WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 40 |

Итак, для уравнении (1) установлен гамильтонов сценарий явления буферности, то есть показано, что при подходящем уменьшении и увеличении a у него существует любое наперед заданное конечное число устойчивых периодических решений. Появляющихся в результате каскада бифуркаций типа седло–узел.

Вопрос о существовании периодических вращательных решений производился по следующей схеме: от исходного уравнения (1) переходим к трехмерной системе & (x, y, z)= (x, x, t), затем производим замену (x, y) (, ), исходя из равенств x =, y = 2( + cos ) где >1. Принимая за новое время, получаем систему с разделением переменных на быстрые и медленные:

d ), d = a cos z - 2( + cos (2) d z =.

d 2( + cos ) Исследуя неподвижные точки отображения Пуанкаре для решений системы (2) (z(, z0,0, ),(, z0,0, )) с произвольно фиксированными условиями z0 R,0 > 1 при = 0 и используя вытекающие из (2) асимптотические представления функций 2 z(, z0,0, )= z0( )+ z1( )+ O( ), (, z0,0, )= 0 + 1( )+ O( ) (3) находится счетное число начальных условий (z0,0 ), которые на основании теоремы о неявной функции при подходящем порождают интересующие нас периодические движения.

Исследование мультипликаторов циклов показало, что периодические решения рождаются парами, причем одно из решений будет эллиптическим, то есть устойчивым, а другое - гиперболическим, то есть неустойчивым.

По той же схеме производится анализ в случае колебательных решений. После аналогичного перехода от исходного уравнения к трехмерной системе, производится замена переменных (x, y) (k,), исходя из формул & x = 2 arcsin(k sn( ), k), x = 2k cn(, k), где k (0,1) – произвольный параметр, переменная [0,2](mod 2 ) меняется по закону & =, частота = (k) определяется формулой = (2F( 2, k)), а в эллиптическом синусе и косинусе подчеркнута явная зависимость от k. Принимаем за новое время, приходим к системе с 2 – периодическими по правыми частями, имеющей вид dz ), d = + O( (4) dk = cn(, k)(a cos z - 2k cn(, k))+ O( ).

d Эта система так же допускает счетное число начальных условий (z0, k0 ), порождающих устойчивые периодические решения колебательного типа. При уменьшении параметра число сосуществующих периодических решений как вращательного, так и колебательного типов будет увеличиваться, что и свидетельствует о феномене буферности.

Таким образом, для исследуемого уравнения (1) установлен гамильтонов сценарий явления буферности, то есть показано, что при подходящем уменьшении и увеличении а у него существует любое наперёд заданное конечное число устойчивых периодических решений, появляющихся в результате каскада бифуркаций типа седло-узел. Отметим, что из всех известных на сегодня механизмов возникновения буферности гамильтонов является наименее изученным. Этот факт лишь подчеркивает актуальность исследованной проблемы теории колебаний.

Физический смысл Остановимся подробнее на физическом смысле полученного результата. С помощью уравнений маятникового типа с периодическим внешним воздействием описывается, к примеру, взаимодействие синхронного двигателя и маятника. Подобное взаимодействие достаточно часто встречается в реальных физических системах, поскольку при движении всевозможных манипуляторов возникает ситуация эксцентрика на валу.

Рис. 1. Ситуация единственного устойчивого цикла соответствует стабильной & работе соответствующей физической системы, y = x С точки зрения приложений наиболее интересен случай, когда существует единственный устойчивый вращательный периодический режим амплитуды порядка единицы. Это значило бы, что при наличии подходящего начального толчка двигатель раскручивает маятник.

Уменьшение > 0 при фиксированных прочих параметрах, казалось бы, должно приводить к увеличению добротности системы, но в действительности этого не происходит. Напротив, при уменьшении система начинает демонстрировать слабо поддающееся анализу поведение (см.

рис. 2.).

Рис. 2. Флуктуационный хаос в системе (1) при произвольно выбранных начальных условиях и значениях параметров = 0.001, a = 900, =Подобное поведение как раз и связано с возникновением явления буферности: при подходящем выборе параметров в системе рождается любое наперед заданное число устойчивых периодических решений.

В зависимости от выбора начальных условий могут реализовываться различные устойчивые периодические движения из достаточно большого потенциального их запаса.

Таким образом, излишняя добротность приводит к нестабильной работе системы, поскольку не известно заранее на какой именно устойчивый режим она выйдет при очередном запуске.

Изложенные физические соображения проиллюстрированы результатами компьютерного анализа уравнения (1). Привлекая пакет Tracer 3.71, удалось показать, что, например, при значениях параметров = 0.001, a = 900, =1 в зависимости от выбора начальных условий в этом уравнении реализуется не менее одиннадцати различных устойчивых периодических решений.

& Проекции некоторых из найденных решений на плоскость (x, x) при - < x < изображены на рисунках 3.а и 3.б.

Рис. 3. а) Найденные периодические решения при значениях параметров = 0.001, a = 900, =Продемонстрированный результат решает проблему гамильтоновой буферности для указанного уравнения, что особенно ценно, поскольку из всех известных на сегодня Рис. 3. б) Найденные периодические решения при значениях параметров = 0.001, a = 900, = механизмов возникновения буферности гамильтонов является наименее изученным.

Устойчивые режимы накапливаются в окрестности сепаратрис, существующих при = 0, и вследствие этого бассейны притяжения большинства из них заведомо узки.

Буферность в уравнениях с запаздыванием.

Теперь мы можем перейти к результатам исследований уравнений с запаздыванием.

Напомним, что объектом изучения является дифференциально-разностное уравнение & & & x + ax + x = F(k x(t - )), (5) где F(x)= -x + c1x2 + c2 x3 +..., 0 < a < 2, k > 0, c2 > 0, c1 - любое.

В качестве пространства начальных условий берется С [-,0] R. Для уравнения (5) рассматривается вопрос о существовании и устойчивости его периодических решений, бифурцирующих из нуля при увеличении параметра. В ходе аналитических исследований было выяснено, что при подходящих фиксированных значениях параметров a и k для любого натурального п существует, зависящее от п, что при этом значении параметра запаздывания у уравнения (5) существует не менее п устойчивых периодических решений. Иными словами можно утверждать, в системе реализуется так называемый феномен буферности.

Рассмотрим характеристическое уравнение линеаризованной системы 2 + a +1+ k e- = 0 (6) при (a,k) (a,k) 0 < a < 2, 1- 0 < k < 1, где 0 = 1- a2 2. Уравнение (6) может иметь на 2 2 2 мнимой оси только корни = ±i-, - > 0 или = ±i+, + > 0, где ± = 0 ± k + 0 -1, при запаздываниях, равных соответственно - + n = - - + n 2 -, n = + + + n 2 +, где ± = arccos((± -1) k), n = 0,1,2, ± Обозначим через = ±( ) корни уравнения (6), обращающиеся при = n в i± n соответственно. Несложный подсчет показывает, что при прохождении запаздывания через + серию критических значений = n, n 0 каждый раз ровно одна простая пара корней и, где = +( ), характеристического уравнения переходит из полуплоскости Re < 0 в n полуплоскость Re > 0. Обратная ситуация наблюдается при прохождении через критические значения = n, n 0: соответствующая пара корней переходит из правой комплексной полуплоскости в левую (рис.1).

Рис. 4. Поведение корней уравнения (6) + при прохождении параметра через критические значения n справа и n слева.

Соответственно, область неустойчивости нулевого решения по параметру уравнения (5) имеет вид + + (,n ). (7) n n=+ Поскольку с ростом п интервалы (n,n ) начинают пересекаться во все большем числе, то при ненулевое состояние равновесия заведомо неустойчиво и степень его неустойчивости неограниченно растет. Однако при увеличении состав корней уравнения (7), находящихся в полуплоскости Re > 0, постоянно обновляется.

В динамической системе при изменении величины запаздывания происходит следующее:

+ при всех 0 < < 0 уравнение (5) имеет гладко зависящий от цикл x = x0(, ), d dt = 0( ), (8) где 2 -периодическая по функция x0(, ), x0 0, и частота 0( )> 0 таковы, что ± ± + x0(,0 ) 0, 0(0 )= ±; 0( )< 0 при 0 < < 0. (9) Условия (4) означают, что при увеличении цикл (8) сначала бифурцирует из нулевого + состояния при = 0, а затем умирает на нем при = 0. (см.рис.2).

Рис. 5. Зависимость базового периодического решения x ( t) от параметра, вычисленная при & значениях параметров a = 1, k = 0.876, что соответствует = 0.001; y = x.

Можно построить и другие циклы уравнения (5), бифурцирующие из нуля при увеличении.

+ Зафиксируем произвольное натуральное п и при (n,n ) рассмотрим уравнение ~ ~ = n 2 0( )+ (10) ~ относительно. В силу условий (9) по теореме о неявной функции из (10) однозначно ~ определяется монотонно возрастающая функция = п (), что + + - n(n )= 0, n(n )= 0. (11) Полагая ~ ~ xn(, ) = x0(, ), n( ) = 0( ), (12) ~ ~ =n ( ) =n ( ) + убеждаемся, что на интервале n < < n уравнение (5) имеет цикл x = xn(,), d dt = n( ), (13) для которого в силу (8), (10), (11) справедливы равенства ± ± xn(,n ) 0, n(n )= ±. (14) Описанную процедуру получения периодических решений будем называть принципом подобия. Построенные таким образом решения исчерпывают все циклы уравнения (5), бифурцирующие из его нулевого состояния равновесия при. Кроме того с ростом n интервалы (11) начинают пересекаться во все большем числе, а значит, и количество сосуществующих циклов (13) при неограниченно растет.

Реализуемость для уравнения (5) описанной выше ситуации установлена в [1] при допол+ нительном предположении о малости длины интервала (0,0 ), пропорционального. На основе локальных методов было показано, что основной цикл (7) устойчив при всех значениях + параметра запаздывания, при которых он существует, то есть на (0,0 ).

Рис. 6. Схематическое изображение области неустойчивости нулевого состояния равновесия.

Другое же, порожденное им с помощью метода подобия периодическое решение xn (t) 1 2 + устойчиво на некотором подынтервале (n,n ) ячейки своего существования (n,n ), где + 1 2 < n < n < n. Причем, на основе линейного анализа следовало (см. рис.3 и формулу (7)), n 1 что длина ячеек (n,n ) увеличивается с ростом n и ячейки начинают пересекаться все в большем количестве. Это устанавливает неограниченный рост при числа одновременно существующих устойчивых циклов (13), иными словами в системе реализуется феномен буферности.

Помимо аналитического доказательства изложенного в [1], были проведены и численные исследования. С помощью программы Tracer V3.71 (см.[2]) при фиксированных значениях параметров a и k и последовательном изменении величины запаздывания исследовался вопрос о существовании периодических решений и их эволюции по параметру. Постепенно увеличивая параметр запаздывания, легко проследить интервал существования родившегося из нулевого состояния равновесия устойчивого базового цикл x0 (t), как это показано, например, на рис.5, а также и области устойчивости порожденных циклов xn (t).

Рис. 7. Найденные периодические решения и их динамика. Значение параметра запаздывания изменяется в диапазоне от 40 до 50.

Результаты наблюдений обобщены на рис.4. С ростом величины запаздывания количество сосуществующих периодических решений растет, многие из них слабо отличаются друг от друга и обладают очень узкими областями притяжения, что в итоге влечет непредсказуемость динамики: малое изменение начальных условий приводит к выходу системы (5) на один из достаточно большого числа режимов работы, что при достаточно малом влечет появление флуктуационого хаоса.

Выводы и рекомендации Резюмируя проведенные исследования, стоит подчеркнуть, что на данном этапе технического развития человечества феномен буферности представляется паразитным явлением. Применения ему пока нет, и более того, неосознанное столкновение с данным феноменом на практике чревато возникновением проблем. Например, руководствуясь намерением улучшить устройство, можно неосознанно так изменить параметры системы, что в итоге приведет к возникновению переходного хаоса и сделает ее, фактически, не управляемой.

Эта ситуация типична для всех систем, способных генерировать феномен буферности, и последствия особенно ярко продемонстрированы результатами исследований для уравнения (1).

В гонке за улучшением различных показателей технических устройств, таких как мощность, скорость, размеры и т.д., было бы хорошо знать круг моделей, изменения в которых могут привести к возникновению паразитных эффектов, в частности, феномена буферности.

Данный проект, как раз и посвящен описанной цели. Рассмотренные задачи являются представителями классов обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальноразностных уравнений с запаздыванием. Но надо осознавать, что феномен буферности не ограничивается ими. Буферность – универсальный природный феномен, наблюдающийся в нелинейных средах с различными свойствами и принимающих участие в процессах самоорганизации.

Список литературы 1. Мищенко Е.Ф., Садовничий В.А., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

2. Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Явление буферности в системах с полутора степенями свободы. // ЖВМ и МФ. 2006. Т.46, №9 С.1503-3. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ 2008611464. Пакет программ для анализа динамических систем “Tracer”/ Глызин Д.С. (RU). – Заявка 2008610548. Дата поступления 14 февраля 2008 г. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 24 марта 2008 г.

АВТОМАТИЗАЦИЯ ДОКУМЕНТООБОРОТА ПО ВАЛЮТНОМУ КОНТРОЛЮ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРОГРАММНЫХ СРЕДСТВ НА ПРЕДПРИЯТИЯХ-УЧАСТНИКАХ ВНЕШНЕЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ Лифанов А.О., аспирант кафедры мировой экономики и статистики Научный руководитель Сапир Е.В., д.э.н.

Введение В современной действительности, когда Россия быстрыми темпами интегрируется в мировые экономические связи, все более усиливается вовлеченность во внешнеторговые связи и у Российских предприятий.

Предприятия не только экспортируют свою продукцию, но в не меньшей, даже большей степени импортируют компоненты, сырье и оборудования для обеспечения текущих и перспективных производственных нужд.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 40 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.