WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 18 | 19 || 21 | 22 |   ...   | 43 |

1. Постановка задачи Рассмотрим мембрану, которая до деформации имеет вид цилиндрической пластинки и закреплена по боковой поверхности. Движение мембраны рассматривается в цилиндрической системе координат. При этом принимаются следующие обозначения: r радиальные координаты материальной точки в начальном состоянии; радиальные координаты материальной точки в текущем состоянии; координата вдоль нормали к срединной поверхности в начальном состоянии. Так как начальная толщина оболочки много меньше её радиуса, то используем обобщенную гипотезу Кирхгоффа–Лява:

R (r,, t) = Rср (r, t) + 3n = (r, t) er + z (r, t) ez + 3n, (1) где Rср (r, t) = (r, t) er + z (r, t) ez радиус-вектор точек срединной поверхности; 3 (r) утонение оболочки в направлении нормали, h (r) = 3 (r) ho (r) текущая толщина оболочки; h0 (r) начальная Задача о вязкопластическом и сверхпластическом деформировании мембраны dRср толщина, 1 = относительное удлинение срединной поверхности в dr меридиональном направлении; 2 = относительное удлинение срединной r поверхности в окружном направлении.

Исходя из закона движения (1), получим следующие кинематические соотношения:

ur 2 = + 1, (2) r uz 1 = - ·, (3) r sin (2r) = 1 cos, (4) r где ur перемещение начальной срединной плоскости по радиальной координате; uz перемещение начальной срединной плоскости вдоль оси Oz; угол поворота нормали к срединной поверхности.

Рассматриваемое тело деформируется под действием нагрузки постоянной интенсивности p, распределенной по внутренней поверхности и направленный по нормали к внутренней поверхности мембраны (рис. 1).

Распределение напряжений и деформаций по толщине оболочки считаем однородным, то есть рассматриваем задачу в мембранном приближении.

Запишем условие равновесия мембраны с помощью вариационного принципа Журдена. С учетом условия несжимаемости получим p · V dS = · ·W dV, S V где V объем пространства, занимаемого оболочкой в произвольный момент времени; S площадь действия поверхностных усилий p; девиатор тензора напряжений; V вариация поля скоростей, W девиатор тензора деформации скорости. Исходя из закона движения (1) и принципа Журдена, представим систему уравнений равновесия оболочки в дифференциальном виде:

11h0 p sin = 2r, 1 11h0 22h(5) r - p12r + sin = 0, r 1 33 = 0, где угол поворота подвижного базиса; p приложенное давление; 11, 22, 33 компоненты тензора напряжений.

194 С. А. Фурсаев Рис. 1. Сегмент срединной поверхности оболочки под действием давления p 2. Постановка задачи и построение аналитического решения Рассмотрим деформирование оболочки при условии полной пластичности:

11 = 22 = 0 = const [1].

В этом случае система (5) принимает вид 0h0 p sin = 2r, 1 (6) 0h0 0h r - p12r + sin = 0.

r 1 Система (6) дополняется кинематическими соотношениями (2)–(4) и граничными условиями uz|r=R = 0; ur|r=R = 0.

Представим систему (6) в безразмерном виде, отнеся все величины с размерностью длины к начальной радиусу оболочки R, а величины с размерностью напряжения к пределу текучести Задача о вязкопластическом и сверхпластическом деформировании мембраны sin pb = 2rb, 1 0 2hb (7) rbhb hb sin 0 - pb12rb + = 0.

rb 1 Далее индексы b над безразмерными давлением, начальной толщиной и радиальной координатой опустим. В результате несложных преобразований из системы (7) и уравнения (4) получим 2h0 sin 1 =, p2r p (8) = 22, r 2h0 r + 2 = 1 cos.

r Добавим сюда граничные условия |r=0 = 0; 2|r=R = 1. (9) Система (8) представляет собой систему нелинейных уравнений относительно неизвестных удлинений 1, 2 и угла поворота.

Угол поворота нормали в полюсе оболочки (r = 0) равен нулю, так как вектор внешней нормали будет параллелен вертикальной оси Oz; удлинение 2 в окружном направлении на границе (r = R) будет отсутствовать в силу условия закрепления.

Исключим из системы (8) меридиональную деформацию 1. Вводя новую переменную f = 2r, получим p = 2r sin2 ·, h0 r f(10) p f = r sin 2 ·.

h0 r fСледствием системы (10) является связь между производными и f следующего вида:

1 f ctg =. (11) r f r Из дифференциальной связи (11) следует связь между неизвестными, определяемая с точностью до параметра C1 в виде 196 С. А. Фурсаев sin = C1f. (12) В результате подстановки связи (12) в первое уравнение системы (10) получим дифференциальное уравнение относительно угла поворота p 2rC=.

h0 r sin Общее решение данного уравнения имеет вид p cos = -C1r2 + C2. (13) hПараметры C1 и C2 находим из краевых условий для угла поворота |r=0 = 0; |r=R=1 = k. (14) Удовлетворяя условиям (14), из решения (13) получим p p C1 = (1 - cos k); C2 =. (15) h0 hВ результате закон изменения угла поворота из выражений (13), (15) принимает вид cos = 1 - (1 - cos k)r2. (16) Функция f с учетом значения величины C1 из (15) и связи (12) выражается по формуле sin f =. (17) p (1 - cos k) hПодставляя в формулу (17) выражение f|r=R=1 = 1, следующее из граничного условия (9), определяем связь между давлением и углом поворота нормали k на краю мембраны:

h0 sin3 k p =. (18) 1 - cos k 3. Распределение кинематических характеристик вдоль радиуса мембраны Из формулы (17) и зависимости (18) найдем закон изменения окружного удлинения Задача о вязкопластическом и сверхпластическом деформировании мембраны sin 2 =. (19) r sin k Из выражений (8), (18) и (19) находим закон изменения меридионального удлинения 2(1 - cos k) r 1 = ·. (20) sin k sin Используя законы (19), (20), из уравнений (2) и (3) находим компоненты перемещений точек срединной плоскости:

1 - cos k sin Uz = · (1 - r2), Ur = - r. (21) sin k sin k Из условия несжимаемости 123 = 1 определяем утонение оболочки sin2 k 3 =. (22) 2(1 - cos k) Из формулы (22) следует, что при полной пластичности утонение постоянно вдоль радиуса.

Таким образом, получены точные аналитические зависимости (19)–(22) удлинений и перемещений срединной поверхности мембраны от радиальной координаты и монотонно возрастающего параметра k. При этом закон изменения sin от радиальной координаты определяется из выражения (16).

4. Напряженное состояние мембраны с учетом вязкого деформирования Рассмотрим процесс деформирования мембраны в вязкопластической области. Введем допущение о равномерности распределения характеристик напряженно-деформированного состояния по толщине оболочки.

Запишем определяющее соотношение для вязкопластического и сверхпластического материала [2]:

W = v + p, v = v(s, T ) ·, = o exp 2m0 arctg, (23) vs где = + 0 · E, p равновесная составляющая девиатора тензора напряжений; v вязкая составляющая девиатора тензора напряжений; v интенсивность вязкой составляющей нагружения; W девиатор тензора деформации скорости; s величина формоизменения кольца; m0 модуль скоростного упрочнения; vs скорость сверхпластичности.

198 С. А. Фурсаев При предположении об идеально-жесткопластическом поведении материала равновесные нагружения p считаем равными пределу упругости:

p = o, то есть деформационное упрочнение отсутствует.

В ортонормированном подвижном базисе выражение тензора деформации скорости примет вид 1 2 W = 11 + 22 + nn. (24) 1 2 Так как в силу гипотезы несжимаемости тензор деформации скорости совпадает со своим девиатором, то запишем выражение для скорости формоизменения в нормальном сечении оболочки в виде 2 2 1 2 ()2 = W · ·W = W · ·W = + +. (25) 1 2 Характеристики напряженно-деформированного состояния вязкопластической среды рассматриваются как функции времени. Зададим закон изменения по времени для угла поворота базиса на правой границе: k = k(t).

В таком случае производная по времени будет иметь следующий вид:

= k. (26) t k Используя соотношения (23)–(26), получим выражение для производной длины дуги формоизменения по времени ln 1 2 ln 2 2 ln 12 = k + + (27) k k k или = k · A-1, (28) где ln 1 2 ln 2 2 ln 12 A-1 = + +.

k k k Запишем компоненты тензора напряжений (23) с учетом соотношений (25) и (26) v ln 11 = k + 0, k v ln 22 = k + 0, (29) k Задача о вязкопластическом и сверхпластическом деформировании мембраны v ln 33 = k + 0.

k Полагаем, что оболочка находится в плосконапряженном состоянии.

Тогда 33 = 0 и из (29) следует, что v ln 3 v ln 0 = - · k 0 = · k.

k k Тогда компоненты тензора деформации (29) с учетом (28) предстанут в виде ln 22 ln 1 11 = vA, 22 = vA, 33 = 0. (30) k k Если использовать в виде (27), то получим следующий вид для компонент тензора напряжений, где все деформации определены как (19), (20), (22):

2 2 (ln 1) (ln 2) (ln 12) + + k k k 2mo exp arctg vs (ln 22) 11 = ·, 2 2 2 k (ln 1) (ln 2) (ln 12) + + k k k 2 2 (ln 1) (ln 2) (ln 12) + + k k k 2mo exp arctg vs (ln 12) 22 = ·, 2 2 2 k (ln 1) (ln 2) (ln 12) + + k k k 33 = 0.

Запишем выражения для напряжений в безразмерном виде, так чтобы все величины, имеющие размерность напряжений, были отнесены к пределу пластичности p = o, а величины, имеющие размерность скорости, к скорости сверхпластичности vs:

2 2 (ln 1) (ln 2) (ln 12) exp 2 arctg + + k k k (ln 22) 11 = ·, 2 2 2 k (ln 1) (ln 2) (ln 12) + + k k k (31) 200 С. А. Фурсаев 2 2 (ln 1) (ln 2) (ln 12) exp 2 arctg + + k k k (ln 12) 22 = ·, 2 2 2 k (ln 1) (ln 2) (ln 12) + + k k k 33 = 0.

Таким образом, мы получили распределение напряжений, зависящих от радиальной координаты и времени:

11 (1(r, k(t)); 2(r, k(t)); k(t)) 11(r; t), 22 (1(r, k(t)); 2(r, k(t)); k(t)) 22(r; t), 33 (1(r, k(t)); 2(r, k(t)); k(t)) 33(r; t).

Если в соотношения скорости деформации (27) и соотношения напряжений (31) подставить соотношения для деформаций (19), (20), (22), то получим приближённое решение задачи о распределении напряжений и скорости деформации в сферической мембране при вязком деформировании.

Найдём распределение скорости деформации по радиусу оболочки, используя формулу (27). На рис. 2 изображено распределение скорости деформации при различных скоростях изменения угла k на краю мембраны.

Рис. 2. Распределение скорости деформации Задача о вязкопластическом и сверхпластическом деформировании мембраны На основании рис. 2 можно сделать вывод, что наиболее полное вхождение всей мембраны в режим сверхпластичности происходит при соотношении скорости изменения углового параметра и скорости k сверхпластичности для данного материала 1.4. При этом наиболее vs существенные отклонения от сверхпластичного режима будут наблюдаться на краю мембраны.

Далее по формуле (18) определим зависимость давления от изменения углового параметра k. На рис. 3 показано изменение давления в зависимости от величины углового параметра. Видно, что после достижения некоторого значения рост давления сменяется быстрым спадом.

Рис. 3. Зависимость давления от k Зная законы распределения компонент тензора напряжений (31) и условие несжимаемости 123 = 1, можно получить закон распределения толщины мембраны вдоль радиуса. После решения системы (5) без условия полной пластичности (то есть 11 = 22 = const) запишем выражение для толщины:

211-h0 211 - 211-h(r, k) = h03 = = h0 (1 + cos k) (sin ), (32) 12 где угол поворота подвижного базиса выражен как = arccos 1 - (1 - cos k)r2.

202 С. А. Фурсаев На рис. 4 изображено изменение во времени t распределения толщины h(r) для сферической мембраны.

Рис. 4. Изменение распределения толщины мембраны Заметно, что со временем изначально равномерное распределение толщины становится неравномерным. Но при приближении к режиму сверхпластичности толщина снова стремиться к равномерности распределения.

Список литературы 1. Аннин Б.Д. Двумерные подмодели идеальной пластичности при условии полной пластичности // Проблемы механики: сб. статей к 90-летию А.Ю.Ишлинского. М.: Физматлит, 2003. С. 94–100.

2. Маркин А.А. Термомеханика процессов упругопластического и сверхпластического деформирования металлов // ПМТФ. 1999. Т. 40, № 5. С. 164–172.

Фурсаев Сергей Александрович (fursaev@mail.ru), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Problem about viscous-plastic and superplastic deformation of a spherical membrane S. A. Fursaev Abstract. Final deformation of a cylindrical membrane in an initial condition under action of pressure in regular intervals distributed on an internal surface is Задача о вязкопластическом и сверхпластическом деформировании мембраны considered. The problem is solved with use of model of the incompressible, is rigidplastic material deformable under condition of full plasticity. Exact analytical dependences of pressure and kinematic characteristics from of a corner of turn of a normal on edge of an membrane are received. Laws of change of lengthenings and movings from radial coordinate are established. The approached analytical decision Is made for pressure and distribution of thickness of a membrane in view of viscous deformation.

Keywords: membrane, full plasticity, final deformations, viscosity.

Fursaev Sergey (fursaev@mail.ru), postgraduate student, department of mathematical modeling, Tula State University.

Поступила 31.05.Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 204–Информатика УДК 519.246.Моделирование системы поддержки принятия решений при операциях на фондовом рынке С. С. Дубровин Аннотация. Рассмотрена методика поддержки принятия решений при операциях на фондовом рынке. Обоснована необходимость применения методов многокритериальной оптимизации при формировании и сопровождении портфеля ценных бумаг. Достоверность полученных результатов подтверждается экспериментальными расчетами на реальной рыночной информации.

Ключевые слова: принятие решений, портфель ценных бумаг, многокритериальная оптимизация, доходность, риск, оптимальное решение, управление активами, временной ряд, авторегрессионная модель.

Проблема управления портфелем ценных бумаг (ПЦБ) является фундаментальной в финансовой теории и практике. Исследования большинства ученых, занимающихся вопросами принятия инвестиционных решений, направлены в основном именно на совершенствование теории оптимизации портфеля ценных бумаг. Основной вклад в развитие данной теории внесли: Д. Вильям, Дж. Линтнер, Г. Марковиц, Дж. Моссин, М.

Миллер, Р. Ролл, С. Росс, Дж. Тобин, М. Шоулс, У. Шарп, Б. Фишер, И. Фишер и др.

В связи с развитием российского рынка ценных бумаг портфельная теория заинтересовала и отечественных исследователей, которые не только адаптируют западные портфельные модели к российским условиям функционирования финансовых механизмов, но и разрабатывают новые экономико-математические методы формирования, оптимизации и управления портфелями ценных бумаг.

Цель формирования портфеля ценных бумаг заключается в распределении инвестиционных ресурсов между различными группами финансовых активов для достижения требуемых параметров.

Pages:     | 1 |   ...   | 18 | 19 || 21 | 22 |   ...   | 43 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.