WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 29 | 30 || 32 | 33 |   ...   | 40 |

2. Диффузионная потеря устойчивости пространственно однородного решения уравнения Гинзбурга-Ландау Для изучения динамики задачи (1) исследуем характер потери устойчивости нулевого решения при изменении параметра d. Анализируя линейную часть уравнения, найдем максимальное значение d, при котором собственные числа переходят мнимую ось. Для этого введем в рассмотрение оператор L(U):W22(-1;1) W22(-1;1), порожденный линейной частью краевой задачи (1). Выполнив замену, приходим к следующей задаче на U (t, x) = exp(t)V (x) собственные значения оператора L:

2V d +V = V (4).

xV (x +1) =-V (x) -При выполнении условия задача (4) имеет нетривиальное решение < d 1- 1- (5) V = c1 cos( x) + c2 sin( x).

dd С учетом антипериодических краевых условий, находим собственные значения оператора L:

n=1,2…. (6) n =-d n2 +1, Формула (6) и представление (5) позволяют утверждать, что при в спектре dkp = 1/ устойчивости линеаризованной в нуле задачи (1) имеется нулевое собственное значение кратности 2. При этом весь остальной спектр находится в левой комплексной полуплоскости и отделен от нуля. Заметим, что при все собственные числа оператора L лежат в левой d > dkp комплексной полуплоскости.

При нулевому собственному числу соответствуют две линейно незави-симые dkp =1/ собственные функции и. В связи с этим, для построения нормальной формы cos x sin x положим d =1/ -, 0< <<1 и выполним следующую замену (см. [4]):

3/, U (t,s, x) = 1/ 2U0(t,s, x) + U1(t,s, x) + U2(t, s, x) +... s = t, (7) где U0(t,s, x) = z1(s)cos x + z2(s)sin x.

Далее в соответствии с алгоритмом построения нормальной формы приравняем коэффициенты при одинаковых степенях 1/ 2. При 1/2 имеем, очевидно, верное тождество.

На следующих этапах применения алгоритма получения нормальной формы будем приходить к неоднородным краевым задачам вида U, U(t,s,x+1)=-U(t,s,x) (8) = L0(U ) + f (x) t 1 2 +, I -единичный оператор, f(x) удовлетворяет условию 2–периодичности по где L0 = xпеременной х.

Нетрудно обосновать следующее условие разрешимости краевой задачи (8) в классе ограниченных по t функций.

Лемма 1. Параболическая краевая задача (8) с 2–периодической неоднородностью f (x) разрешима в классе ограниченных по t функций при условии выполнения следующих соотношений:

f(x)cos( x) dx = -.

-1f(x)sin( x) dx = Применяя далее метод нормальных форм, при находим функцию U1(t,s, x) тождественно равной нулю.

3/ При получаем краевую задачу, из условия разрешимости которой согласно Лемме получаем систему дифференциальных уравнений относительно и z1(s) z2(s) z = 2z1 - z2(z12 + z22) (9).

z = 2z2 + z1(z12 + z22) Из преобразованного с учетом (9) полученной краевой задачи находим решение U2 = [z13 - 3z22z1]sin(3 x) + [z23 - 3z12z2]cos(3 x).

Выбрав для системы (9) в качестве функции Ляпунова, мы можем V(s) = z12(s) + z22(s) убедиться, что, т.е. все решения при s + уходят от нуля в V = 2 (z12 + z22) > бесконечность, что выводит нас за рамки применимости данного приближения.

Поэтому положим z = 2z1 - z2(z12 + z22) + (10).

z = 2z2 + z1(z12 + z22) + и продолжим исследование нормальной формы.

Находя следующий по порядку элемент разложения, при снова получаем тривиальную функцию.

U3(t,s, x) Наконец на пятом шаге с учетом (10) имеем краевую задачу, позволяющую нам, применяя Лемму 1, найти и :

(11) 1 =- z1(z12 + z22)2,2 =- z2(z12 + z22)2.

Это позволит нам выписать уточненную нормальную форму задачи (1).

Путем непосредственной подстановки и использования функции Ляпунова легко обосновать следующее утверждение V(s) = z12(s) + z22(s) Теорема 1. При > 0 система (10 при условии (11) имеет глобально орбитально асимптотически устойчивое автомодельное решение вида 8 2 z = 24 cos( s + ), z = 24 8 sin(2 2 s + ) где - произвольный параметр.

Применяя теорему о соответствии (см.[5]), сформулируем основное утверждение данного параграфа.

Теорема 2. Пусть в (1), тогда существует такое, что для всех 0 > 0 0 < d = - краевая задача (1) имеет орбитно асимптотически устойчивый цикл, асимптотика которого задается формулой:

U(t, x) = 24 8 cos(2 2t - x + ) + O( ).

3. Локальная динамика уравнения Кортевега- де Фриза с кубической нелинейностью Линеаризуем в нуле задачу (2) и изучим спектр собственных значений оператора линейной части в условиях антипериодичности по переменной x.

Получим следующий набор собственных чисел n =-d1( n)2 + d2 ± i( n)3,n.

Максимальное значение параметра d1 при фиксированном d2, при котором на мнимую ось выходит пара простых собственных значений, наблюдается при n=1 и выполнении d1 = d2.

При этом стальные точки спектра лежат в левой комплексной полуплоскости {:Re <0}.

3 Собственным числам и отвечают собственные функции и = i =-i exp(-i x) соответственно. В связи с этим, для построения нормальной формы в исходной задаче exp(i x) положим d1 = d2 - выполним замену 3/, (12) U (t,s, x) = 1/ 2U0(t,s, x) + U1(t,s, x) + U2(t,s, x) +...

где, s=t – медленное время, z=z(s) – пока произвольная U0(t,s, x) = z(s)ei( t- x) + z(s)e-i( t- x) (подлежащие определению) комплексная амплитуда.

1). Рассмотрим сначала краевую задачу (2) с нелинейностью вида U U.

3(U, ) = 1U x x В процессе применения метода нормальных форм в этом случае будут возникать краевые задачи вида U,, (13) = L0(U ) + f (x)e±i t U (t, x +1) =-U (t, x) t 3 d2 где L0 обозначен оператор L0 = ++ d2I.

x3 xУсловие разрешимости задачи (13) в классе 2/ - периодических по t функций принимает вид Лемма 2. Краевая задача (13) разрешима в классе 2/2 - периодических по t функций при условии выполнения следующего соотношения:, f(x)eµi xdx = -где показатель степени экспоненты берется со знаком “–” в случае неоднородности f (x)ei t и со знаком “+” при.

f (x)e-i t Как и ранее, на втором шаге применения алгоритма нормальных форм получаем, что U1(t,s,x) тождественно равна нулю, а на третьем шаге- в результате применения Леммы получаем нормальную форму z = 2z - i z 2 z (14).

z = z + i z z ii При этом.

U2 =- z3e3i( t- x) + z e-3i( t - x) 8d2 - 24i 8d2 + 24i Система (14) не дает ответа на вопрос об устойчивых режимах краевой задачи (2), в связи с чем требуется выполнение двух дополнительных шагов алгоритма нормализации.

Полагая, что z' = z - i1 | z |2 z + (15) 5/ (сопряженное уравнение опускаем), на пятом шаге при в соответствии с Леммой находим 2 12(8d2 + 24 i) =- z z.

64d22 + (24 )В уравнении (15) выполним полярную замену, тогда для вещественных z = ei переменных и получим уравнения & = + d.

& = 2 + c 2 d212 Здесь d =-,c =-.

6 8d22 + 72 8d22 + Первое уравнение данной системы не зависит от второго, и при d<0 и >0 имеет, наряду с неустойчивым нулевым, асимптотически устойчивые состояния равновесия 4 (16) 1,2* =± -.

d Отсюда следует, что для функции (s) выполнено одно из предельных соотношений lim (s) = 1* или s+ (s) = 2*. Подобное утверждение справедливо и для (s) и lim s+ c (17) 1,2* = - ( - + )s, d d где - наперед заданная константа.

Учитывая формулы (16) и (17) для уравнения (15) получим следующий орбитально асимптотически устойчивый автомодельный цикл 6 6 8d22 + 72 8d22 + 72 (18) z(s) =± 1 + s.

exp i - d212 d212 d С учетом (18) легко доказать следующую теорему d2 U U Теорема 3. Пусть в задаче (2), а нелинейность имеет вид.

d1 = - 3(U, ) = 1U x x Тогда для любого d2>0 можно указать, что для всех краевая задача (2) имеет 0 > 0 0 < орбитно асимптотически устойчивый цикл, асимптотика которого задается следующей формулой:

6 8d22 + 72 8d22 + 72 U (t, x) = expi - - t - x + + O(1/ 2 ).

d d212 d 2). В случае кубической нелинейности вида 3(U, U ) =2 U аналогичные x x рассуждения приводят к нормальной форме 2 z' = z - 3i2 | z |2 z + (d + ic) | z |4 z, (19) 6 9d222 где d =,c =.

6 8d22 + 72 8d22 + При этом выполнено аналогичное теореме 3 утверждение dU U Теорема 4. Пусть в (2), а нелинейность имеет вид. Тогда d1 = - 3(U, ) = x x для любого d2 > 0 существует, что для всех краевая задача (2) имеет орбитно 0 > 0 0 < асимптотически устойчивый цикл, асимптотика которого задается следующей формулой:

6 8d22 + 72 8d22 + 72 3 U (t, x) = expi - - t - x + + O(1/ 2).

4 9d d222 d В заключение отметим, что в случае, когда кубическая нелинейность представлена в виде 3(U, U ) = 3U 3 или 3(U, U ) = 4U U, происходит стандартная бифуркация x x x Андронова-Хопфа, в результате которой при d1 = d2 - от пространственно однородного нулевого решения краевой задачи (2) ответвляется устойчивый, близкий к гармоническому цикл, амплитуда которого в отличие от полученных выше значений имеет порядок корня квадратного из надкритичности.

Литература [1] Кащенко, С.А. Уравнение Гинзбурга–Ландау –нормальная форма для дифференциально– разностного уравнения второго порядка с большим запаздыванием /С.А. Кащенко // ЖВМ и МФ, 1998, том 38, №3, с. 457 – 465.

[2] Васильева, А.Б. Бифуркация автоколебаний нелинейных параболических уравнений с малой диффузией/ А.Б. Васильева, С.А. Кащенко, Ю.С. Колесов, Н.Х. Розов //Матем. сб. – 1986.

– Т. 130 №4. – с. 488 – 499.

[3] Глызин, С.Д. Экстремальная динамика обобщенного уравнения Хатчинсона/ С.Д. Глызин, А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов // в печати [4] Глызин, С.Д. Локальные методы анализа динамических систем: учебное пособие // С.Д.

Глызин, А.Ю.Колесов- Учебн. пособие /Яросл. гос. ун–т. – Ярославль: ЯрГУ, 2006 – 92 c.

[5] Колесов, А.Ю. Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений/ А.Ю. Колесов, Н.Х.

Розов –М.:Физматлит, 2004.-408с.

СОЗДАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ОСНОВ РЕСУРСОСБЕРЕГАЮЩЕЙ И ЭКОЛОГИЧЕСКИ БЕЗОПАСНОЙ ТЕХНОЛОГИИ СИНТЕЗА ПОЛИАМИНОВ Яковлева Ю.С., студентка гр. ЭК-Научный руководитель Бегунов Р.С., к.х.н.

Введение Все возрастающие потребности химической промышленности требуют постоянного совершенствования сырьевой базы. При выборе исходного сырья предпочтение должно отдаваться таким веществам, которые могут участвовать в различных химических превращениях. В результате возможно получение большого количества целевых продуктов.

Для осуществления таких превращений требуется детальное исследование закономерностей процессов, лежащих в основе химических реакций. В качестве исходных продуктов для получения полифункциональных соединений широкого спектра действия мы предлагаем использовать полинитроароматические соединения. Одним из возможных путей превращения их в целевые продукты являются реакции восстановления, при проведении которых необходимо решение проблем, как теоретического, так и прикладного характера.

Наибольшие затруднения вызывают вопросы, связанные с селективностью процесса восстановления полинитроаренов, так как наличие нескольких реакционных центров может приводить к образованию целого набора продуктов реакции. Анализируя имеющиеся данные, можно выделить несколько типов селективности процесса восстановления: во-первых, полнота восстановления нитрогруппы, во-вторых, восстановление нитрогруппы в присутствии других легко восстанавливаемых групп, и, в-третьих, восстановление одной из нескольких неэквивалентных нитрогрупп в полинитроаренах [1]. Изучение факторов влияющих на селективность реакции восстановления нитроароматических соединений позволит в дальнейшем управлять процессами синтеза разнообразных химических соединений.

Практический аспект проблемы связан с решением различных технологических задач:

выделение целевых продуктов, утилизации отходов, оптимизации условий проведения химического процесса, минимизации затрат.

Следует также отметить, что выбор исходного субстрата, т.е. наличие в молекуле восстанавливаемого нитросоединения тех или иных заместителей определяется областью применения целевых аминопродуктов. Наиболее интересными с практической точки зрения являются ароматические аминосоединения, содержащие гетероциклические фрагменты.

Данные гетероциклические аминоарены могут быть использованы в синтезах лекарственных препаратов [2]. Так же известно, что производные 1,3-ди(морфолин-4-ил)бензола, содержащие в качестве заместителей амино-, амидо- и нитрогруппы, являются основой для получения таких практически важных полимерных систем, как полиамиды, полиимиды и др. Наличие в составе данных полимеров заместителей различной химической природы в орто-положениях бензольного кольца позволяет варьировать в широких пределах их химические и физические свойства (например, способность к дальнейшим внутримолекулярным циклизациям или межмолекулярным реакциям структурирования, оптических свойств и др.) [3]. Следует также отметить, что количество технологий используемых в промышленности для получения аминоаренов путем восстановления полинитробензолов невелико. К таким можно отнести только технологии по каталитическому восстановлению 2,4-динитротолуола и 2,4,6тринитротолуола [4].

Обоснование целей и задач Целью работы является разработка теоретических основ ресурсосберегающей и экологически безопасной технологии синтеза амино- и полиаминоаренов, содержащих алифатический гетероциклический фрагмент, многофункционального сырья для химической промышленности.

Задачи:

1. Изучение факторов, влияющих на протекание реакции восстановления полинитроаренов, содержащих гетероциклические фрагменты.

2. Установление побочных процессов превращения исходных полинитросубстратов в условиях реакции восстановления.

3. Построение квантово-химической модели, объясняющей ориентацию моновосстановления несимметричных полинитроаренов, содержащих гетероциклические фрагменты.

4. Исследование спектральных характеристик синтезированных аминоароматических соединений.

5. Разработка методов идентификации целевых и побочных продуктов реакции с использованием ЯМР-, ИК-, масс-спектроскопии, газо-жидкостной и высокоэффективной жидкостной хроматографии.

6. Синтез новых, не описанных ранее в литературе, нитроанилинов и мфенилендиаминов, содержащих гетероциклические фрагменты.

7. Исследование перспективности использования полученных аминоаренов в синтезах полимерных материалов и красителей.

8. Решение технологических аспектов проведения реакции восстановления нитроаренов солями металлов переменой степени окисления.

Pages:     | 1 |   ...   | 29 | 30 || 32 | 33 |   ...   | 40 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.