WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 43 |

Лемма 3. Для любой перестановки n последовательность пар (i, (i))n можно разбить на три набора так, что в каждом наборе все i=элементы пар будут различными.

Квадратная матрица A = (aij)nn называется дважды стохастической, если для всех i, j = 1,..., n, aij 0 и n n aij = aij = 1.

j=1 i=Дважды стохастическая матрица называется крайней или матрицей перестановок, если в каждой строке и в каждом столбце ровно одна единица, а остальные элементы нули. Теорема Биркгофа [11] утверждает, что любая дважды стохастическая матрица является выпуклой линейной комбинацией крайних матриц.

В наших дальнейших построениях будут возникать дважды субстохастические матрицы, у которых для всех i, j = 1,..., n, ai,j 0 и n n aij 1, aij 1.

j=1 i=Дважды субстохастическую матрицу назовем крайней, если у нее в каждой строке и каждом столбце не более одной единицы, а остальные элементы нули. Аналог теоремы Биркгофа для дважды субстохастических матриц был доказан Мирским [11].

Теорема Мирского. Для любой дважды субстохастической матрицы A порядка n существует набор неотрицательных чисел 1,..., n2, +n2+s = 1 и набор крайних дважды субстохастических матриц s=A1,..., An2, для которых +n2+A = sAs. (22) s=На самом деле Мирский не подсчитывал число крайних матриц в представлении (22). Это было сделано в более поздних доказательствах [11].

88 В. И. Иванов, Д. В. Чертова 2. Доказательство теоремы aN Пусть N N, aN выбрано так, что µ([0, aN ]) = dµ(x) = N, отрезки N1,..., N2 [0, aN ], µ(i) =, i = [0, aN ], c(i) {-1, 1}, i=N ci, x i, i = 1,..., N2, fN(x) = (23) 0, x (aN, ).

Константы c(i) будем считать независимыми случайными величинами, принимающими значения ±1 с одинаковыми вероятностями P(c(i) = 1) = = P(c(i) = -1) = 1/2, так что математическое ожидание E(c(i)) = 0.

Отметим, что aN 1 a2+N N = x2+1dx =, 2( + 1) 2+1( + 2) 1 2+2 2+aN = (2+1( + 2)N) N. (24) Если 0 t, A = x2 + t2 - 2xt cos, то при 0 x aN -, A x + + t aN, а при x aN + A x - t aN, поэтому, согласно (5), (15), aN - p(t, f)p, = c |f(A) - f(x)|p sin2 ddµ(x)+ 0 aN + +c |f(A) - f(x)|p sin2 ddµ(x)+ aN - +c |f(A) - f(x)|p sin2 ddµ(x) = aN + aN - = 2p-2c |fN (A) - fN (x)|2 sin2 ddµ(x)+ 0 aN + +c |fN (A) - fN (x)|p sin2 ddµ(x) aN - aN t 2p-1{µ([0, aN ]) - fN (x)T fN (x)dµ(x) + 2µ([aN -, aN + ])} t 2p-1{N + 3µ([aN -, aN + ]) - fN (x)T fN (x)dµ(x)}. (25) R+ Отметим, что 2+2+µ([aN -, aN + ]) = {(aN + )2+2 - (aN - )2+2} N.

2+1( + 2) (26) Если t GN (t) = fN(x)T fN (x)dµ(x), R+ Об оценке снизу констант Джексона в пространствах Lp, 1 p < 2 то, используя обозначение t gi,j(t) = i(x)T j (x)dµ(x), R+ получим NGN (t) = c(i)c(j)gi,j (t).

i,j=Если вектор c = (c1,..., cN2) и матрица порядка N2 A(t) = (gi,j (t)), то GN (t) = cA(t)cT. Согласно (15), (17), матрица NA(t) – симметричная и дважды субстохастическая:

t gi,j (t) = i(x)T j (x)dµ(x) = R+ t = j (x)T i(x)dµ(x) = gj,i(t) 0, R+ N2 Nt Ngi,j (t) = N i(x)T j (x)dµ(x) R+ j=1 j=t N i(x)T 1dµ(x) = N i(x)dµ(x) = 1, R+ R+ поэтому по теореме Мирского при n = NN4+A(t) = s(t)As(t), N s=N4+где 1(t),..., N4 (t) 0, s(t) = 1, A1(t),..., AN4 (t) – крайние +1 +s=дважды субстохастические матрицы. Отсюда N4+GN (t) = s(t)cAs(t)cT = N s=N4+= s(t) c(i)c(s,t(i)), (27) N s=1 is,t где s,t ZN2, перестановки s,t SN2.

Пусть > 0, tk = k, k = 1,..., N6. Рассмотрим события N 3N Bsk = c(i)c(s,tk(i)) > -, s = 1,..., N4 + 1, k = 1,..., N6. (28) ln N is,tk 90 В. И. Иванов, Д. В. Чертова По лемме 3 слагаемые в последней сумме, для которых s,tk(i) = i, могут быть разбиты на три суммы, в каждой из которых элементы пар (i, s,tk(i)), i s,t будут различными. Как показано в [10,12], слагаемые в каждой такой сумме Yl, l = 1, 2, 3 будут независимыми случайными величинами, принимающими значения ±1 с вероятностями 1/2, поэтому согласно оценке Хефдинга [13] 3N P(Bs,k) P c(i)c(s,tK (i)) - ln N is,tk,s,tk (i) =i N2 N P Yl - 3 exp -. (29) ln N 2 ln2 N l=Мы учли, что число слагаемых в каждой сумме Yl не превосходит N2.

Пусть для четной целой функции экспоненциального типа R FR,N выполнены неравенства ER(fN )p, fN - FR,N 1 + ER(fN )p, 2 fN. (30) p, p, N Тогда для нее FR,N 3 fN, p, p, иначе fN - FR,N FR,N - fN > 2 fN.

p, p, p, p, Применяя неравенство разных метрик (см. [4]), получим FR,N R(2+2)/p FR,N 3R(2+2)/p fN N1/p. (31) p, p, Так как [8] |FR,N (x + iy)| FR,N eR|y|, то FR,N WR,M, M = FR,N. Пусть {j(x)}K – минимальная 1/N-сеть j=для WR,M в пространстве C[0, aN ]. Тогда по лемме 2 (b = aN) K e,RN +1, (32) а в силу (31) j 1/N + M N1/p. (33) C[0,aN ] Рассмотрим события N Dj |(fN, j)| <, j = 1,..., K. (34) ln N Об оценке снизу констант Джексона в пространствах Lp, 1 p < 2 Так как согласно (31) N|(fN, j)| =| c(i) j(x)dµ(x) |, i i=| j(x)dµ(x) | N1/p-1, i то, применяя оценку Хефдинга [13], получим NN P(Dj) = P | c(i) j(x)dµ(x) | ln N i i=N2(1-1/p) 2 exp -c,R, j = 1,..., K.

ln2 N 2+Отсюда и из (29), (32) при p >, > 0, 1/p + 1/p = 2+N4+1 N6 K NP Bsk + Dj 3(N4 + 1)N6 exp - + 2 ln2 N s=1 k=1 j=N2/p N2/p +2K exp -c,R exp -,R,,R > 0, ln2 N ln2 N поэтому N4+1 N6 K N2/p P Bsk Dj 1 - exp -,R > 0. (35) ln2 N s=1 k=1 j=Таким образом, для каждого достаточно большого N существует функция fN (23), для которой согласно (27), (28), (34), (35) выполнены свойства N1 3N2 3N GN (tk) > s(tk) - = -, k = 1,..., N6, (36) N ln N ln N s=N |(fN, j)| <, j = 1,..., K. (37) ln N Закончим доказательство теоремы. Согласно лемме 1 для любого t [0, ] и некоторого tk, для которого |t - tk|, будет Nln N |gi,j (t) - gi,j (tk)|, i, j = 1,..., NNNln N |GN (t) - GN (tk)| |gi,j(t) - gi,j (tk)|.

N i,j=92 В. И. Иванов, Д. В. Чертова 4N Отсюда и из (36) для всех t [0, ] GN (t) -, поэтому согласно (25), ln N (26) c() p(, fN )p, 2p-1N 1 +. (38) ln N Применяя неравенство Гельдера, (30), (37), для некоторого j {1,..., K} получим p N = fN = fN (fN - FR,N )dµ + fN (FR,N - j)dµ+ p R+ R+ N + fN jdµ fN fN - FR,N + N FR,N - j + p p C[0,aN ] ln N R+ 1 N N1/p 1 + ER(fN )p, + 1 +.

N ln N Отсюда и из (38) 1 N ER(f)p, 1 - N - ln1N N+ 21/p-1 (N ).

(, fN )p, 21-1/p 1 + c() 1/p ln N Теорема доказана.

Список литературы 1. Московский А.В. Теоремы Джексона в пространствах Lp(Rn) и Lp,(R+) // Изв.

ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1997. Т.3. Вып.1. С.44–70.

2. Чертова Д.В. Оценка сверху констант Джексона в пространствах Lp, 1 p < на прямой со степенным весом // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып.2.

С.94–109.

3. Виноградов О.Л. О константе в неравенстве Джексона для пространства Lp(-, ) // Вестн. С.Петерб. ун-та. Сер.1. 1994. Вып.3. С.15–22.

4. Платонов С.С. Гармонический анализ Бесселя и приближение функций на полупрямой // Изв. РАН. Сер. Матем. 2007. Т.71, №5. С.149–196.

5. Иванов В.И., Лю Юнпин Оценка снизу констант Джексона в пространствах Lp, 1 p < 2 с периодическим весом Якоби // Изв. ТулГУ. Естественные науки.

2011. Вып.2. С.59–70.

6. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. Ч.1. М.: ИЛ, 1949.

7. Бейтмен Г., Эрдейн А.Н. Высшие трансцендентные функции. Т.2. М.: Наука, 1966.

8. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1969.

9. Витушкин А.Г. Оценка сложности задачи табулирования. М.: Физматгиз, 1959.

10. Иванов В.И., Смирнов О.И. Константы Джексона и константы Юнга в пространствах Lp. Тула: ТулГУ, 2010.

11. Маршалл А., Олкин И. Неравенства: теория мажоризации и ее приложения.

М.: Мир, 1983.

Об оценке снизу констант Джексона в пространствах Lp, 1 p < 2 12. Иванов В.И. Приближение в Lp кусочно-постоянными функциями // Матем.

заметки. 1988. Т.44, №1. С.64–79.

13. Петров В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин.

М.: Наука, 1987.

Иванов Валерий Иванович (ivaleryi@mail.ru), д.ф.-м.н., профессор, декан, механико-математический факультет, Тульский государственный университет.

Чертова Дарья Вячеславовна (dolie@mail.ru), аспирант, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

About lower estimation of Jackson constants in Lp-spaces on a straight line with power weight V. I. Ivanov, D. V. Chertova Abstract. The exactness of Jackson inequalities in Lp-spaces, 1 p < 2 on a half-line and a straight line with power weight |x|2+1, > -1/2 established by A.V. Moskovskiy (case with a half-line) and the co-author of the article (case 2+with a straight line) are proved for > 0, < p < 2.

2+Keywords: half-line, straight line, power weight, Lp-spaces, entire functions, best approximation, generalized translation operator, module of continuity, Jackson inequality..

Ivanov Valeriy (ivaleryi@mail.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, dean, mechanical and mathematical faculty, Tula State University.

Chertova Darya (dolie@mail.ru), postgraduate student, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Поступила 15.06.Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 94–Математика УДК 517.Оценка сверху констант Джексона в пространствах Lp, 1 p < 2 на прямой со степенным весом Д. В. Чертова Аннотация. В пространствах Lp, 1 p < 2 на прямой со степенным весом |x|2+1, > -1/2 доказано неравенство Джексона с той же константой, что и в случае единичного веса ( = -1/2).

Ключевые слова: прямая, степенной вес, пространства Lp, целые функции, наилучшее приближение, оператор обобщенного сдвига, модуль непрерывности, неравенство Джексона.

Введение |x|2+Пусть (x) гамма-функция, -1/2, v(x) = степенной 2+1(+1) вес на прямой R, dµ(x) = v(x) dx, 1 p, Lp,(R) пространство комплексных измеримых по Лебегу функций f на R с конечной нормой 1/p f = |f(x)|pdµ(x), 1 p <, p, R f = f = vrai sup |f(x)|, p =,, R Cb(R) L(R) подпространство непрерывных ограниченных функций.

Пространство L2,(R) гильбертово со скалярным произведением (f, g) = f(x)g(x)dµ(x).

R Пусть J(x) функция Бесселя первого рода порядка, J(x) j(x) = 2( + 1), j(0) = x нормированная функция Бесселя, t наименьший положительный нуль J(x).

Оценка констант Джексона в пространствах Lp, 1 p < 2 на прямой с весом Через Ep,, > 0 обозначим множество функций f Lp,(R), которые являются сужениями на R целых в C функций f(z), удовлетворяющих оценке |f(z)| cf e|z|, cf > 0.

Таким образом, Ep, класс целых функций экспоненциального типа из Lp,(R).

Величину наилучшего приближения функции f Lp,(R) целыми функциями экспоненциального типа R, R > 0 определим равенством R ER(f)p, = inf{ f - g : g Ep,}.

p, В пространстве Lp,(R) действует ограниченный линейный оператор обобщенного сдвига (см. [1]) c t T f(x) = {f(A)(1 + B) + f(-A)(1 - B)} sin2 d, (1) где t R ( + 1) x - t cos c =, A = x2 + t2 - 2xt cos, B =, ( + 1/2) A позволяющий определить модуль непрерывности (, f)p, = sup{(t, f)p, : |t| }, > 0, (2) где t p(t, f)p, = (T |f(y) - f(x)|p) y=x dµ(x) = R c = {|f(A) - f(x)|p(1 + B) + |f(-A) - f(x)|p(1 - B)} sin2 ddµ(x).

Константы Джексона определим равенством ER(f)p, D(R, )p, = sup.

(, f)p, fLp,(R) Четные функции в Lp,(R) образуют подпространство. Их удобно рассматривать на полупрямой R+. Указанное подпространство четных функций обозначим Lp,(R+). Константы Джексона в Lp,(R+) для приближений четными функциями экспоненциального типа обозначим De(R, )p,.

Очевидно, что De(R, )p, D(R, )p,.

t При = -1/2 оператор обобщенного сдвига T f(x) = (f(x + t) + + f(x - t))/2 и модуль непрерывности (2) совпадет с обычным модулем 96 Д. В. Чертова непрерывности, определяемым оператором сдвига tf(x) = f(x + t).

Известно, что De 2R, = D 2R, = 21/p-1, 1 p < 2.

R p,-1/2 R p,-1/Оценка сверху получена О.Л. Виноградовым [2], оценка снизу А.В.

Московским [3].

При > -1/2 в пространстве Lp,(R+) известна только оценка сверху А.В. Московского [3] 2t De 2R, 21/p-1, 1 p < 2.

R p, Наша цель доказать следующее утверждение.

Теорема. Если > -1/2, 1 p < 2, R > 0, то для любой функции f Lp,(R) справедливо неравенство Джексона 2t E2R(f)p, 21/p-1, f.

R p, Таким образом, при > -1/2, 1 p < 2 и на всем пространстве Lp,(R) 2t D 2R, 21/p-1.

R p, Теорема анонсирована в [11]. При доказательстве теоремы будем следовать схеме, предложенной В.И. Ивановым [4, 5] и являющейся развитием подхода Н.И. Черных [6]. Будем также опираться на работы Д.В.

Горбачева [7–9], А.Г. Бабенко [10], А.В. Московского [3].

1. Элементы гармонического анализа в пространствах Lp,(R) В пространстве L2,(R), > -1/2 гармонический анализ осуществлен с помощью оператора и преобразования Данкля. Дифференциально-разностный оператор Данкля имеет вид [12, 13] f(x) - f(-x) Df(x) = f (x) + ( + 1/2). (3) x Обобщенные экспоненциальные функции e(yx) = j(yx) - ij(yx) (|e(x)| 1, |j(x)| 1, |j(x)| 1) (4) являются его собственными функциями De(yx) = iye(yx).

Оценка констант Джексона в пространствах Lp, 1 p < 2 на прямой с весом Разложение функций из L2,(R) осуществляется с помощью прямого и обратного преобразований Данкля [14]:

f(x) = f(y)e(yx)dµ(y), f(y) = f(x)e(-yx)dµ(x). (5) R R Равенства (5) понимаются в смысле сходимости частичных интегралов по норме пространства L2,(R). При этом справедливо равенство Парсеваля f = f. (6) 2, 2, Нам понадобится действительное разложение функций из L2,(R).

Справедлива следующая лемма [1].

Лемма 1. Если -1/2, f L2,(R), то F (f)(y) = f(x) (j(xy) - j(xy)) dµ(x) L2,(R) (7) R и f(x) = F (f)(y)(j(xy) - j(xy))dµ(y). (8) R Сходимость интегралов в (7), (8) понимается по норме пространства L2,(R). При этом выполняется равенство Парсеваля f = F (f). (9) 2, 2, Если f, g L2,(R), то из равенств Парсеваля (6), (9) для них вытекают обобщенные равенства Парсеваля (f, g) = (f, g) = (F (f), F (g)). (10) Лемма 2. Если f Lp,(R), 1 p 2, g, g L1,(R), то (10) верно.

Доказательство. Так как f f, f = f, 1, 2, 2, то преобразование Данкля распространяется и на пространства Lp,(R), 1 < < p < 2. По интерполяционной теореме Рисса-Торина [15] получается аналог неравенства Хаусдорфа-Юнга [16] f f, 1/p + 1/p = 1. (11) p, p, Если g, g L1,(R), то g g и для 1 p 1, 1/p 1/p 1-1/p g g 1-1/p g g g, p, 1, 1, 1, 1/p 1-1/p g g g. (12) p, 1, 1, 98 Д. В. Чертова Рассмотрим два линейных функционала l1(f) = (f, g), l2(f) = (f, g).

Это линейные непрерывные функционалы на пространстве Lp,(R), 1 p 2, так как согласно (11), (12) по неравенству Гельдера 1-1/p 1/p |(f, g)| g f g g f, p, p, p, 1, 1, 1/p 1-1/p |(f, g)| f g g g f.

p, p, p, 1, 1, Согласно (10) они совпадают на множестве Lp,(R) L2,(R), плотном в Lp,(R), поэтому l1(f) = l2(f) на Lp,(R).

Лемма 2 в случае преобразования (5) доказана. Для преобразования (7) доказательство аналогичное. Только нужно учесть, что согласно (4) |j(x) - j(x)| |j(x)| + |j(x)| и -p F (f) 2 f, F (f) 2 f, 1 p 2. (13) 1, p, p, Лемма 2 доказана.

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 43 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.