WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 15 | 16 || 18 | 19 |   ...   | 43 |

DУравнение (1.1) в начальный момент времени примет вид d2 P= -. (1.7) dx2 DВ силу начального условия (1.5) левая часть уравнения (1.7) обращается в ноль, следовательно, боковая составляющая силы P2 в начальный момент 164 Е. Д. Комолова, А. А. Маркин нулевая. В тот же момент осевая составляющая силы P1 может принимать произвольные значения. В результате составляющие внешней силы в начальный момент удовлетворяют условиям P2|t=0 = 0, P1|t=0 = -k2D1. (1.8) Примем в качестве параметра t угол поворота сечения k на торце стержня. Таким образом, уравнение (1.6) перепишется в виде:

d2 d0 d0 1 dP+ k2 = -. (1.9) dx2 dk dk D1 dk Уравнение (1.9) представляет собой неоднородное дифференциальное dуравнение второго порядка относительно. Общее решение в данном dk случае запишется в виде:

d0 1 dP= C1 sin(kx1) + C2 cos(kx1) -. (1.10) dk k2D1 dk Константы C1 и C2 определяются из граничных условий стержень жестко закреплен при x1 = 0, то есть угол поворота сечения равен нулю, момент внутренних сил при x1 = L0 равен нулю. Таким образом, d0|x1=0 = 0, D1 = 0, dx1 x1=Lдифференцируем граничные условия по параметру k:

d0 d d= 0, = 0. (1.11) dk x1=0 dx1 dk x1=LПодставляя начальные условия (1.11) в решение (1.10), получим постоянные C1 и C2:

1 dP C2 =, k2D1 dk 1 dP C1 = C2 tg(kL0) = tg(kL0).

k2D1 dk Теперь запишем общее решение для уравнения (1.10), подставляя выражения (1.12) для найденных констант d0 1 dP= (tg(kL0) sin(kx1) + cos(kx1) - 1). (1.13) dk k2D1 dk Из уравнения (1.13) с учетом условия d= 1 (1.14) dk x1=LНачальная стадия равновесного деформирования упругого стержня получим dP2 k2D1 cos(kL0) =. (1.15) dk 1 - cos(kL0) Правая часть выражения (1.15) представляет собой сопротивление (жесткость) стержня воздействию компоненты силы P2. При этом отражается влияние осевой сжимающей силы P1 через соотношение P1 = k2D1.

Из зависимости (1.15) видно, что величина сжимающей компоненты силы P1 существенно влияет на сопротивление воздействия боковой силы.

В частности, если P1|t=0 = 0, то жесткость максимальна и определяется из условия (kL0)k2D1 1 k2D1 cos(kL0) lim - = lim - = (1.16) (kL0)k0 1 - cos(kL0) k1 - 1 (kL0)2k2D1 1 2 D= lim - = 2.

k0 L(kL0)Если выполняется условие cos(kL0) = 0, (1.17) то сопротивление воздействию боковой силы отсутствует, то есть исходное состояние сжатия является неустойчивым. Из условия (1.17) следует спектр значений сжимающих сил, совпадающих с критическими Эйлеровыми значениями [7], D12n P =. (1.18) 4LЗависимость (1.15) не дает ответа на вопрос, существуют ли наряду с прямолинейной другие формы равновесия стержня, бесконечно близкие к прямолинейной и реализуемые при одинаковых с прямолинейной формой значениях осевой силы, приложенной к свободному торцу. Данная задача является классической задачей Эйлера о неединственности (бифуркации) форм равновесия упругого стержня. Для ее решения следует принять скорость боковой составляющей силы в уравнении (1.6) равной нулю. В результате, удовлетворяя граничным условиям (1.11), приходим к задаче на собственные значения C2 = 0, (1.19) C1 cos(kL0) = 0.

166 Е. Д. Комолова, А. А. Маркин Решением задачи (1.19) является тот же самый спектр (1.18) осевых сжимающих сил. Однако в данном случае эти силы следует трактовать как бифуркационные, определяющие неединственность исходного прямолинейного состояния равновесия стержня под действием неизменно ориентированной относительно неподвижных осей координат сжимающей силы. Таким образом, условие устойчивости равновесия сжатого стержня относительно боковых воздействий и условие бифуркации состояния равновесия в данном случае совпадают.

Пусть задан закон внешнего нагружения P1(P2) такой, что в начальный момент осевая сила нулевая P1|P2=0 = 0. Скорость изменения осевой нагрузки представим в виде:

dP1 dP1 dP=. (1.20) dk dP2 dk dP1 dPВ начальный момент, когда dk = 0, из (1.20) получим = m, dk k=0 dk dP1 d20 где m =. Уравнение (1.6) в этом случае принимает вид = -. Его dP2 Ddxрешение, удовлетворяющее граничным условиям (1.11), запишем в виде:

2 0 = L0 - x1 x1. (1.21) D1 На свободном торце, полагая в (1.21) x1 = L0, получаем зависимость dP= 2D1L2. Таким образом, начальная жесткость не зависит от скорости dk dPосевой направляющей в начальный момент.

dk 2. Начальная стадия нагружения следящей силой. Пусть процесс нагружения свободного торца стержня реализуется силой, k направленной противоположно вектору 1 касательному к срединной линии в точке x1 = L0:

P = -P 1. (2.1) В этом случае проекции силы на оси неподвижной системы координат имеют вид:

P1 = -P cos(k), P2 = -P sin(k). (2.2) В отличие от предыдущего раздела компоненты P1 и P2 являются неопределенными при отклонении стержня от исходной прямолинейной формы, так как зависят от неизвестного наперед угла поворота k.

Уравнение равновесия (1.1) при нагрузке (2.2) принимает вид:

dD1 = P sin(k - ). (2.3) dxНачальная стадия равновесного деформирования упругого стержня Дифференцируя (2.3) по временному параметру k, получим условие равновесного протекания процесса нагружения d D1 = P sin(k - ) + P (1 - ) cos(k - ). (2.4) dxВ начальный момент, когда k = 0, (x1) = 0, уравнение (2.4) примет вид:

d + k20 = k2. (2.5) dxРешение уравнения (2.5) имеет вид:

0 = C1 sin(kx1) + C2 cos(kx1). (2.6) Попытаемся удовлетворить граничным условиям (1.11). В результате получаем следящее распределение скорости поворота d 0 = = - (tg(kL0) sin(kx1) + cos(kx1) - 1). (2.7) dk При этом на свободном торце выражение (2.7) удовлетворяет условию (1.14) 1 = - (tg(kL0) sin(kL0) + cos(kL0) - 1). (2.8) Так как из (2.8) следует sin2(kL0) + cos2(kL0) = 0, что невозможно, то решение в виде (2.7) не существует. Это означает отсутствие равновесных состояний стержня, близких к прямолинейным под действием следящей нагрузки. Это вывод не зависит от начальной величины силы P и начальной скорости ее изменения. Сколь угодно малые отклонения от прямолинейной формы в этом случае приводят стержень в динамическое движение.

Таким образом, скоростная форма представления условия равновесного деформирования стержня позволяет рассмотреть начальную стадию процесса при различных законах воздействия силой, прикладываемой к свободному торцу.

Список литературы 1. Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойством максимума или минимума. М.: ГТТИ, 1934. 600 с.

2. Попов Е.П. Теория и расчет гибких упругих стержней. М: Наука, 1986. 296 с.

3. Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов.

Л.: Наука, 1967.

4. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.:

Физматгиз, 1961. 340 с.

168 Е. Д. Комолова, А. А. Маркин 5. Маркин А.А., Христич Д.В. Нелинейная теория упругости. Учебн. пособие.

Тула: ТулГУ, 2007. 92 с.

6. Николаи Е.Л. Труды по механике. М.: Гостехиздат, 1955.

Комолова Елена Дмитриевна (ekomolova@mail.ru), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Маркин Алексей Александрович (markin@tsu.tula.ru), д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Initial stage of the equilibrium deformation of the elastic bar E. D. Komolova, A. A. Markin Abstract. The equilibrium deforming conditions of the elastic bar jammed on a butt under the influence of a force applied on other butt are defined. The equilibrium conditions are supplemented with equation with angle’s of section turn speed and external force. The process is equilibrium if both equations are satisfied. The formula linking force side component’s speed and axial component’s value are received. The conditions of stable equilibrium or unstable equilibrium relatively side forse while process progress in the initial moment follows from this formula. The conditions of speed distribution’s bifurcation concluded independently. Spectrums of critical axial forces corresponding loss of steadiness and bifurcation are aqual. Also it is proved that equilibrium states by action of follower force on a bar’s butt don’t exist.

Keywords: elastic bending, steadiness, elastic deformations, follower force.

Komolova Elena (ekomolova@mail.ru), postgraduate student, department of mathematical modeling, Tula State University.

Markin Alexey (markin@tsu.tula.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of department, department of mathematical modeling, Tula State University.

Поступила 23.06.Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 169–Механика УДК 539.3:534.Дифракция плоской звуковой волны на упругом сфероиде со сферической полостью, расположенной произвольным образом Л. А. Толоконников Аннотация. Получено аналитическое решение задачи дифракции плоской звуковой волны на упругом сфероиде с произвольно расположенной сферической полостью.

Ключевые слова: дифракция, звуковые волны, упругий сфероид, сферическая полость.

Исследованию дифракции плоских звуковых волн на упругих цилиндрических и сферических телах с неконцентрическими полостями той же формы посвящены работы [1, 2]. В настоящей работе находится аналитическое решение задачи дифракции плоской звуковой волны на упругом сфероиде с произвольно расположенной сферической полостью.

Рассмотрим однородный изотропный упругий сфероид, имеющий сферическую полость радиуса R, расположенную произвольным образом.

Полуось вращения сфероида равна a, a вторая полуось b. Будем считать, что окружающая упругий сфероид жидкость является идеальной сжимаемой и имеет в невозмущенном состоянии плотность и скорость звука c.

Пусть из внешнего пространства на сфероид произвольным образом падает плоская монохроматическая звуковая волна с временным множителем e-it, потенциал скоростей которой равен 0 = A0 exp[i(k · r - it)], где A0 амплитуда; k волновой вектор падающей волны; r радиусвектор; круговая частота. В дальнейшем временной множитель e-it будем опускать.

Введем прямоугольные системы координат x1, y1, z1 и x2, y2, z2 с началами в центре упругого сфероида и центре сферической полости так, * Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-97509-р-центра).

170 Л. А. Толоконников чтобы оси z1 и z2 были параллельными и одинаково ориентированными, а ось вращения сфероида располагалась на оси z1.

Свяжем с декартовыми системами координат xj, yj, zj сферические системы координат rj, j, j (j = 1, 2).

Тогда в сферической системе координат r1, 1, k · r = kr1[cos 1 cos 0 + sin 1 sin 0 cos(1 - 0)], где 0 и 0 полярный и азимутальный углы волнового вектора падающей волны k соответственно; k = /c волновое число внешней среды. Без ограничения общности можно положить 0 = 0.

Плоская волна в системе координат r1, 1, 1 может быть представлена разложением [3] n m 0 = njn(kr1)Pn (cos 1)eim1, (1) n=0 m=-n где in m mn = 2 Pn (cos 0);

Nmn m Pn (x) присоединенный многочлен Лежандра степени n порядка m;

2 (n + m)! jn(x) сферическая функция Бесселя порядка n; Nmn = (2n + 1) (n - m)! квадрат нормы присоединенных многочленов Лежандра.

Определим акустическое поле, рассеянное сфероидом, и поле смещений в упругом теле.

В установившемся режиме колебаний потенциал скоростей отраженной от сфероида звуковой волны s является решением уравнения Гельмгольца [4] s + k2s = 0. (2) Потенциал скоростей s должен удовлетворять условиям излучения на бесконечности. Поэтому решение уравнения (2) будем искать в виде n m s = Amnhn(kr1)Pn (cos 1)eim1, (3) n=0 m=-n где hn(x) сферическая функция Ханкеля первого рода порядка n.

Потенциал скоростей полного акустического поля равен = 0 + s. (4) Скорость частиц и акустическое давление во внешней среде определяются соответственно по формулам v = grad; p = i. (5) Дифракция плоской звуковой волны на упругом сфероиде со сферической полостью Распространение упругих волн в упругом сфероиде в установившемся режиме движения описывается скалярным и векторным уравнениями Гельмгольца [4] 1 + kl 1 = 0; (6) + k = 0, (7) где 1 и скалярный и векторный потенциалы смещения; kl = /cl волновое число продольных упругих волн; k = /c волновое число поперечных упругих волн.

При этом вектор смещения u определяется по формуле u = grad1 + rot, div = 0, (8) а скорости продольных и поперечных волн соответственно равны cl = ( + 2µ)/1; c = µ/1, где и µ упругие коэффициенты Ламе; 1 равновесная плотность материала упругого сфероида.

Решение уравнения (6) будем искать в виде n (1) m (2) m 1 = Bmnjn(klr1)Pn (cos 1)eim1 + Bmnhn(klr2)Pn (cos 2)eim2.

n=0 m=-n (9) Представим векторный потенциал смещения в виде [5] = rotrot(rUer) + k rot(rV er), (10) где er орт сферической координатной оси r; U, V некоторые скалярные функции.

В результате вместо векторного уравнения (7) получим два скалярных уравнения Гельмгольца относительно введенных выше скалярных функций U + k U = 0;

V + k V = 0.

Функции U и V будем искать в виде n (1) m U(j) = Cmnjn(k r1)Pn (cos 1)eim1+ n=0 m=-n (2) m +Cmnhn(k r2)Pn (cos 2)eim2 ; (11) n (j) (1) m V = Dmnjn(k r1)Pn (cos 1)eim1+ n=0 m=-n (2) m +Dmnhn(k r2)Pn (cos 2)eim2. (12) 172 Л. А. Толоконников (j) (j) (j) Коэффициенты Amn, Bmn, Cmn, Dmn (j = 1, 2) разложений (3), (9), (11) и (12) подлежат определению из граничных условий.

Уравнение сфероидальной поверхности в сферической системе координат имеет вид r1(1) = a(1 - e sin2 1)-1/2, причем для вытянутого сфероида (a > b) 2 b2 1/e = ; = 1 -, 2 - 1 aа для сплюснутого сфероида (a < b) a2 1/e = 2; = 1 -.

bЗдесь эксцентриситет сфероида.

Граничные условия на поверхности сфероида r1 = r1(1) заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости, равенстве нормального напряжения и акустического давления, отсутствии касательных напряжений:

при r1 = r1(1) -iun = vn; nn = -p; n = 0; n = 0. (13) На границе полости r2 = R должны выполняться граничные условия, заключающиеся в отсутствии нормальных и тангенциальных составляющих тензора напряжений:

при r2 = R rr = 0; r = 0; r = 0. (14) Нормальные компоненты вектора скорости v и вектора смещения u определяются через соответствующие компоненты векторов в сферической системе координат по формулам vn = vr cos + v sin ; un = ur cos + u sin, (15) а нормальные и касательные компоненты тензора напряжений по формулам nn = rr cos2 + 2r sin cos + sin2 ;

n = (-rr + ) sin cos + r(cos2 - sin2 ); (16) n = r cos + sin, где угол между внешней нормалью n к поверхности сфероида и радиусвектором r.

При этом -1/e sin 1 cos 1 cos = 1 +.

1 - e sin2 Дифракция плоской звуковой волны на упругом сфероиде со сферической полостью На основании формул (5), (8) и (10) получим следующие выражения для компонент векторов v и u в сферической системе координат:

vr = ; v = ; (17) r r 1 ur = + k (rV ) + k 2(rV ) ;

r r1 1 k k u = + (rU) + (rV ) ;

Pages:     | 1 |   ...   | 15 | 16 || 18 | 19 |   ...   | 43 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.