WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |   ...   | 43 |

Момент внутренних сил в данном случае был определен в [5] в виде d Mвнутр = D, dxгде D изгибная жесткость, которая определяется в зависимости от выбранной пары энергетически сопряженных тензоров:

для пары R и 1 3G + µ D1R = G h3, 3 6G + µ где G и µ константы Ламе, которые выражаются через модуль Юнга E и коэффициент Пуассона по формулам E E µ =, G = ;

(1 + )(1 - 2) 2(1 + ) для пары T и E T D1 = h3.

Окончательно связь действующей силы и начального параметра запишем следующим образом:

P 4D · =. (3) 0 h0 · L2 (0 cos(0) - sin(0)) Очевидно, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Следовательно, выполняется условие 0 cos(0) - sin(0) = 0, 0 = 0.

Для определения критической силы, необходимой для начала изгиба полосы, вычислим значение силы Р при 0 Нелинейный изгиб полосы с учетом осевого сжатия Pкрит P 2D · 3 4D = lim = lim =.

0 00 0 h0 · L2 (0 cos(0) - sin(0)) h0 · L0 Критическое значение силы, при котором полоса теряет устойчивость, наступает, когда достигается следующее значение действующей силы Pкрит 4D =.

0 h0 · LТакже в [5] было получено выражение для тензора повернутых напряжений R при помощи тензора Генки шар = µшар, д R = 2G · д, где тензор Генки d µ d = ln 1 - x2 e1e1 - ln 1 - x2 e2e2.

dx1 6G + µ dxОкончательно повернутый тензор напряжений запишем в виде 3G + µ d 1 6µG d R = 4G ln 1 - x2 e1e1 + ln 1 - x2 e2e2.

6G + µ dx1 3 6G + µ dx(4) В данной работе рассмотрим влияние напряжений, вызванное действием осевой сжимающей силы на значение критической силы (рис. 2). Кроме того, далее определим предельную силу, при достижении которой в полосе начнутся пластические деформации.

Рис. 2. Общая картина нагружения полосы Добавим к компонентам тензора повернутых напряжений дополнительные напряжения, вызванные сжимающей силой. Так как сила действует вдоль оси Ox1 в отрицательном направлении, то для получения зависимости R(P ) прибавим к первой компоненте тензора силу, отнесенную к начальной площади поперечного сечения 156 Е. Д. Комолова 3G + µ d P R = 4G ln 1 - x2 +. (5) 6G + µ dx1 Таким образом, полностью повернутый тензор напряжений перепишется в виде (рис. 3) 3G + µ d P 2µG d R = 4G ln 1 - x2 + e1e1 + ln 1 - x2 e2e2.

6G + µ dx1 0 6G + µ dx(6) Рис. 3. Распределение напряжений по ширине полосы с учетом действия напряжений, вызванных сжимающей силой Момент внутренних сил в [5] определялся с помощью повернутого тензора напряжений следующим образом:

hxM = R · dx2.

d 1 - x2 dxhСоответственно, на основании формулы (4) запишем зависимость момента внутренних сил от сжимающей силы P h3 d d P Mвнутр = D - + D · h2.

0 12 dx1 dxПоследнее слагаемое можно не учитывать, так как углы поворота в d данной постановке малы, и 0. Окончательно, момент внутренних dxсил с учетом напряжения, вызванным действием сжимающей силы, перепишется в виде P h3 d P Mвнутр = D -.

0 12 dxТаким образом, зависимость силы от начального параметра 0, на основе формулы (2) и для аппроксимации угла поворота (1) перепишется в виде Нелинейный изгиб полосы с учетом осевого сжатия P P 24D=. (7) 0 6h0 · L2 (0 cos(0) - sin(0)) + h0 0 Критическое значение силы, при котором полоса теряет устойчивость, наступает, как и в случае (3), при 0 > P P Pкрит P 24D= lim = lim = 00 0 0 6h0 · L2 (0 cos(0) - sin(0)) + h0 0 24D =.

-6h0 · L2 + h0 Критическое значение силы с учетом действия напряжений от сжимающей силы, при котором полоса теряет устойчивость, наступает, когда достигается следующее значение действующей силы:

P Pкрит 24D =.

0 -6h0 · L2 + h0 После потери устойчивости в полосе начнется изгиб, который приведет к возникновению деформаций. С увеличением изгиба произойдет и увеличение деформаций до выхода в пластическую зону. Наша задача – определить значение предельной сжимающей силы, при достижении которой в полосе начнутся пластические деформации. Критерий пластичности примем в виде R · ·R = s, (8) где s предел текучести.

Подставив в критерий пластичности (8) последовательно выражения для тензора напряжений R (4) или (6), можно вычислить предельный параметр 0 для достижения в полосе пластических деформаций. При этом значения будут определены с учетом и без учета напряжений от сжимающей силы, соответственно. Раскрывая свертку тензоров, получаем 2 11 22 R + R = s.

Для случая без учета напряжений от Pвнеш значение предельного параметра получено следующим образом:

s·(6G+µ) L(4G(3G+µ))2+(2µG)пред = 1 - e. (9) xПодставляя полученное предельное значение 0 в формулу для действующей силы (3), получаем предельно допустимое значение внешней силы, при превышении которого в полосе начнутся пластические деформации 158 Е. Д. Комолова 4D · пред Pпред =, 0 h0 · L2 пред cos(пред) - sin(пред) 0 0 0 где пред вычисляется по формуле (9) Для случая, когда в тензоре напряжений учитывается влияние напряжений, вызванных сжимающей силой, тензор R вычисляется при помощи формулы (6), и предельный параметр получается в виде 2+4 -8G(3G+µ)P + 4µ2G2P (4G(3G+µ))2+4µ2G2 s ( ) L0 ·(6G+µ) (4G(3G+µ))2+(2µG)пред = 1 - e. (10) xНа основе (10) определяется предельная сила, при достижении которой в полосе начнутся пластические деформации с учетом напряжений от сжимающей силы P 24D пред Pпред =, 0 6h0 · L2 пред cos(пред) - sin(пред) + h3 пред 0 0 0 0 0 где пред вычисляется по формуле (10).

Таким образом, были получены интересующие нас значения предельно допустимой силы, при достижении которых деформации полосы выходят в пластическую зону (рис. 4).

Рис. 4. Зависимость действующей силы от параметра 0 и предельно допустимая сила для аппроксимации (1). P, Pпред значения действующей силы от параметра 0 и предельной силы, вычисленные без P P учета сжимающих напряжений; P, Pпред значения действующей силы от параметра 0 и предельной силы, вычисленные с учетом сжимающих напряжений Нелинейный изгиб полосы с учетом осевого сжатия Отметим, что распределение напряжений при данном способе аппроксимации угла поворота (1) не зависит от координаты x1. По длине полосы напряжений будут распределяться однородно вдоль всего сечения.

Рассмотрим распределение R · ·R по ширине полосы (рис. 5).

Рис. 5. Распределение компоненты R · ·R по толщине. R тензор p c напряжений, вычисленный без учета действия сжимающей силы; R, R тензоры напряжений, вычисленные с учетом действия сжимающей силы, h0 hна гранях и - соответственно.

2 Из распределения на рис. 5 следует, что для данного способа аппроксимации угла поворота сечения, если в тензоре напряжений не учитывать напряжений, созданные сжимающей силой, то пластические h0 hдеформации наступают симметрично на и -. В случае же, когда 2 в процессе решения рассматривалось влияние напряжений от действия сжимающей силы, возникновение пластических деформаций на этих hгранях произойдет не одновременно. При сжатии на грани - выход в hпластическую зону произойдет раньше, чем на растягивающейся грани.

Список литературы 1. Маркин А.А., Христич Д.В. Нелинейная теория упругости: учеб. пособие.

Тула: ТулГУ, 2007. 92 с.

2. Христич Д.В., Комолова Е.Д., Екатериничев А.Л. Определение напряженнодеформированного состояния в изгибаемых телах // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2007. Вып 1. С. 98–111.

3. Комолова Е.Д. Модель нелинейного изгиба полосы для различных мер напряжений // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып 1. С. 105–117.

Комолова Елена Дмитриевна (ekomolova@mail.ru), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

160 Е. Д. Комолова Nonlinear bend taking into account the axial compressive force E. D. Komolova Abstract. In this article we consider strip bending for the unlinear theory of elasticity, which was investigated under given approximation of the angle or the the section’s turn. The necessary force for bend’s beginning was determined for different stress measures. The limiting force for plastic deformation’s beginning was also determined.

Keywords: elastic bending, principle of variations, Eiler force, plastic deformations.

Komolova Elena (ekomolova@mail.ru), postgraduate student, department of mathematical modeling, Tula State University.

Поступила 29.05.Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 161–Механика УДК 539.Начальная стадия равновесного деформирования упругого стержня Е. Д. Комолова, А. А. Маркин Аннотация. Формулируются условия равновесного деформирования упругого гибкого стержня, защемленного на одном торце, под действием силы, прикладываемой к другому торцу. Известные условия равновесия дополняются уравнением относительно скоростей углов поворота сечений и внешней силы. Процесс считается равновесным, если оба уравнения удовлетворяются.

Получена формула, связывающая скорость боковой составляющей силы и значение осевой составляющей. Из данной формулы следуют условия устойчивого и неустойчивого относительно побочного воздействия развития процесса в начальный момент. Независимо получены условия бифуркации распределений скоростей. При этом спектры критических осевых сил, соответствующие потере устойчивости и бифуркации, совпадают. Из анализа уравнений в скоростях следует, что равновесные состояния при действии на торец стержня следящей силы не существуют.

Ключевые слова: изгиб, устойчивость, упругие деформации, следящая нагрузка.

Рассматривается начальная стадия процесса равновесного деформирования упругого стержня. Один торец стержня полагаем защемленным, а другой подвергается воздействию внешней силы. В отличии от известной классической постановки данной задачи, приведенной в многочисленных публикациях, начиная с работы Эйлера [1], уравнение нелинейного изгиба [2] дополняется уравнением в скоростях. Под скоростями углов поворота и внешней силы понимаются их производные по монотонно возрастающему параметру. Процесс нагружения считаем равновесным, если наряду с уравнением изгиба относительно перемещений удовлетворяется и уравнение в скоростях. Рассмотрены два случая внешнего нагружения. В первом исследуется связь между скоростями проекций внешней силы на оси неподвижной, декартовой, системы координат. Во втором случае торец * Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 10-01-97500, № 1001-97501-р_центр_а) и АВЦП Развитие научного потенциала высшей школы (проект № 2.1.1/10918).

162 Е. Д. Комолова, А. А. Маркин подвергается воздействию следящей силы. В том и другом случаях стержень в начальном состоянии считается прямолинейным, нагруженным вдоль оси.

Получено выражение, определяющее скорость боковой составляющей внешней силы через начальное значение осевой составляющей. При этом в качестве монотонного параметра принимается угол поворота торцевого сечения. Максимальные значения скорости боковой составляющей достигаются при нулевой осевой нагрузке. Нулевому значению скорости боковой составляющей соответствует Эйлеров спектр осевых нагрузок, что можно трактовать как неустойчивость прямолинейной формы относительно воздействия побочной силой. Отметим, что скорость осевой составляющей силы может быть произвольной в начальный момент.

Если в уравнении в скоростях положить скорость боковой составляющей априори равной нулю, то, удовлетворяя граничным условиям, приходим к классической задаче о бифуркации форм равновесия стержня со свободным торцом, нагруженным осевой силой. Спектр осевых сил, соответствующих формам равновесия стержня отличным от прямолинейных, совпадает в упругом стержне с осевыми силами, приводящими к потере устойчивости относительно побочных воздействий.

Однако следует подчеркнуть, что речь идет о различных постановках задачи. В первом случае об условиях реализации процесса равновесного деформирования. Во втором случае об условиях существования распределений скоростей углов поворотов сечений стержня отличных от нулевых (прямолинейная форма) при неизменных значениях осевой силы и отсутствии боковой составляющей. Таким образом, следует различать задачу устойчивости и бифуркации равновесного деформирования стержня. Установлено существование равновесных распределений скоростей поворотов сечений при соответствующих значениях скоростей боковой составляющей силы.

Показано, что в случае действия следящей силы решение уравнений равновесия в скоростях не существует. В данном случае возможна только прямолинейная форма равновесия, любые отклонения от которой приводят стержень в движение. Рассматривая слегка искривленный стержень (критерий начальных несовершенств) А.Пфлюгер [4] и В.И.Феодосьев [4] сделали вывод, что стержень, сжатый следящей силой, не может потерять устойчивость. Однако из анализа скоростей следует, что в этом случае не может идти речь о переходе к побочным равновесным состояниям, так как их просто не существует. Здесь можно исследовать устойчивость движения стержня при различных величинах следящей нагрузки. Такого рода задачи ставились и решались в монографии В.В.Болотина [5].

1. Начальная стадия нагружения мертвой силой. Рассмотрим процесс деформирования упругого стержня. На один из торцов стержня действует сила, другой конец остается жестко закрепленным. При этом деформацией срединной линии пренебрегаем [6].

Начальная стадия равновесного деформирования упругого стержня Закон изменения угла поворота сечения будем определять из дифференциального уравнения [1] dD1 = P1 sin() - P2 cos(), (1.1) dxгде P1, P2 компоненты силы в неподвижной системе координат с базисом e1, e2; D1 изгибная жесткость; угол поворота сечения.

В неподвижной системе координат компоненты силы P с учетом отрицательного направления осевой составляющей можно записать следующим образом:

e e P = -P1 e1 + P2 e2, (1.2) e e где P1, P2 длины проекций силы P в неподвижной системе координат.

Подставляем выражение для компонент силы (1.2) в закон изменения угла поворота сечения (1.1) dD1 = -P1 sin() + P2 cos(). (1.3) dxС целью исследования условий равновесного течения процесса деформации продифференцируем выражение (1.3) по параметру t d D1 = -1 sin() - P1 cos() + 2 cos() - P2 sin(). (1.4) dxТак как нас интересует начальная стадия деформации, запишем уравнение (1.4) в начальный момент времени. При этом определим начальные условия угол поворота сечения в начальный момент равен нулю, а производная от этого угла отлична от нуля |t=0 = 0, (1.5) |t=0 = 0.

Следовательно, из уравнения (1.4) с учетом условий (1.5) получим d20 + k20 = -, (1.6) dx2 DPгде k2 =.

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |   ...   | 43 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.