WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 43 |

Отметим, что в условиях леммы 2 билинейные формы в (10) конечны для модулей функций, например, 1/p 1-1/p (|f|, |g|) f g g g f.

p, p, p, 1, 1, Обозначим A(R) = {f L1,(R) : f L1,(R)}. (14) Отметим некоторые свойства оператора обобщенного сдвига (1) (см. [1]):

t если f(x) 0, то T f(x) 0; (15) t t T j(xy) = j(ty)j(xy), T j(xy) = j(ty)j(xy), t t T e(xy) = j(ty)e(xy), T 1 = 1; (16) t t если f, g L2,(R), то (T f, g) = (f, T y); (17) t если f L1,(R), то T f(x)dµ(x) = f(x)dµ(x); (18) R R для норм по переменным x и t справедлива оценка t T f(x) f. (19) p, p, Далее определим свертку функции g и четной функции f y (g f)(x) = T g(x)f(y)dµ(y). (20) R Отметим, что эта свертка не является коммутативной.

Оценка констант Джексона в пространствах Lp, 1 p < 2 на прямой с весом Для свертки справедлив следующий аналог неравенства Юнга.

1 1 Лемма 3. Пусть 1 p, 1 q, = + - 1 0. Тогда g r p q f Lr,(R) и g f g f (21) r, p, q, для любых g Lp,(R) и f Lq,(R).

Доказательство. Проводится стандартно. В силу (19), неравенства Минковского 1/p y g f |f(y)| |T g(x)|p dµ(x) dµ(y) g f.

p, p, 1, R R Применяя неравенство Гельдера и (19), получим 1 g f g f, + = 1.

, p, p, p p Поэтому для оператора Lf = g f справедливы оценки норм L g, L g.

1p p, p p, По интерполяционной теореме Рисса-Торина [15] L g.

qr p, Последнее неравенство эквивалентно (21). Лемма 3 доказана.

Введем обозначения для преобразования F (7) F (f)(t) = a(f)(t) + b(f)(t), (22) где a(f)(t) = f(x)j(xt)dµ(x), b(f)(t) = - f(x)j(xt)dµ(x).

R R Преобразование a(f) действует в подпространстве четных функций, а b(f) нечетных функций.

По лемме 1 для f L2,(R), a(f) L2,(R), b(f) L2,(R) и для четной и нечетной составляющих f fe(x) = a(f)(t)j(xt)dµ(t), fo(x) = - b(f)(t)j(xt)dµ(t). (23) R R Известно [14], что если f, f L1,(R), то f(x) = f(t)e(xt)dµ(t), R поэтому (23) верно, если f, F (f) L1,(R).

100 Д. В. Чертова y Лемма 4. Если g Lp,(R), 1 p 2, f(y) = T g(x), то для всех x F (f)(t) = a(g)(t)j(xt) - b(g)(t)j(xt). (24) Доказательство. Вначале предположим, что g Lp,(R) L2,(R).

Тогда по лемме g(x) = F (g)(t) (j(xt) - j(xt)) dµ(t).

R t В силу непрерывности оператора T в пространстве L2,(R) и (16) y y f(y) = T g(x) = F (g)(t)T (j(xt) - j(xt)) dµ(t) = R = F (g)(t)j(yt) (j(xt) - j(xt)) dµ(t) = R = (a(g)(t)j(xt) - b(g)(t)j(xt)) j(yt)dµ(t).

R Поэтому F (f)(t) = a(f)(t) = a(g)(t)j(xt) - b(g)(t)j(xt).

Таким образом, (24) верно для g Lp,(R) L2,(R).

Остается заметить, что Lp,(R) L2,(R) плотно в Lp,(R) и в силу (13), (19), (22) F (f) 2 g, a(g) g, b(g) g.

p, p, p, p, p, p, Лемма 4 доказана.

Лемма 5. Если g Lp,(R), 1 p 2, f A(R) (14), f четная, то g f Lp,(R) и (g f)(x) = (a(g)(t)j(xt) - b(g)(t)j(xt)) a(f)(t)dµ(t), (25) R F (g f)(t) = F (g)(t)F (f)(t) = = (a(g)(t) + b(g)(t)) a(f)(t) L1,(R) Lp,(R). (26) Доказательство. Равенство (25) вытекает из (20), лемм 2 и 4.

Принадлежность (g f) Lp,(R) вытекает из неравенства Юнга (лемма 3) при q = 1. Если g L1,(R), то a(g)a(f), b(g)a(f), (g f) L1,(R) и a(g)(t)a(f)(t) = (g f)(x)j(xt)dµ(x) L1,(R), R Оценка констант Джексона в пространствах Lp, 1 p < 2 на прямой с весом b(g)(t)a(f)(t) = - (g f)(x)j(xt)dµ(x) L1,(R), R поэтому F (g f) L 1,(R) и равенство (26) выполняется. Если g Lp,(R), gn L1,(R) Lp,(R) и g - gn 0 (n ), 1 < p 2, то p, из (11) и (21) F (g f) - F (g)F (f) F ((g - gn) f) + p, p, + F (g - gn) F (f) F (g - gn) f + F (f) p,, p, 1,, 2 f g - gn 0 (n ).

1, p Поэтому (26) выполняется для почти всех t. Остается заметить, что из (26) F (g f) F (g) F (f) g f, 1, p, p, p, p, F (g f) F (g) F (f) g f.

p, p,, p, 1, Лемма 5 доказана.

2. Доказательство теоремы Рассмотрим следующую конструкцию. Пусть f действительная, четная функция, f A(R). Положим f(x, y) = a(f)(t) (j(xt)j(yt) + j(xt)j(yt)) dµ(t). (27) R Лемма 6. Для функции f(x, y) (27) выполнены следующие свойства:

f(x, y) A(R) по x и по y, f(x, y) Cb(R2); (28) для любой g Lp,(R), 1 p g(y)f(x, y)dµ(y) = a(f)(t) (a(g)(t)j(xt) - b(g)(t)j(xt)) dµ(t) = R R y = T g(x)f(y)dµ(y) = (g f)(x); (29) R f(x, 0) = f(x). (30) Доказательство. Покажем, что f(x, y) A(R) по x. Для четной функции a(f) = F (f) = f. Так как f, f L1,(R), то для всех x f(x) = a(f)(t)j(xt)dµ(t).

R 102 Д. В. Чертова Из непрерывности оператора обобщенного сдвига в L1,(R) (19) y T f(x) = a(f)(t)j(xt)j(yt)dµ(t) L1,(R).

R Функцию f(x) можно записать f(x) = a(f)(t)e(xt)dµ(t).

R В пространстве L1,(R) действует линейный непрерывный оператор обобщенного сдвига y (см. [1, 13]), для которого yf(x) = f(t)e(yt)e(xt)dµ(t), R если f, f L1,(R), поэтому Re yf(x) = Re a(f)(t)e(xt))e(yt)dµ(t) = R a(f)(t) (j(xt)j(yt) - j(xt)j(yt)) dµ(t) L1,(R) R и y f(x, y) = 2T f(x) - Re yf(x) L1,(R) по переменной x. Для нее Fx(f)(t) = a(f)(t) (j(yt) - j(yt)) L1,(R).

Итак, свойство (28) доказано.

Свойство (29) вытекает из лемм 2 и 5. Свойство (30) получается прямой подстановкой y = 0 в (27). Лемма 6 доказана.

Симметричную непрерывную функцию f(x, y) (f(x, y) = f(y, x)) назовем положительно определенной на R2, если для любой g L1,(R) f(x, y)g(x)g(y)dµ(x)dµ(y) 0. (31) R R Лемма 7. Если f(x) четная, неотрицательная функция, a(f)(t) 0, f A(R), то для функции F (x, y) (27) выполнены следующие свойства f(x, y) 0 на R2; (32) f(x, y) положительно определенная на R2. (33) Оценка констант Джексона в пространствах Lp, 1 p < 2 на прямой с весом Доказательство. Для любой неотрицательной функции g L1,(R) согласно (29) и (15) для всех x Ry g(y)f(x, y)dµ(y) = T g(y)f(y)dµ(y) 0. (34) R R Если предположить, что f(x0, y0) < 0, то в силу непрерывности f(x, y) в некоторой окрестности U(x0, y0) будет f(x, y) -, > 0, поэтому для характеристической функции (y) отрезка U(x0, y0) и (x, y) U(x0, y0), y будет (y)f(x, y)dµ(y) = f(x, y)dµ(y) - dµ < 0, R что противоречит (34). Свойство (32) выполнено.

Далее для любой функции g L1,(R) согласно (29), леммам 2, f(x, y)g(x)g(y)dµ(x)dµ(y) = R R = a(f)(t) |a(g)(t)|2 + |b(g)(t)|2 dµ(t) 0.

R Свойство (33) и лемма 7 доказаны.

Пусть R = t/R. В [3] предложена четная функция j(Rx) K(x) = c,R, (35) (t2 - (Rx)2) для которой ( )(t) a(K)(t) = F (K)(t) =, ( )(0) где j(Rt), |t| R, (t) = 0, |t| > R.

Для нее выполнены следующие свойства:

1) K неотрицательная четная целая функция экспоненциального типа 2R, Kdµ = 1, K A(R); (36) R 2) a(K) неотрицательная четная функция, supp a(K) [-2R, 2R], a(K)(0) = 1, (37) 104 Д. В. Чертова j(Rt) a(K)(t), t R. (38) t 1 R Применяя конструкцию (27), рассмотрим на R2 функцию K(x, y) = a(K)(t) (j(xt)j(yt) + j(xt)j(yt)) dµ(t). (39) R По леммам 6, 7, (36) она неотрицательная, положительно определенная на R2 и принадлежит A(R) по x и по y.

Рассмотрим линейный положительный интегральный оператор Af(x) = f(y)K(x, y)dµ(y). (40) R Согласно леммам 3, 6, (36) оператор Af(x) = (f K)(x) и действует из Lp,(R) в Lp,(R), 1 p 2. Согласно (37), леммам 5, 6 Af(x) целая 2R функция экспоненциального типа 2R и Af Ep,.

Для оператора A с неотрицательным, положительно определенным ядром справедлива следующая оценка (см. [7–9]).

Лемма 8. Если > -1/2, 1 p < 2, то для любой функции f Lp,(R) и оператора A (40) E2R(f)p, f - Af p, 1/p 21/p-1 |f(x) - f(y)|pK(x, y)dµ(x)dµ(y).

R R Пусть j(Rx), |x| R, v(x) = 0, |x| R, R h(x) = T v(x), h(x) G(x) = = a(G)(t)j(xt)dµ(t). (41) hdµ R R А.Г. Бабенко [10] и А.В. Московским [3] доказано, что G(x) 0 (x R), supp G [-2R, 2R], (42) j(Rt) a(G)(t) = L1,(R).

t 1 R Отсюда G A(R) и из (38) a(K)(t) a(G)(t), t R, a(G)(0) = 1.

Оценка констант Джексона в пространствах Lp, 1 p < 2 на прямой с весом Пусть G(x, y) = a(G)(t) (j(xt)j(yt) + j(xt)j(yt)) dµ(t). (43) R Так как K(x) - G(x) A(R), a(K)(t) - a(G)(t) 0, a(K)(0) - a(G)(0) = = 0, то из леммы 7 функция M(x, y) = K(x, y) - G(x, y) симметричная, положительно определенная и M(x, y)dµ(y) = 0 для всех x.

R В [7–9] установлено, что для симметричной, положительно определенной функции M(x, y), для которой M(x, y)dµ(y) = 0 для всех x, и R произвольной функции f Lp,(R), 1 p < |f(x) - f(y)|p M(x, y)dµ(x)dµ(y) 0.

R R Таким образом, справедлива следующая лемма.

Лемма 9. Если > -1/2, 1 p < 2, то для любой функции f Lp,(R) и функций K(x, y) (39), G(x, y) (43) |f(x) - f(y)|p K(x, y)dµ(x)dµ(y) R R |f(x) - f(y)|p G(x, y)dµ(x)dµ(y).

R R Лемма 10. Если > -1/2, 1 p < 2, то для любой функции f Lp,(R) и функций G(x) (41), G(x, y) (43) |f(x) - f(y)|p G(x, y)dµ(x)dµ(y) = R R = p(y, f)p,G(y)dµ(y). (44) R Доказательство. Пусть 1/p l1(f) = |f(x) - f(y)|p G(x, y)dµ(x)dµ(y), R R 1/p l2(f) = p(y, f)p,G(y)dµ(y).

R 106 Д. В. Чертова Так как G(x, y) 0, то l1(f1 + f2) l1(f1) + l2(f2).

Аналогично, из неотрицательности G(y) и из (2) l2(f1 + f2) l2(f1) + l2(f2).

Так как для всех y G(x, y)dµ(x) = 1, то R 1/p l1(f) |f(x)|p G(x, y)dµ(x)dµ(y) + R R 1/p + |f(y)|p G(x, y)dµ(x)dµ(y) = 2 f.

p, R R Применяя неравенство |f(t) - f(x)|p 2p-1 (|f(t)|p + |f(x)|p), (15), (16), (18), получим y (Tty|f(t) - f(x)|p)|t=x 2p-1 (T |f(x)|p + |f(x)|p), y p(y, f)p, 2p-1 T |f(x)|pdµ(x) + |f(x)|pdµ(x) = R R = 2p f p p, и l2(f) 2p f.

p, Приведенные рассуждения показывают, что (44) достаточно доказать для функций из множества, плотного в Lp,(R), например, для кусочнопостоянных функций.

Пусть e1,..., eN-1 измеримые ограниченные непересекающиеся в R множества, N-eN = R\ ei, c1,..., cN-1 C, cN = 0, i=f(x) = ci, x ei, i = 1,..., N, ei характеристические функции множеств ei.

Оценка констант Джексона в пространствах Lp, 1 p < 2 на прямой с весом Имеем N |f(x) - f(y)|p = |ci - cj|p ei(x)ej (y) = i,j=N-1 N-= |ci - cj|p ei(x)ej (y) + |ci|p ei(x)eN (y)+ i,j=1 i=N-+ |cj|p eN (x)ej(y) = j=N-= (|ci - cj|p - 2 |ci|p) ei(x)ej(y) + |f(x)|p + |f(y)|p.

i,j=Здесь мы воспользовались тем, что N-1 N-eN (x) = 1 - ei(x), |ci|pei(x) = |f(x)|p.

i=1 i=Согласно (29), (41) N-p l1(f) = (|ci - cj|p - 2 |ci|p) ei(x)ej(y)G(x, y)dµ(x)dµ(y)+ i=R R + |f(x)|pG(x, y)dµ(x)dµ(y) + |f(y)|pG(x, y)dµ(x)dµ(y) = R R R R N-p y = (|ci - cj|p - 2 |ci|p) G(y) ei(x)T ej(x)dµ(x)dµ(y) + 2 f.

p, i=R R Согласно (16), (18) (Tty |f(t) - f(x)|p)|t=x = N-y y = (|ci - cj|p - 2 |ci|p) ei(x)T ej (x) + T |f(x)|p + |f(x)|p, i=N-y p(y, f)p, = (|ci - cj|p - 2 |ci|p) ei(x)T ej (x)dµ(x) + 2 f p p, i=R и N-p p y l2(x)= (|ci-cj|p -2 |ci|p) G(y) ei(x)T ej (x)dµ(x)dµ(y)+2 f.

p, i,j=R R 108 Д. В. Чертова Таким образом, l1(f) = l2(f). Лемма 10 доказана.

Согласно леммам 8–10, (42) для произвольной функции f Lp,(R), p < 2 имеем цепочку неравенств:

p p E2R(f)p, f - A p, 21-p |f(x) - f(y)|pK(x, y)dµ(x)dµ(y) R R 21-p |f(x) - f(y)|pG(x, y)dµ(x)dµ(y) = R R 2R = 21-p p(y, f))p,G(y)dµ(y) 21-pp(2R, f)p,.

-2R Теорема полностью доказана.

Список литературы 1. Чертова Д.В. Теоремы Джексона в пространстве L2(R) со степенным весом // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып.3. С.100–116.

2. Виноградов О.Л. О константе в неравенстве Джексона для пространства // Вестник СПбГУ. Сер.1. 1994. Вып.3. С.15–22.

3. Московский А.В. Теоремы Джексона в пространствах Lp(Rn) и Lp,(R+) // Изв.

ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1998. Т.4. Вып.1. С.44–70.

4. Иванов В.И. О приближении функций в пространствах Lp // Матем. заметки.

1994. Т.56, №2. С.15–40.

5. Иванов В.И., Смирнов О.И. Константы Джексона и константы Юнга в пространствах Lp. Тула: ТулГУ, 2010. 174 с.

6. Черных Н.И. Неравенство Джексона в Lp(0, 2) (1 p < 2) с точной константой // Труды МИРАН. 1992. Т.198. С.232–241.

7. Горбачев Д.В. Точное неравенство Джексона в пространстве Lp на сфере // Матем. заметки. 1999. Т.66, №1. С.50–62.

8. Горбачев Д.В. Избранные задачи теории функций и теории приближений и их приложений. Тула: Гриф и К, 2005. 192 с.

9. Горбачев Д.В. Экстремальные задачи теории функций и теории приближений и их приложения: дис.... д-ра физ.-мат. наук. Тула. 2006. 200 с.

10. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве L2(Rm) // Труды ИММ УрО РАН. 1998. Т.5. С.183–198.

11. Chertova D.V. Jackson theorems in Lp-spaces, 1 p 2 on the line with power weight // Труды Международной летней математической школы С.Б. Стечкина по теории функций. Тула: ТулГУ, 2007. С.160–161.

12. Dunkl C.F. Differential difference operators associated to reflection groups // Trans.

Amer. Math. Soc. 1989. V.311. P.167–183.

13. Rsler M. Dunkl operators: Theory and applications // Lecture Notes in Math.

2002. V.1817. P.93–135.

14. de Jeu M. The Dunkl transform // Invent. Math. 1993. V.113, № 1. P.147–162.

Оценка констант Джексона в пространствах Lp, 1 p < 2 на прямой с весом 15. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т.2. М.: Мир, 1965. 538 c.

16. Эдвардс Р. Ряды Фурье в современном изложении. Т.2. М.: Мир, 1985. 400 с.

Чертова Дарья Вячеславовна (dasha@lim.ru), аспирант, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Upper estimation of Jackson constants in Lp-spaces on the straight line with power weight D. V. Chertova Abstract. In Lp-spaces, 1 p < 2 on the straight line with power weight |x|2+1, > -1/2 Jackson inequality is proved with the same constant as in without the weight case ( = -1/2).

Keywords: straight line, power weight, Lp-spaces, entire functions, best approximation, generalized translation operator, module of continuity, Jackson inequality.

Chertova Darya (dasha@lim.ru), postgraduate student, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Поступила 05.04.Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 110–Механика УДК 539.Дифракция звука на цилиндре с коаксиальным включением в вязкой среде В. В. Аверина, В. И. Желтков Аннотация. Работа посвящена решению прикладной задачи о дифракции упругих волн, распространяющихся в вязкой сжимаемой жидкости на поверхности упругого деформируемого цилиндра с коаксиальным абсолютно жестким включением. Приведены соотношения для давления в вязкой среде как в падающей, так и в отраженных волнах. Получено аналитическое решение.

Ключевые слова: дифракция упругих волн, уравнение Гельмгольца, волновое уравнение, коаксиальное включение, гармоническая волна, скалярный потенциал, векторный потенциал.

Пусть на бесконечно длинный упругий цилиндр радиусом r = a, который помещен в неограниченную вязкую среду, воздействует плоская гармоническая волна единичной амплитуды, фронт которой перпендикулярен оси oz цилиндра i = eik1xe-it = eik1r cos e-it, (1) где r, цилиндрические координаты; круговая частота; t время.

В дальнейшем экспоненциальный множитель e-it будем опускать.

Предположим, что внутренняя полость цилиндра с радиусом r = b заполнена абсолютно жесткой и недеформируемой средой.

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 43 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.