0 и b1, то при отсутствии флуктуаций равновесное решение для цены P и спроса Q находится без труда. Мы имеем здесь систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными P и Q :

Q - a1P = a0, Q - b1P = b0, решениями которой являются значения a0b1 - a1b0 a0 - bQ =, P =.

b1 - a1 b1 - aПри a0 > b0 оба эти значения положительны.

126 Глава Предположим теперь, что спрос подвержен случайным флуктуациям, изменяющим значение a0 до значения a0 + ut в t -м наблюдении, а предложение подвержено флуктуациям, изменяющим в t -м наблюдении значение b0 до значения b0 + vt. Тогда каждому t соответствуют свои равновесные значения цены Pt и спроса Qt, являющиеся решениями системы Qt = a0 + a1Pt + ut, Q = b0 + b1Pt + vt.

t Поскольку значения Pt и Qt определяются внутри системы, о переменных Pt и Qt говорят как об эндогенных переменных. Их значения в t -м наблюдении определяются коэффициентами a0, a1, b0, b1 и внешними случайными воздействиями (шоками) ut, vt.

Положение выглядит теперь следующим образом:

• агенты наблюдают значения ut и vt ;

• агенты взаимодействуют на рынке, устанавливая Pt и Qt в соответствии с указанными правилами;

• статистик-эконометрист наблюдает только значения Pt и Qt.

Обращаясь к оцениванию модели Qt = + Pt + t, статистик даже не знает, что он оценивает: прямую спроса или прямую предложения. Так, при оценивании методом наименьших квадратов линейной модели зависимости потребления свинины на душу населения США от оптовых цен на свинину по годовым данным за период с 1948 по 1961 годы получаются следующие результаты ([Носко (2004), стр. 110]):

Переменная Коэф-т Ст. ошибка t-статист. P-знач.

1 77.484 13.921 5.566 0.Цена -24.775 29.794 -0.832 0.Хотя формально отрицательное значение оценки коэффициента при цене говорит о том, что мы имеем дело с уравнением спроса, эта оценка оказывается статистически незначимой при любом разумном Инструментальные переменные. Системы… выборе уровня значимости, так что в доверительный интервал для данного коэффициента попадают как отрицательные, так и положительные значения.

Получая выражение для Pt из второго уравнения системы и подставляя это выражение вместо Pt в первое уравнение, находим:

a0b1 - a1b0 b1ut - a1vt Qt = + = 1 + wt1.

b1 - a1 b1 - aВыражение для Qt из первого уравнения системы подставим во второе уравнение, в результате получаем:

a0 - b0 ut - vt Pt = + = + wt.

b1 - a1 b1 - a1 2 Пара уравнений Qt = 1 + wt = 2 + wt Pt представляет приведенную форму системы. Вообще-то говоря, здесь существует корреляция между ошибками в разных уравнениях приведенной формы при одном и том же t, даже если ошибки в структурной системе некоррелированы: в последнем случае - a1vt ut - vt b1ut Cov(wt1, wt 2)= Cov, = (b1D(ut )+ a1D(vt )).

b1 - a1 b1 - a1 b1 - a Однако поскольку в правых частях обоих уравнений приведенной формы находятся одни и те же объясняющие переменные (точнее, одна объясняющая переменная – константа), эффективные оценки коэффициентов приведенной формы получаются раздельным оцениванием обоих уравнений методом наименьших квадратов.

t1 tПолучив таким образом оценки,, мы тем самым получаем a0b1 - a1b0 a0 - bоценки для дробей и. Но этих двух оценок b1 - a1 b1 - aнедостаточно для восстановления по ним значений четырех 128 Глава коэффициентов a0, a1, b0, b1 структурных уравнений, так что здесь мы имеем дело с недоидентифицированостью структурной формы системы.

Включим в правую часть уравнения спроса доход (например, совокупный располагаемый доход) Yt, так что система принимает вид:

Qt = a0 + a1Pt + a2Yt + ut, Q = b0 + b1Pt + vt.

t Действуя аналогично предыдущему случаю, находим, что приведенная форма принимает здесь вид:

a0b1 - a1b0 a2b1 b1ut - a1vt Qt = + Yt + = 11 + 21Yt + wt1, b1 - a1 b1 - a1 b1 - aa0 - b0 a2 ut - vt Pt = + Yt + = 12 + 22Yt + wt 2.

b1 - a1 b1 - a1 b1 - aВ приведенной форме 4 коэффициента, тогда как в структурной форме 5 коэффициентов. Поэтому и здесь нет возможности восстановления всех коэффициентов структурной формы по коэффициентам приведенной формы. Однако кое-что сделать все же можно.

Прежде всего заметим, что = b1, 11 - b112 = b0, так что коэффициенты уравнения предложения восстанавливаются по коэффициентам приведенной системы. В то же время для восстановления коэффициентов уравнения спроса остается только два уравнения, так что восстановить однозначно их значения не представляется возможным. Таким образом, здесь уравнение предложения идентифицируемо, а уравнение спроса неидентифицируемо: система частично идентифицируема.

Инструментальные переменные. Системы… Пополним теперь и уравнение предложения. Если рассматриваемый товар – продукт сельскохозяйственного производства, то в качестве объясняющей переменной в правую часть этого уравнения естественно включить какой-либо подходящий индекс климатических условий, скажем среднее количество осадков в соответствующий период Rt. Тогда мы получаем систему:

Qt = a0 + a1Pt + a2Yt + ut, Q = b0 + b1Pt + b2Rt + vt t с 6 коэффициентами. Найдем приведенную форму этой системы Qt = 11 + 21Yt + 31Rt + wt1, = 12 + 22Yt + 32Rt + wt 2, Pt применяя матричный подход, обычно используемый для анализа и оценивания систем одновременных уравнений. Для этого заметим, что структурную форму системы можно записать в виде:

Qt - a1Pt = a0 + a2Yt + ut, Q - b1Pt = b0 + b2Rt + vt, t или a0 b (Qt, Pt ) 1 1 = (1,Yt, Rt )a2 0 + (ut,vt ), - a1 - b 0 b а приведенную форму – в виде:

11 (Qt, Pt )= (1,Yt, Rt ) + (wt1, wt 2).

21 Приведенную форму системы получаем из структурной формы, умножая обе части предпоследнего уравнения справа на матрицу, обратную к матрице, стоящей в левой части:

130 Глава a0 b - (Qt, Pt )= (1,Yt, Rt )a2 0 + (ut,vt ) 1 1 = a1 - b - 0 b a0 b -1 - 1 = (1,Yt, Rt ) a2 0 + (ut,vt ) 1 1 = - a1 - b1 - a1 - b 0 b - = (1,Yt, Rt ) + (ut,vt ) 1 1, - a1 - bгде – матрица коэффициентов приведенной формы, 11 12 a0 b - 1 = = a a1 - b1.

21 22 32 0 b2 31 Но -1 1 - b1 a =, a1 - b1 1 - a1 - b1 так что a0b1 - a1b0 a2b1 a1b2 b1ut - a1vt Qt = + Yt - Rt +, b1 - a1 b1 - a1 b1 - a1 b1 - aa0 - b0 a2 b2 ut - vt Pt = + Yt - Rt +.

b1 - a1 b1 - a1 b1 - a1 b1 - aПоскольку матрица коэффициентов приведенной формы получается как 11 12 a0 b - 1 = = a a1 - b1, 21 22 32 0 b2 31 то Инструментальные переменные. Системы… 11 12 a0 b 1, 22 a1 - b1 = a 21 - 32 0 b 31 и это дает 6 уравнений для восстановления 6 коэффициентов структурной формы по коэффициентам приведенной формы:

11 -12a1 = a0, 11 -12b1 = b0, - a1 = a2, - b1 = 0, 21 22 21 31 -32a1 = 0, 31 - b1 = b2.

Из этих уравнений находим:

a1 = 31 /32, b1 = 21 /, a2 = -22(31 /32 -21 /22), b2 = 32(31 /32 -21 /22), a0 = 11 -1231 /32, b0 = 11 -1221 /22.

Таким образом, здесь идентифицируемы и уравнение предложения и предложение спроса.

Рассмотрим теперь систему, в которой доход не включен в уравнение спроса, а уравнение предложения дополнено еще одной объясняющей переменной St – пусть это будет, скажем, индекс стоимости горюче-смазочных материалов, используемых при производстве соответствующего продукта сельского хозяйства.

Тогда система принимает вид:

Qt - a1Pt = a0 + ut, Q - b1Pt = b0 + b2Rt + b3St + vt, t или a0 b (Qt, Pt ) 1 1 = (1, Rt, St ) 0 b2 + (ut,vt ).

- a1 - b 0 b Матрица коэффициентов приведенной формы Qt = 11 + Rt + 31St + wt1, Pt = 12 + Rt + 32St + wt 21 получается как 132 Глава 11 12 a0 b - 1 = 22 = 0 b a1 - b1, - 32 0 b 31 так что 11 12 a0 b 1 0 b2, 22 a1 - b1 = - 32 0 b 31 и здесь мы опять получаем 6 уравнений для восстановления коэффициентов структурной формы:

11 - 12a1 = a0, 11 - 12b1 = b0, 21 - 22a1 = 0, - 22b1 = b2, 31 - 32a1 = 0, 31 - 32b1 = b3.

Однако ситуация с идентифицируемостью резко отличается от предыдущего случая.

Для коэффициентов первого структурного уравнения находим:

a0 = 11 -12a1, a1 = 21 22, a1 = 31 32, так что для восстановления коэффициента a1 имеем два соотношения. Поскольку 11 12 a0 b - 1 = 22 = 0 b a1 - b1 = - 32 0 b 31 a0 b - a0b1 + b0 a0a1 + b - b1 a1 = 0 b2 = b2 b2, a1 - b1 1 1 a1 - b 0 b3 b3 b то 21 22 =31 32, так что коэффициент a1 восстанавливается однозначно, если мы знаем точно коэффициенты приведенной формы. Если же мы производим свободное оценивание уравнений приведенной формы по имеющимся статистическим данным, не Инструментальные переменные. Системы… принимая во внимание ограничений на их коэффициенты, накладываемые структурной формой, в данном случае ограничения 21 21 -31 32 = 0, то на основании оценок,, 31,32 мы 21 получим, как правило, различные значения отношений и 31, так что получаются два варианта оценок для коэффициента a1 и, соответственно, два варианта для коэффициента a0. Таким образом, уравнение спроса оказывается сверхидентифицируемым – для восстановления его коэффициентов имеется количество соотношений, большее минимально необходимого.

Для коэффициентов второго структурного уравнения (уравнения предложения) также имеем три соотношения:

11 - 12b1 = b0, 21 - b1 = b2, 31 - 32b1 = b3.

Однако во втором структурном уравнении четыре неизвестных коэффициента b0, b1, b2, b3, и этих трех соотношений недостаточно для их восстановления – этим соотношениям удовлетворяет бесконечно много наборов значений b0, b1, b2, b3.

Таким образом, для рассмотренной модели:

• уравнение спроса сверхидентифицировано;

• уравнение предложения недоидентифицировано.

Последний пример показывает, что имеет смысл говорить не только об идентифицируемости или неидентифицируемости системы в целом, а и об идентифицируемости или неидентифицируемости отдельных уравнений системы.

2.5. Проверка выполнения условий идентифицируемости структурных уравнений При рассмотрении условий идентифицируемости отдельных структурных уравнений, входящих в систему одновременных 134 Глава уравнений1, прежде всего предполагается, что переменные, задействованные в системе, подразделяются на три типа:

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 30 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.