WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 43 |

Vakhitova Svetlana (algebraist@yandex.ru), assistant, department of mathematical analysis, Voronezh State University.

Поступила 12.06.Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 11–Математика УДК 511.Граничные функции класса E2 1, для сеток Смоляка Н. Н. Добровольский, О. В. Киселева, А. С. Симонов Аннотация. В работе найдены граничные функции класса 2 E2 1, для сеток Смоляка и в явном виде вычислена норма линейного функционала погрешности приближенного интегрирования по квадратурным формулам с двумерными сетками Смоляка.

Ключевые слова: сетка Смоляка, квадратурная формула, граничная функция, погрешность интегрирования.

Введение Рассмотрим простейшую 2-мерную декартову сетку на квадрате [0, 1)k1 kM(1, 2) =, 0 k1 21 - 1, 0 k2 22 - 1 (1) 21 из 21+2 точек, которая также называется обобщенной равномерной сеткой. Очевидно, что обобщенная равномерная сетка M(1, 2) является декартовым произведением соответствующих одномерных равномерных сеток:

M(1, 2) = M(1) M(2).

Сетка Смоляка Sm(q) = Sm(q, 2) с целочисленным параметром q 3 определяется как объединение всех обобщенных равномерных сеток M(1, 2) с q - 1 1 + 2 q. Таким образом, k1 k2 0 k1 21 - 1, 0 k2 22 - 1, Sm(q, 2) =,. (2) 21 22 1, 2 1, q - 1 1+ 2 q Можно заметить, что минимальной равномерной сеткой, содержащей сетку Смоляка как подсетку, является M(q - 1, q - 1): Sm(q) M(q - 1, q - 1).

Двумерные сетки Смоляка Sm(q) являются частным случаем s–мерных сеток Sm(q, s), которые использовались Е. С. Смоляком в работе [1] для * Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-00571-а).

12 Н. Н. Добровольский, О. В. Киселева, А. С. Симонов построения квадратурных и интерполяционных формул с весами и на них были получены результаты на различных классах функций, сравнимые с наилучшими из известных.

В работе будут рассматриваться классы A2, E2 периодических функций:

A2 – класс периодических функций f(x1, x2) с периодом 1 по каждой переменной и абсолютно сходящимся рядом Фурье:

+ + f(x1, x2) = C(m1, m2)e2i(m1x1+m2x2), |C(m1, m2)| <.

m1,m2=- m1,m2=На пространстве A2 рассмотрим норму + ||f(x1, x2)||A2 = |C(m1, m2)|, m1,m2=относительно которой A2 сепарабельное банахово пространство, изоморфное пространству l2,1 комплекснозначных функций на фундаментальной решётке Z2 со сходящимся рядом из модулей значений.

В пространстве периодических функций A2 выделяется класс E2 более гладких функций, определяемый следующими условиями на коэффициенты Фурье.

Пусть f(x1, x2) A2. Функция f(x1, x2) E2 тогда и только тогда, когда для ее коэффициентов Фурье 1 C(m1, m2) = f(x1, x2)e-2i(m1x1+m2x2)dx1dx0 выполнено условие sup |C(m1, m2)|(m1m2)2 <, mZгде для любого вещественного m полагается m = max{1, |m|}.

На классе E2 рассмотрим две эквивалентные нормы:

||f(x)||E2 = sup |C(m1, m2)|(m1m2)2, (3) mZ||f(x)||E2,C1 = sup |C(m1, m2)|(C1m1C1m2)2. (4) mZ2 Класс функций E2 c нормой (3) будем обозначать E2, а с нормой (4) E2(·, C1).

2 Пространства E2 и E2(·, C1) несепарабельные банаховы пространства, изоморфные пространству l2, ограниченных комплекснозначных функций на фундаментальной решётке Z2, которое в силу счётности Z2 изоморфно пространству l ограниченных последовательностей 2 Граничные функции класса E2 1, для сеток Смоляка комплексных чисел. Действительно, этот изоморфизм нормированных пространств E2 и l2, задается равенствами для коэффициентов Фурье:

c(m) C(m) =, m Z2, ||c(m)|| = sup |c(m1, m2)| <.

(m1m2)mZШар радиуса C > 0 в пространстве E2 с нормой (3) обозначают через 2 E2(C), а с нормой (4) E2(C, C1). Класс функций Es ввел Н. М. Коробов.

О свойствах этого класса подробно можно узнать в [4] и [6] (также см. [7]).

Квадратурные формулы с двумерными сетками Сомоляка выглядят достаточно просто (см. [3], стр. 122).

Теорема 1. Пусть f(x1, x2) E2, q 3, тогда для погрешности квадратурной формулы 1 q-2-1 2q--1 k1 kf(x1, x2)dx1dx2 = f, 2q 2 2q=1 k1=0 k2=0 q-2-1 2q-1--1 k1 k- f, - RN (q)[f] (5) (1) 2q-1 2 2q-1=1 k1=0 k2=справедлива оценка 44q ln3 N(1)(q) RN (q)[f] 2 = O, (1) E2 9 · 4q (N(1)(q))3q - где N(1)(q) = 2q количество точек сетки Смоляка с учетом их кратности.

Если квадратурную формулу (5) записать без повторения узлов, то получается более сложное выражение (см. [3], стр. 123).

Теорема 2. Пусть f(x1, x2) E2(C), q 3, тогда для погрешности квадратурной формулы 1 q-f(x1, x2)dx1dx2 = (, q - ) + (q - 1, 0) + (0, q - 1) 2q =0 q-3 q--(q-3)(0, 0)- (q-2-)((, 0)+(0, ))- (q-1--µ)(, µ),µ=1, =+µ q--RN(q)[f], (6) 14 Н. Н. Добровольский, О. В. Киселева, А. С. Симонов где (, µ) = f (x) = xM(,µ) 2-1-1 2µ-1-1 2k1 + 1 2k2 + f, при, µ > 0, 2 2µ k1= 2-1-1 k2= 2k1 + f, 0 при > 0, µ = 0, = 2 (7) k1= 2µ-1- 2k2 + f 0, при = 0, µ > 0, 2µ k2= f (0, 0) при = µ = 0, справедлива оценка 44q ln3 N(q) RN(q)[f] E2 = O, 9 · 4q N2(q) где N(q) = 3q2q-3 количество узлов в квадратурной формуле (6).

Целью данной работы является получение явной формулы для выражения через элементарные функции граничной функции класса E2 с нормой (4) для сеток Смоляка и вычисление нормы линейного функционала погрешности приближенного интегрирования по квадратурным формулам с сетками Смоляка.

Термин граничные функции ввёл Н. М. Коробов в статье [5]. Так как общий термин экстремальная функция требует уточнения, о каком функционале идет речь, то в этой работе мы будем придерживаться терминологии Н. М. Коробова, так как в нем подразумевается, что речь идет о линейном функционале погрешности приближенного интегрирования и указывается, на каком классе функций и для какой квадратурной формулы.

1. Граничные функции Пусть функция f(x1, x2) A2. Рассмотрим квадратурную формулу с весами k (k = 1,..., N):

1 N f(x1, x2)dx1dx2 = kf[1(k), 2(k)] - RN [f]. (8) N k=0 2 Граничные функции класса E2 1, для сеток Смоляка Здесь через RN [f] обозначен линейный функционал погрешности приближенного интегрирования, получающийся при замене интеграла 1 f(x1, x2)dx1dx0 взвешенным средним значением функции f(x1, x2), вычисленным в точках Mk = (1(k), 2(k)) (k = 1... N).

Совокупность M точек Mk называется сеткой, а сами точки узлами квадратурной формулы с весами k.

Для произвольных целых m1, m2 суммы S(m1, m2), определённые равенством N S(m1, m2) = ke2i[m11(k)+m22(k)], (9) k=называются тригонометрическими суммами сетки M с весами, а суммы S(m1, m2), определённые равенством N S(m1, m2) = ke2i[m11(k)+m22(k)], (10) N k=называются нормированными тригонометрическими суммами сетки M с весами.

N Положим (M) = |j|, тогда для всех нормированных тригонометрических j=сумм сетки с весами справедлива тривиальная оценка |S(m1, m2)| (M).

N Сформулируем в нужных нам обозначениях частные случаи двух теорем Коробова о погрешности квадратурных формул, из книги [6, стр. 56, 57].

Теорема 3. Пусть f(x1, x2) A2, C(m1, m2) ее коэффициенты Фурье и S(m1, m2) тригонометрические суммы сетки M, тогда справедливо равенство RN [f] = C(m1, m2)S(m1, m2)+ N m1,m2= S(0, 0) +C(0, 0) - 1 = C(m1, m2)S(m1, m2) + C(0, 0) (S(0, 0) - 1) N m1,m2=(11) Здесь означает суммирование по (m1, m2) = (0, 0).

16 Н. Н. Добровольский, О. В. Киселева, А. С. Симонов и при N погрешность RN [f] будет стремиться к нулю тогда и только тогда, когда узлы квадратурной формулы равномерно распределены с весами в единичном квадрате.

Кроме того, ||Rn[·]||A2 = sup |S(m)|.

mZДля нормы функционала погрешности приближенного интегрирования по квадратурной формуле на классе E2, заданной равенством ||Rn[·]||E2 = sup |Rn[f]|, ||f||E2 =справедлива следующая теорема Коробова.

Теорема 4. Если f(x1, x2) E2, то для нормы функционала погрешности приближенного интегрирования по квадратурной формуле справедливо равенство 1 |S(m1, m2)| S(0, 0) ||RN [·]||E2 = + - 1, (12) N (m1m2)2 N m1,m2=где сумма S(m1, ms) определена равенством (9).

Класс функций E2 является частным случаем выделения линейного многообразия в A2 через условия на коэффициенты Фурье, а именно A2, c помощью функции (m1, m2) > 0, для которой <.

(m1, m2) m1,m2=Пусть f(x1, x2) A2. Функция f(x1, x2) A2, тогда и только тогда, когда для ее коэффициентов Фурье 1 C(m1, m2) = f(x1, x2)e-2i(m1x1+m2x2)dx1dx0 выполняется условие C |C(m1, m2)|, (13) (m1, m2) где C не зависит от m1, m2.

На классе A2, рассмотрим норму ||f||A2, = sup |C(m1, m2)|(m1, m2), mZотносительно которой A2, несепарабельное банахово пространство.

2 Граничные функции класса E2 1, для сеток Смоляка Справедливо обобщение утверждения (12), что для нормы функционала погрешности приближенного интегрирования по квадратурной формуле на классе A2, справедливо равенство |S(m)| ||RN [·]||A2, = + S( 0) - 1. (14) (m) ( 0) m1,m2= В частности, если 2(m) = (m1m2)2, то пространство A2,2 = E2; если r(m) 2,C1(m) = (m1m2)2C1, где r(m) количество ненулевых m1, m2, то пространство A2,2,C1 = E2(·, C1).

Ясно, что класс функций (13) относительно нормы · A2, является шаром радиуса C. Будем его обозначать через A2,(C). В частности, получаем известные классы функций E2(C) = A2,2(C), E2(C, C1) = A2,2,C1(C).

Так как A2, относительно нормы · является несепарабельным A2, банаховым пространством, то шар A2,(C) не является компактом при C > 0.

Функции f A2,, для которых ||f||A2, = 1 и |Rn(f)| = ||Rn[·]||A2,, называют граничными функциями класса A2,(C). Нетрудно видеть, что для † функции g0(x) A2, с коэффициентами Фурье S(m), если S(m) = 0, C0(m) = (15) |S(m)| (m) 0, если S(m) = справедливы равенства g0(x) = 1, |RN [g0]| = RN [·], (16) A2, A2, таким образом, функция g0(x) граничная функция класса A2,.

В конечном виде норма линейного функционала погрешности приближенного интегрирования для заданного класса функций и заданной сетки вычисляется в небольшом количестве случаев. Ясно, что если при некоторых значениях m1, m2 тригонометрическая сумма S(m1, m2) = 0, то граничная функция класса сеткой определена неоднозначно. Если для любого набора целых m1, ms тригонометрическая сумма S(m1, m2) 0, то граничная функция класса определяется особенно просто:

e2i(m1x1+m2x2) f(x1,..., xs) = C. (17) (m1, m2) m1,m2=и не зависит от конкретной сетки с неотрицательными тригонометрическими суммами.

Для вещественных m, следуя Коробову, полагаем m = max(1, |m|).

† Здесь S(m) означает комплексное сопряжение к величине S(m).

18 Н. Н. Добровольский, О. В. Киселева, А. С. Симонов Впервые понятие граничной функции класса содержится в работе Н. М. Коробов [5], а более подробно в его монографии [6].

Как указывает Н. М. Коробов, наиболее интересным является случай граничных функций класса, когда они выражаются в элементарных функциях.

В монографии [6] приводится пример граничной функций класса для сеток с неотрицательными тригонометрическими суммами. Функция 0(m1, m2), заданная с помощью равенств 1, если m = 0, 0(m) = (m) = m2, если m = 0, 0(m1, m2) = 0(m1)0(m2), (18) для которой граничная функция e2i(m1x1+m2x2) h(x1, x2) =, (19) 0(m1, m2) m1,m2=имеет простое выражение h(x1, x2) = 9 (1 - 2{x})2. (20) =Таким образом, функция 9C (1 - 2{x})2 является граничной =2 функцией класса E2 C, для любой сетки с неотрицательными тригонометрическими суммами, но как показано в работе [3], нормированные тригонометрические суммы двумерных сеток Смоляка с весами принимают одно из трех значений 0, -1, 1 (см. [3, стр. 120 121]).

2. Оператор взвешенных сеточных средних и разбиение Коробова В работе [2] (см. стр. 194 197) для любой сетки M с весами на пространстве периодических функций E2 определен линейный оператор AM, взвешенных сеточных средних, заданный равенством N g(x) = AM,f(x) = kf[x1 + 1(k), x2 + 2(k)]. (21) N k=Обозначим через AM,C(m) действие линейного оператора AM, на коэффициенты Фурье функции f(x). Приведем без доказательства лемму из работы [2, стр. 194]).

2 Граничные функции класса E2 1, для сеток Смоляка Лемма 1. Для любой периодической функции f(x) из пространства Eи её коэффициентов Фурье C(m) разложения в ряд Фурье f(x) = C(m)e2i(m,x) (22) m1,m2=справедливо равенство SM,(m) AM,C(m) = C(m) = SM,(m)C(m), (23) N где SM,(m) тригонометрическая сумма сетки с весами, а SM,(m) нормированная тригонометрическая сумма сетки с весами.

Кроме того, справедлива тривиальная оценка для нормы образа (M) AM,f(x) f(x). (24) EEN Линейный оператор AM, взвешенных сеточных средних, не увеличивающий норму любой функции, в статье [2] стр. 195 назывался нормальным.

Очевидно, что необходимым и достаточным условием того, что линейный оператор AM, взвешенных сеточных средних не увеличивает норму любой функции, является ограниченность сверху единицей модуля всех нормированных тригонометрических сумм с весами: SM,(m) 1 (m Z2), и, следовательно, оператор сеточных средних по двумерной сетке Смоляка является не увеличивающим норму любой функции.

В работе [2, стр. 206 209]) для любой сетки с весами < M, > определены пять подмножеств фундаментальной решётки Z2:

K0 = {m Z2 | SM,(m) = 0}, (25) K1 = {m Z2 | SM,(m) = |M|}, (26) K2 = {m Z2 | SM,(m) = |M|, |SM,(m)| = |M|}, (27) K3 = {m Z2 | |SM,(m)| < |M|}, (28) K4 = {m Z2 | |SM,(m)| > |M|}. (29) Таким образом, Z2 = K0 K1 K2 K3 K4.

Множества K0, K1, K2, K3 и K4 порождают разбиение пространства 2,Kj периодических функций E2 на подпространства E2 (j = 0, 1, 2, 3, 4), где для произвольного подмножества K Z2,K E2 = f(x) E2 f(x) = C(m)e2i(m,x). (30) mK 20 Н. Н. Добровольский, О. В. Киселева, А. С. Симонов Такое разбиение названо разбиением Коробова, так как оно фактически возникало в его работах, когда он проводил оценки погрешности приближенного интегрирования по различным сеткам и естественным образом область суммирования разбивалась в зависимости от величины тригонометрической суммы сетки.

Из определения множеств K0, K1, K2, K3 и K4 и свойств нормированных тригонометрических сумм двумерных сеток Смоляка следует, что:

2,K• подпространство E2 является ядром линейного оператора AM, взвешенных сеточных средних;

2,K• E2 инвариантное подпространство, то есть все функции из этого подпространства переходят сами в себя под действием оператора AM,;

2,K• E2 подпространство постоянной нормы без неподвижных точек, то есть все функции из этого подпространства сохраняют свою норму под действием оператора AM,;

2,K3 2,K• E2 и E2 пустые подпространства.

Отсюда следует, что каждая периодическая функция f(x) из пространства E2 представима в виде суммы соответствующих компонент из разбиения Коробова:

f(x) = f0(x) + f1(x) + f2(x).

Для любого несмещенного линейного оператора AM, взвешенных сеточных средних имеем 1 1 1 1 1 fj(x)dx = 0 (j = 1), f(x)dx = f1(x)dx. (31) 0 0 0 0 0 Для двумерных сеток Смоляка в силу линейности функционала погрешности приближенного интегрирования имеем равенство RN [f] = RN [f1] + RN [f2], (32) 2,Kтак как на подпространстве E2 этот функционал тождественно равен нулю.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 43 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.