WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 43 |

Теперь, пользуясь граничной функцией h(x1, x2) = 9(1 - 2{x1})2(1 2 - 2{x2})2 на классе E2 1, для параллелепипедальных сеток, нетрудно с помощью оператора взвешенных сеточных средних по сеткам Смоляка построить граничную функцию для двумерных сеток Смоляка.

2 Граничные функции класса E2 1, для сеток Смоляка Теорема 5. Пусть функция G(x1, x2) задана формулой q-2-1 2q--1 k1 kG(x1, x2) = h x1 +, x2 + 2q 2 2q=1 k1=0 k2=q-2-1 2q-1--1 k1 k- h x1 +, x2 +, (33) 2q-1 2 2q-1=1 k1=0 k2=2 тогда G(x1, x2) граничная функция класса E2 1, для сетки Смоляка.

Доказательство. Действительно, согласно формулам (18) (20) справедливо равенство e2i(m1x1+m2x2) h(x1, x2) =. (34) 0(m1, m2) m1,m2=Так как функция G(x1, x2) получена из h(x1, x2) с помощью оператора взвешенных сеточных средних по сеткам Смоляка, то по лемме 1 имеем S(m1, m2)e2i(m1x1+m2x2) G(x1, x2) =. (35) 0(m1, m2) m1,m2=Заметим, что по свойствам нормированных тригонометрических сумм с весами сеток Смоляка справедливы равенства 0, если (m1, m2) K0, S(m1, m2) = 1, если (m1, m2) K1, -1, если (m1, m2) K2.

Отсюда и из равенства (35) следует, что e2i(m1x1+m2x2) e2i(m1x1+m2x2) G(x1, x2) = -. (36) 0(m1, m2) 0(m1, m2) (m1,m2)K1 (m1,m2)K2 Таким образом, G(x1, x2) E2 1, 2 = 1 и G(x1, x2) E2 1,. Далее по теореме Коробова (теорема 3, стр. 15) для величины погрешности приближенного интегрирования получим S(m1, m2) S(m1, m2) RN (q)[G] = - = (1) 0(m1, m2) 0(m1, m2) (m1,m2)K1 (m1,m2)K1 = + = RN (q)[·] E2 1, 2, (1) 0(m1, m2) 0(m1, m2) (m1,m2)K1 (m1,m2)K(37) что и доказывает утверждение теоремы.

22 Н. Н. Добровольский, О. В. Киселева, А. С. Симонов 3. Обобщенные равномерные сетки и явный вид граничной функции G(x1, x2) Для нахождения явного вида граничной функции G(x1, x2) заметим, что оператор ASm(q), взвешенных сеточных средних по сеткам Смоляка, заданный формулой q-2-1 2q--1 k1 kASm(q),f(x1, x2) = f x1 +, x2 + 2q 2 2q=1 k1=0 k2=q-2-1 2q-1--1 k1 k- f x1 +, x2 +, (38) 2q-1 2 2q-1=1 k1=0 k2=выражается через операторы AM(1,2), 1 взвешенных сеточных средних по обобщенным равномерным сеткам M(1, 2):

21 -1 22 -1 k1 kAM(1,2), 1f(x1, x2) = f x1 +, x2 +, (39) 21+2 k1=0 k2=0 21 q-1 q-ASm(q),f(x1, x2) = AM(,q-), 1f(x1, x2) - AM(,q-1-), 1f(x1, x2). (40) =1 =В работе [2, стр. 210]) доказана следующая лемма.

Лемма 2. Для обобщенной равномерной сетки M(1, 2), функции h(x1, x2) и компоненты h1(x1, x2) из разбиения Коробова справедливо равенство 2 h1(x1, x2) = 1 + - {21x1} (1 - {21x1}) 41 2 1 + - {22x2} (1 - {22x2}). (41) 42 Для компактности записи введем обозначение 2 p(x) = 1 + - {2x} (1 - {2x}).

4 2 Теорема 6. Для граничной функции G(x1, x2) класса E2 1, и сетки Смоляка справедливо равенство q-1 q-G(x1, x2) = p(x1)pq-(x2) - p(x1)pq-1-(x2). (42) =1 =2 Граничные функции класса E2 1, для сеток Смоляка Доказательство. Заметим, что h1(x1, x2) = AM(1,2), 1h(x1, x2) = p1(x1)p2(x2).

Отсюда и из формул (33) и (40) следует утверждение теоремы.

Лемма 3. Справедливо равенство p(x)dx = 1. (43) Доказательство. Функция p(x) периодична с периодом, поэтому 1 2 2 p(x)dx = 2 p(x)dx = 2 1 + - · 2x (1 - 2x) dx = 4 0 0 2 12 2 12 1 = 1 + - x (1 - x) dx = 1 + - - = 4 4 4 4 2 и лемма доказана.

Лемма 4. Справедливо равенство 1 G(x1, x2)dx1dx2 = 1. (44) 0 Доказательство. Действительно, q-1 1 1 G(x1, x2)dx1dx2 = p(x1)pq-(x2)dx1dx20 0 0 =q-2 q-1 1 1 - p(x1)pq-1-(x2)dx1dx2 = p(x1)dx1 pq-(x2)dx20 0 0 =1 =q-1 - p(x1)dx1 pq-1-(x2)dx2 = (q - 1) - (q - 2) = 0 =и лемма доказана.

Лемма 5. Для суммы 2-1 k (, µ) = pµ 2 k=справедливо равенство (, µ) = 1 +. (45) 4max(,µ) Доказательство. Рассмотрим два случая:

24 Н. Н. Добровольский, О. В. Киселева, А. С. Симонов (1) Пусть µ, тогда k 2 12 pµ = 1 + - 2µ-k 1 - 2µ-k = 1 + 2 4µ 4µ 4µ и (, µ) = 1 +.

4µ (2) Пусть > µ, тогда 2-1 2 12 k k (, µ) = 1 + - 1 - = 2 4µ 4µ 2-µ 2-µ k=2-µ-2 12 1 k k 2 12 = 1 + - · 1 - = 1 + - · 4µ 4µ 2-µ 2-µ 2-µ 4µ 4µ 2-µ k=2-µ - 1 (2-µ - 1)(2 · 2-µ - 1) 2 2 4-µ - 1 - = 1 + - · = 1 + 2 6 · 2-µ 4µ 4µ 4-µ и лемма доказана.

Лемма 6. Для суммы q-1 q-2-1 2q--1 2-1 2q-1--1 k1 k2 1 k1 kS(q) = G, - G, 2q 2 2q- 2q-1 2 2q-1=1 k1=0 k2=0 =1 k1=0 k2=справедливо равенство S(q) = S1(q) - 2S2(q) + S3(q), (46) где q-2 S1(q) = 1 + 1 +, 4max(,µ) 4max(q-,q-µ),µ=q-1 q-2 S2(q) = 1 + 1 +, 4max(,µ) 4max(q-,q-1-µ) =1 µ=q-2 S3(q) = 1 + 1 +.

4max(,µ) 4max(q-1-,q-1-µ),µ=Доказательство. Воспользовавшись формулой (42), получим S(q) = q-1 q-1 q-2-1 2q--1 k1 k2 k1 k= pµ pq-µ - pµ pq-1-µ 2q 2 2q- 2 2q=1 k1=0 k2=0 µ=1 µ=2 Граничные функции класса E2 1, для сеток Смоляка q-2 q-2-1 2q-1- -1 k1 k- pµ pq-µ 2q-1 2 2q-1=1 k1=0 k2=0 µ=q-2 q-1 q-k1 k- pµ pq-1-µ = (, µ)(q -, q - µ)2 2q-1µ=1 =1 µ=q-1 q-2 q-2 q-- (, µ)(q -, q - 1 - µ) - (, µ)(q - 1 -, q - µ)+ =1 µ=1 =1 µ=q-2 q-+ (, µ)(q - 1 -, q - 1 - µ).

=1 µ=Так как (µ, ) = (, µ), то суммы со знаком минус равны и по лемме получаем доказываемое утверждение.

Лемма 7. Справедливо равенство 3(q - 1) S(q) = 1 + +. (47) 4q-1 16q-Доказательство. Имеем q-2 S1(q) - S2(q) = 1 + 1 + 4max(,µ) 4max(q-,q-µ),µ=q-1 q-2 q-2 2 2 - 1 + 1 + = 1 + 1 + + 4max(,µ) 4max(q-,q-1-µ) =1 4q-1 4q=1 µ=q-1 q-2 2 + 1 + -.

4max(,µ) 4max(q-,q-µ) 4max(q-,q-1-µ) =1 µ=Аналогично, q-1 q-2 S2(q) - S3(q) = 1 + 1 + 4max(,µ) 4max(q-,q-1-µ) =1 µ=q-2 q-2 2 2 - 1 + 1 + = 1 + 1 + + 4max(,µ) 4max(q-1-,q-1-µ) µ=1 4q-1 4q-1-µ,µ=q-2 2 + 1 + -.

4max(,µ) 4max(q-,q-1-µ) 4max(q-1-,q-1-µ),µ=26 Н. Н. Добровольский, О. В. Киселева, А. С. Симонов Поэтому q-1 q-2 2 2 S1(q) = 1 + 1 + - 1 + 1 + + 4q-1 4q- 4q-1 4q-1-µ =1 µ=q-1 q-2 2 + 1 + - 4max(,µ) 4max(q-,q-µ) 4max(q-,q-1-µ) =1 µ=q-2 2 - 1 + - = 4max(,µ) 4max(q-,q-1-µ) 4max(q-1-,q-1-µ),µ=q-1 q-2 2 = 1 + 1 + - 1 + + 4q-1 4 4µ =1 µ=q-2 2 + 1 + - + 4q-1 4q-µ 4q-1-µ µ=q-2 2 4 + 1 + - + = 4max(,µ) 4max(q-,q-µ) 4max(q-,q-1-µ) 4max(q-1-,q-1-µ),µ== S4(q) + S5(q), где q-1 q-2 2 S4(q) = 1 + 1 + - 1 + + 4q-1 4 4µ =1 µ=q-2 2 2 2 + 1 + - = 1 + + 1 + 4q-1 4q-µ 4q-1-µ 4q-1 4q-µ=q-1 q-2 2 2 2 1 - = 1 + - 1 + - = 4µ 4µ 4q-1 4q-1 2 4q-µ=2 µ=2 1 = 1 + +, 4q-1 2 4q-S5(q) = q-2 2 4 = 1 + - + = 4max(,µ) 4max(q-,q-µ) 4max(q-,q-1-µ) 4max(q-1-,q-1-µ),µ=q--2 2 4 = 1 + - + + 4 4q-µ 4q-1-µ 4q-1-µ =1 µ=2 Граничные функции класса E2 1, для сеток Смоляка q-2 2 4 + 1 + - + + 4 4q- 4q- 4q-1=q-2 µ-2 2 4 + 1 + - + = 4µ 4q- 4q- 4q-1µ=1 =q--1 -1 -2 2 4 2 2 4 = 1 + - + + - + + 4 4q-µ 4q-1-µ 4q-1-µ 4q- 4q- 4q-1=1 µ=1 µ=1 µ=q--1 -1 -2 4 2 2 + - + = 1 + = 4q-µ 4q-µ 4q-1-µ 4 4qµ=1 µ=1 µ=1 =12(q - 2) 1 = + -.

4q 2 4q-Отсюда следует, что 2 1 4 12(q - 2) 1 2 3(q - 1) S(q) = 1 + + + + - = 1 + + 4q-1 2 4q-1 4q 2 4q-1 4q-1 16q-и лемма доказана.

Теорема 7. Для нормы RN (q)[·] E2 1, 2 линейного функционала (1) погрешности квадратурной формулы (5) справедливо равенство 3(q - 1) RN (q)[·] E2 1, 2 = +. (48) (1) 4q-1 16q-Доказательство. Действительно, из формулы (37) следует RN (q)[·] E2 1, 2 = RN (q)[G] = (1) (1) 1 3(q - 1) = S(q) - G(x1, x2)dx1dx2 = +, 4q-1 16q-0 что и доказывает утверждение теоремы.

Список литературы 1. Смоляк С.А. Квадратурные и интерполяционные формулы на тензорных произведениях некоторых классов функций // Докл. АН СССР. 1963. Т.148, №5.

С.1042–1045.

2. Добровольская Л.П., Добровольский Н.М., Симонов А.С. О погрешности приближенного интегрирования по модифицированным сеткам // Чебышевский сборник. Тула: ТГПУ, 2008. Т.9. Вып.1(25). С.185–223.

3. Добровольский Н.Н. Отклонение двумерных сеток Смоляка // Чебышевский сборник. Тула: ТГПУ, 2007. Т.8. Вып.1(21). С.110–152.

4. Коробов Н.М. Теоретикочисловые методы в приближенном анализе. М.: Наука, 1963.

28 Н. Н. Добровольский, О. В. Киселева, А. С. Симонов 5. Коробов Н.М. Квадратурные формулы с комбинированными сетками // Матем.

заметки. 1994. Т.55. Вып.2. С.83–90.

6. Коробов Н.М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.:

МЦНМО, 2004.

7. Добровольский Н.М., Манохин Е.В. Банаховы пространства периодических функций // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1998. Т.4.

Вып.3. C.56–67.

Добровольский Николай Николаевич (nikola-the-great@yandex.ru), аспирант, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Киселева Ольга Владимировна, аспирант, кафедра теории чисел, Московский педагогический государственный университет.

Симонов Александ Сергеевич, д.п.н., профессор, кафедра алгебры, математического анализа и геометрии, Тульский государственный педогогический университет им. Л.Н. Толстого.

Boundary functions of class E2 1, for grids Smolyak N. N. Doborvolsky, O. V. Kiseleva, A. S. Simonov 2 Abstract. We find the boundary functions of class E2 1, for grids Smolyak and explicitly calculated the norm of the linear functional error in the approximate integration by quadrature formulas with two-dimensional grids Smolyak Keywords: Smolyak grids, quadrature formula, the boundary function, the error of integration.

Dobrovolsky Nikolai (nikola-the-great@yandex.ru), postgraduate student, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Kiseleva Olga, postgraduate student, department of number theory, Moscow State Pedagogical University.

Simonov Alexander, doctor of pedagogical sciences, professor, department of mathematical analysis, algebra and geometry, Tolstoy Tula State Pedagogical University.

Поступила 14.05.Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 29–Математика УДК 517.Задача Логана для целых функций многих переменных и константы Джексона в весовых пространствах А. В. Иванов Аннотация. Изучается точная константа D(V, U)2,k в неравенстве Джексона в пространстве L2,k(Rd) со степенным весом vk(x) = |(, x)|2k(), определяемым положительной подсистемой R+ R+ конечной системы корней R Rd и функцией k(), инвариантной относительно группы отражений G(R). Здесь V и U выпуклые центрально симметричные компактные тела. Тело V содержит носитель преобразования Данкля (спектр) приближающей целой функции, а U окрестность нуля в модуле непрерывности.

Доказна непрерывность константы Джексона как функции и.

Для оптимального аргумента в модуле непрерывности установлена связь с задачей Логана о наименьшем радиусе шара, определяемом телом V, вне которого положительно определенная интегрируемая целая функция со спектром в U неположительна. Задача Логана d j решена для случая, когда вес v(x) = |xj|2 +1, j -1/2, V j=евклидов шар, а U параллелепипед.

Ключевые слова: группа отражений, преобразование Данкля, пространство L2,k(Rd) со степенным весом, целые функции экспоненциального типа, константа Джексона, задача Логана.

Введение Пусть d N, Rd(Cd) d-мерное действительное (комплексное) d евклидово пространство со скалярным произведением (x, y) = xiyi i=* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 10-01-00564, № 1201-91158-ГФЕН).

30 А. В. Иванов d (x, y) = xiyi, для x Rd и 1 p i=1/p d |x|p = |xj|p (1 p < ), |x| = max |xj|, j j=d Bp = {x Rd : |x|p 1}, U выпуклое центрально-симметричное компактное тело в Rd, функционал Минковского которого определяет норму в Rd:

x |x|U = min > 0 : U, U = {x Rd : max |(x, y)| 1} yU поляра U, Lp(Rd), 1 p < пространство комплексных измеримых по Лебегу на Rd функций f с конечной нормой 1/p f = |f(x)|pdx <, p Rd f(y) = f(x)e-i(x,y)dx Rd преобразование Фурье функции f.

С помощью тела U определим модуль непрерывности функции f L2(Rd):

(U, f)2 = sup{ f(x + t) - f(x) : t U}, > 0.

Для выпуклого центрально-симметричного компактного тела V Rd d через E2(V ), > 0 обозначим класс функций g L2(Rd), для которых d носитель suppg V. По теореме Пэли-Винера [1] E2(V ) совпадает с классом функций g L2(Rd), которые являются сужениями на Rd целых в Cd функций g(z), удовлетворяющих оценке |g(z)| cge|z|V, где cg > 0, |z|V = maxyV |(z, y)|.

d Пусть f L2(Rd). Наилучшим приближением функции f классом E2(V ) назовем величину d E(V, f)2 = inf{ f - g : g E2(V )}.

Константу Джексона D(V, U)2 определим как точную (наименьшую) константу в неравенстве Джексона E(V, f)2 D(U, f)2, Задача Логана и константы Джексона в весовых пространствах то есть положим E(V, f)D(V, U)2 = sup : f L2(Rd). (1) (U, f)d Пусть F (U) класс четных целых функций g(x), представимых в виде g(x) = cos xyd(y), (2) U где вероятностная регулярная борелевская мера на U, J(V, U) = inf sup g(x). (3) d gF ( U) x V Е.Е. Бердышевой [2] между задачей о константе Джексона (1) и экстремальной задачей (3) для целых функций (2) установлена следующая связь.

Теорема A. Справедливо равенство 2D2(V, U)2 =.

1 - J(V, U) Из работ А.Г. Бабенко [3] и А.В. Московского [4] вытекает, что для любых, > D(V, U)2 1/ 2.

Е.Е. Бердышевой [2] введено понятие оптимальной точки d(V, U) или точки Черных в неравенстве Джексона как точки, для которой выполнены два условия:

D(V, U)2 1/ 2 при d(V, U), D(V, U)2 > 1/ 2 при < d(V, U).

Для класса действительных функций M определим величину (M, V ) = inf{(f, V ) : f M, f = 0}, (4) где (f, V ) = sup{|x|V : f(x) > 0}.

Задача Логана состоит в вычислении величины (4) для класса M = d = F (U).

d,+ d Задачу Логана (4) рассмотрим также для классов E1(U), E1 (U) действительных функций f L1(Rd), для которых suppf U и f(0) 0, f(y) 0 на U соответственно. Очевидно, что d,+ d,+ d d E1 (U) F (U), E1 (U) E1(U), поэтому d,+ d,+ d d (F (U), V ) (E1 (U), V ), (E1(U), V ) (E1 (U), V ).

32 А. В. Иванов d,+ d Классы F (U), E1 (U) состоят из действительных положительно определенных целых функций.

В [2] получены также следующие результаты.

Теорема B. Справедливы равенства d,+ d d(V, U) = (F (U), V ) = (E1 (U), V ) = d,+ d d(V, U) (F (U), V ) (E1 (U), V ) = = =.

Теорема C. Если 1 p 2, то d1/p d,+ d d d d d d d d(Bp, B) = (F (B), Bp) = (E1 (B), Bp) =.

d Задача (F (U), V ) при d = 1, U = V = [-1, 1] была поставлена и решена Б. Логаном [5]. У него неотрицательность конечной на [-, ] меры предполагалась только в некоторой окрестности нуля. Он показал, что (F ([-, ]), [-1, 1]) =. Это равенство вытекает и из более ранних работ Н.И. Черных [6,7]. Д.В. Горбачев [8] доказал, что d d d d d d(B2, B2) = (F (B2), B2) = 2qd/2-d,+ d d d d d = (E1(B2), B2) = (E1 (B2), B2) =, где qd/2-1 наименьший положительный нуль функции Бесселя Jd/2-1(x).

Наша цель получить аналоги теорем A, B, C для пространств со степенным весом vk(x) = |(, x)|2k(), (5) R+ определяемым положительной подсистемой R+ системы корней R Rd \ {0} и функцией k(): R R+, инвариантной относительно группы отражений G(R), порожденной R (см. [9]). Обобщение результатов Д.В. Горбачева [8] на этот случай получено в [10].

Через c(,,...) будем обозначать положительные постоянные, зависящие от указанных параметров, различные в разных местах.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 43 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.