WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |   ...   | 43 |

x = Rer + (z0 + zR) ez0. (2.3) Из найденного представления радиус-вектора точек цилиндра в деформированном состоянии можно найти различные меры описания деформированного состояния сплошной среды, такие как аффинор 144 В. В. Козлов деформации, мера Коши–Грина G, левый тензор Генки, тензор поворота R и другие. Аффинор деформации представляется разложением [2] = x = U · R, (2.4) где U левая мера искажения; R тензор поворота. Для закона движения сплошной среды (2.3), тензор представим в виде = eRer + RReRe + zReRez + ee + ez0ez. (2.5) Введем безразмерную переменную = r/R1 = R/R1, которую и будем рассматривать как аргумент обобщенных перемещений. Тогда внешний радиус цилиндра будем обозначать как R1 = R1/R1 = 1, а внутренний R2 = R2/R1.

Найдем полярное разложение аффинора деформации (2.4).

Для этого определим левую меру Коши–Грина G = · T = (1 + zR2 + (R)2)eReR + zR (eRez0 + ez0eR) + +R (eRe + eeR) + ee + ez0ez0. (2.6) Представим меру Коши-Грина в виде G = Gijeiej, где e1 = eR, e2 = e, e3 = = ez0. Запишем компоненты меры Коши-Грина в виде матрицы 1 + zR2 + (R)2 R zR Gij =.

R 1 zR 0 Собственные значения меры G найдём из уравнения |Gij - Gij| = 0:

2 + a ± a2 + 4a G =, G = 1, (2.7) ij где a = zR2 + (R)2. Проводя стандартную процедуру определения собственных векторов тензора G по известным собственным значениям, получим a1,2 = (b1,2eR + Re + zRez0), (2.8) a2 + 4a ± a a2 + 4a a± a2+4a где b1,2 = ;

zRe - Reza3 =. (2.9) a Задача о комбинированном сдвиге нелинейно-упругого полого цилиндра Таким образом, левый тензор Коши–Грина представляется в виде G = 2a1a1 + 2a2a2 + a3a3. (2.10) 1 Тогда левую меру искажения, исходя из соотношения [2] G = U2, можно записать как U = 1a1a1 + 2a2a2 + a3a3. (2.11) Представление левой меры искажения можно упростить для данной задачи, так как собственные значения меры Коши–Грина можно преобразовать к виду a + 4 ± a = 2 (2.12) 1, a + 4 + a a + 4 - a = U = a1a1 + a2a2 + a3a3. (2.13) 2 Отметим здесь, что произведение найденных собственных значений левой меры искажения равно единице, что говорит о несжимаемости рассматриваемого материала.

После подстановки в выражение (2.13) формул (2.8), (2.9) можно представить левую меру искажения в виде U = [(a + 2)eReR + R(eRe + eeR) + zR(eRez0 + ez0eR)] + a + + (R)2ee + zR2ez0ez0 + RzR(eez0 + ez0e) + (2.14) a a + (R)2ez0ez0 + zR2ee - RzR(eez0 + ez0e) + ).

a Тензор поворота находим из выражения R = U-1 ·, (2.15) где U-1 удобно выразить из преобразования представления левой меры искажения в главных осях U-1 = -1a1a1 + -1a2a2 + a3a3. (2.16) 1 Для удобства интерпретации тензора поворота представим его в виде R = Rijeiej, и выпишем матрицу Rij. Причем первый вектор диады представляет базисный вектор неподвижной системы координат (eR, e, ez0), 146 В. В. Козлов а второй вектор диады –– базисный вектор подвижной системы координат (er, e, ez):

a2 + 2a (a2 + 3a)R (a2 + 3a)zR (a + 2) aR (a + 2)(R)2 (a + 2)RzR azR (a + 2)RzR zR Rij = + a (a + 1)R (a + 1)zR 2a a + -(a2 + 4a) R (R)2 RzR zR RzR zR 0 0 + 0 zR2 -RzR. (2.17) a 0 -RzR (R)Левый тензор Генки определяется выражением = ln(1)a1a1 + ln(2)a2a2. (2.18) 2. Постановка задачи комбинированного сдвига Запишем уравнение состояния несжимаемого материала в виде [1] R = 2G, (3.1) где R - девиатор повернутого обобщенного тензора Коши, R девиатор тензора деформации Генки, G - модуль сдвига.

Представим тензор истинных напряжений Коши S и в виде суммы R шаровой и девиаторной составляющих S = S + 0E, = R + 0E, где S R девиатор тензора напряжений Коши, 0 - гидростатическое напряжение, E - единичный тензор. Используя равенство S = R-1 · · R, из выражения R (3.1) получим S = R-1 · · R = 2GR-1 · R · R + 0E. (3.2) R Таким образом, мы можем определить конкретный вид девиатора тензора истинных напряжений Коши по найденным мерам деформированного состояния, однако ввиду громоздкости компоненты S не приводятся.

Вводятся безразмерный девиатор тензора истинных напряжений Коши S/2G и безразмерное гидростатическое напряжение 0/2G. Далее для них будем использовать обозначения S и 0 соответственно.

Запишем уравнение равновесия из [2] в виде · S = 0 (3.3) Задача о комбинированном сдвиге нелинейно-упругого полого цилиндра где = i xi = 1 R + 2 + 3 z0, i векторы взаимного материального базиса, которые определяются из закона движения сплошной среды (2.3):

1 = er, 2 = e/R - Rer, 3 = ez0 - zRer. (3.4) Следует отметить, что безразмерные компоненты девиатора напряжений (3.2) в силу (2.1) зависят только от безразмерной переменной. Учитывая это и соотношения (3.3), (3.4), уравнения равновесия в безразмерных переменных в координатной форме запишем в виде системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений:

dsrr srr - s + = 0, (3.5) d dsr 2sr + = 0, (3.6) d dsrz srz + = 0. (3.7) d Сформулируем далее для данной задачи следующие условия:

а) начальные условия в начальном состоянии напряжения отсутствуют:

S|R=0,zR=0 = 0; (3.8) б) граничные условия в перемещениях на внутреннем радиусе перемещения нулевые, а на внешнем достигается осевое смещение hz и поворот внешней обоймы на угол :

R|=R2 = 0, R|=R1 =, (3.9) zR|=R2 = 0, zR|=R1 = hz. (3.10) Система уравнений (3.2), (3.5) (3.10) представляют замкнутую постановку задачи о комбинированном сдвиге.

Таким образом, задача свелась к системе трех обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций (), z() и 0().

Однако из полученных соотношений следует, что для определения функций () и z() достаточно рассмотреть краевую задачу из уравнений (3.6)–(3.7) с краевыми условиями (3.9)–(3.10).

После определения функций обобщенных перемещений гидростатическое напряжение 0() находим из уравнения (3.5) с использованием начального условия (3.8).

3. Решение линеаризованной задачи Следует отметить, что поставленная задача (3.2), (3.5)–(3.10) весьма сложна в силу нелинейности компонент девиатора тензора напряжений Коши. Поэтому опишем для начала решение соответствующей 148 В. В. Козлов линеаризованной задачи, рассматривая при этом только лишь нахождение обобщенных перемещений как необходимых и достаточных для определения силы F и момента M. Отметим сразу, что для линеаризованной задачи было получено аналитическое решение, что не представляется возможным сделать для исходной нелинейной задачи.

Линеаризовав компоненты тензора истинных напряжений Коши относительно функций R() и zR(), получим R zR S = (ere + eer) + (erez + ezer). (4.1) lin 2 Таким образом, имеем краевую задачу для определения функций сдвига (3.6)–(3.7) с дополнительными условиями (3.9)–(3.10), при этом компоненты тензора истинных напряжений Коши возьмём из (4.1). Решение полученной задачи представляется в виде, где R2 R1 = 1:

RR() = - 1, (4.2) R2 - ln zR() = hz 1 -. (4.3) ln R4. Решение нелинейной задачи. Результаты Второе и третье уравнения системы (3.6), (3.7) можно разрешить относительно компонент sr, srz csr =, (5.1) csrz =, где c1, c2 произвольные постоянные.

Тогда систему (5.1) представим в виде csr(R, zR, ) - = 0, (5.2) csrz(R, zR, ) - = 0.

Параметры c1, c2 на этапе построения решения удобнее определить исходя из механических воздействий на внешнюю обойму цилиндра осевой силой F и крутящим моментом M.

Учитывая осесимметричность задачи и независимость от координаты z мер напряженно-деформированного состояния, формулы вычисления силы F и момента M в безразмерных координатах, приходящихся на единицу высоты цилиндра (в качестве таковой возьмем значение R1), сводятся к соотношениям 2 F = 2R1srz(R1), M = 2R1sr(R1). (5.3) Задача о комбинированном сдвиге нелинейно-упругого полого цилиндра Связывая формулы (5.2) и (5.3), приходим к следующим выражения констант c1, c2:

c1 = M/(2R1), c2 = F/(2R1). (5.4) Будем решать систему (5.2) относительно производных от функций обобщенных перемещений R, zR, которая при таком подходе преобразуется в систему двух нелинейных уравнений относительно функций R, zR.

Параметры c1, c2 выберем соответствующими заданным внешним нагрузкам F, M. Далее по известным производным R, zR, учитывая условия (3.9)–(3.10) на внутреннем радиусе цилиндра, восстановим сами функции обобщенных перемещений.

Процесс нахождения функций обобщенных перемещений реализован в математическом пакете MatLab. Суть метода нахождения решения заключается в том, что исходя из естественных физических ограничений на производные R, zR определяется область поиска решения. Пусть данная область задается соотношениями aR R bR, (5.5) azR zR bzR.

Далее в этой области производным R, zR придаются различные значения с соответствующими шагами hR, hzR, которые подставляются в систему (5.2).

Если данная система удовлетворяется с некоторой точностью, то выбранные значения R, zR принимаются в качестве решения.

Непосредственной проверкой установлено, что в результате такого подхода в области (5.5) решение системы (5.2) единственное.

Используя упомянутый программный комплекс, по известной траектории нагружения (зависимостям F = F (t), M = M(t), где t некоторый параметр), были получены значения обобщенных перемещений внешней обоймы (M, F ), h(M, F ), где поворот внешней обоймы; h смещение внешней обоймы относительно оси Oz.

В качестве примера приведем графики зависимостей траекторий нагружения от траекторий перемещения внешней обоймы (рис. 1–4).

Рис. 1. Зависимость траектории нагружения от траектории перемещения внешней обоймы при M(t) = t, F (t) = 0, t [0, 1.4], R2 = 0.6, R1 = 150 В. В. Козлов Рис. 2. Зависимость траектории нагружения от траектории перемещения внешней обоймы при M(t) = 0, F (t) = t, t [0, 1.3], R2 = 0.6, R1 = Рис. 3. Зависимость траектории нагружения от траектории перемещения внешней обоймы при M(t) = t, F (t) = t, t [0, 0.9], R2 = 0.6, R1 = Рис. 4. Зависимость траектории нагружения от траектории перемещения внешней обоймы при M(t) = t, F (t) = t, t [0, 0.9], R2 = 0.6, R1 = Эти зависимости близки к линейным.

Список литературы 1. Маркин А.А. Нелинейная теория упругости: учеб. пособие. Тула: ТулГУ, 2000.

72 с.

2. Маркин А.А., Сотников К.Ю. Механика сплошной среды: учеб. пособие. Тула:

ТулГУ, 2003. 132 с.

Козлов Виктор Вячеславович (kvwmmf12@tula.net), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Задача о комбинированном сдвиге нелинейно-упругого полого цилиндра The problem of the combined shear of a hollow nonlinearly elastic cylinder V. V. Kozlov Abstract. The problem of the combined shear of the incompressible, nonlinearelastic hollow cylinder is considered. Analytic shows for the components of the left measure of distortion and turn tensor, expressed in terms of generalized displacement, are given. From the equilibrium conditions and constitutive relation follow the system of the three usual differential equations relation to generalized displacement and hydrostatical component of the stress tensor. Solution of the present system is given.

Keywords: hollow cylinder, combined shear, nonlinear elasticity.

Kozlov Victor (kvwmmf12@tula.net), postgraduate student, department of mathematical modeling, Tula State University.

Поступила 11.05.Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 152–Механика УДК 539.Нелинейный изгиб полосы с учетом осевого сжатия Е. Д. Комолова Аннотация. Рассматривается изгиб полосы в рамках нелинейной теории упругости, который исследуется при заданной аппроксимации угла поворота сечения. Для различных мер напряжений определяется критическая сила, необходимая для начала изгиба полосы. В закритической стадии получены зависимости характеристик напряженного состояния от величины сжимающей силы и угла поворота поперечного сечения. Определена предельная сила для начала пластических деформаций.

Ключевые слова: изгиб, вариационный принцип Лагранжа, пластические деформации.

Разрушение поверхностных слоев материала под влиянием внешнего воздействия электрических разрядов называется электрической эрозией.

На этом явлении основан принцип электроэрозионной обработки. Этот метод является одним из самых перспективных для задач, связанных с обработкой микрообъектов, размеры которых составляют несколько десятков микрометров. Модель изгиба электрода-инструмента в процессе электроэрозионной обработки и разобрана в данной работе.

Рассмотрим полосу в форме прямоугольного параллелепипеда в начальном состоянии, моделирующую электрод-инструмент. Предполагаем, что решаем задачу об упругой полосе в рамках нелинейной теории упругости.

Процесс деформирования считаем квазистатическим, поэтому массовыми силами пренебрегаем.

Полоса нагружена сжимающей боковой силой, действующей на боковую грань x1 = L0. Для остальной поверхности полосы заданы перемещения ее точек U.

Область, занимаемая полосой (рис. 1), задается следующими выражениями:

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 10-01-97501р_центр_а).

Нелинейный изгиб полосы с учетом осевого сжатия h0 h0 0 - x2, 0 x1 L0, - x2.

2 2 2 Рис. 1. Область, занимаемая полосой Будем считать, что исследуемые характеристики не зависят от координаты x3. Кроме того, рассматриваем плоско-напряженное состояние стержня.

Полоса в виде параллелепипеда имеет ось симметрии Ох1х2, поэтому будем записывать уравнения только для срединной плоскости, так как, зная деформации, перемещения и напряжения в срединной плоскости, можем найти эти характеристики для любого сечения [1].

Для получения закона движения точек срединной плоскости используем гипотезу Кирхгофа–Лява (перпендикулярные волокна материального базиса остаются перпендикулярными в процессе деформации [1]).

Ранее в работах [4], [5] была получена математическая постановка задачи о нелинейном изгибе полосы для упругих деформаций. Для решения поставленной задачи был выбран вариационный принцип Лагранжа. С его помощью можно составить вариационное уравнение для поиска неизвестных величин, учесть граничные условия наиболее естественным образом, то есть, не вводя дополнительных уравнений. В данном случае варьировался угол поворота сечения 0. Кроме того, была введена аппроксимация этого угла в виде (х1) = x1 - 0, (1) Lгде 0 некоторый параметр.

В работе [5] на основе вариационного уравнения, записанного для данного способа аппроксимации угла поперечного сечения, была получена зависимость действующей силы от параметра 0.

Вариационное уравнение в данной постановке свелось к следующему выражению:

154 Е. Д. Комолова P 0 cos(0) - sin(0) 2Mвнутр = h0 · L0.

0 Отсюда легко выразить зависимость силы от параметра угла поворота сечения 2Mвнутр · P =, (2) 0 h0 · L0 (0 cos(0) - sin(0)) где Mвнутр момент внутренних сил; P действующая сила; начальная площадь поперечного сечения.

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |   ...   | 43 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.