WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 40 |

система (3) имеет в спектре устойчивости пару чисто мнимых собственных значений 1,2 = ±i0, где 0 = p - p2b2.

2.2. Бифуркация Андронова-Хопфа Рассмотрим теперь характер потери устойчивости состоянием равновесия (5) при фиксированных значениях бифуркационных параметров, близких к критическим так, что I = Iкр., a=aкр. +.

В целях получения нормальной формы системы (4) воспользуемся стандартным алгоритмом (см., например [4]). Для этого выполним следующую замену:

i t - i t 3 / 0 (7) (v, w)T = ( zae + z ae ) + u1 (s, t ) + u2 (s, t ) +..., где s =t, z = z(s), a = (a1,a2)T, u1(s,t) = (u11(s,t),u12 (s,t))T, u2(s,t) = (u21(s,t),u22(s,t))T. Здесь a - собственный вектор линеаризованной на состоянии равновесия матрицы, соответствующий собственному числу i0. Этот вектор может быть выбран следующим образом:

2.

a = (1; pb - i p - p b )T Функции u1, u2 в замене (7) определяются в ходе выполнения алгоритма. Функция медленного переменного s - z(s) - находится из условий разрешимости задачи для u2(s,t) в классе периодических по t функций.

После подстановки выражений для v, w в систему (4) и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях имеем при верное тождество. Для построения нормальной формы интерес представляют уравнения, получающиеся при степенях 3/ и. Выпишем их:

:

u= (1- v* )u11 - u12 - v*(za1ei0t + za1e-i0t )2, t (8) u= - pbu12 + pu11 + p.

t Решение системы (8) находится стандартным образом u11 = w01 + e2i0tw11 + e-2i0tw11, u12 = w02 + e2i0tw12 + e-2i0tw12, где:

2 1- 2b 1- pb z a1 2 pb - 2 1- pb z a1 w01 =, w02 =, pb2 -1 pb2 - (9) - 1- pb(pb+ 2i0)z2a1 - 1- pb pz2aw11 =, w12 =.

2 30 Перейдем к задаче, возникающей при степени 3/2.

3/ :

u = (1 - v* )u21 - u22 - (z a1ei0t + z a1e-i0t ) t - 2 1 - pbu11(za1ei0t + za1e-i0t ) (10) - (za1ei0t + za1e-i0t )3, u = - pbu22 + pu21 - (z a2ei0t + z a2e-i0t ).

t Опираясь на условия разрешимости задачи для u2(s,t) в классе 2 0 -периодических функций, получаем следующее уравнение для комплексной переменной z :

(11) z = z + d z z, которое обычно называется нормальной формой системы (4). Здесь параметры и d задачи (11) определяются по формулам:

1 - pb 2 i ( pb + i p - p b ) 2 p - p b (12) =, pb - 2 1 1 - b p - p b ( - 4 + bp ( 7 + 3b ( - 2 + pb ))) d = + + i.

2 2 pb - 1 6 p ( pb - 1) 2.3. Построение нормальной формы для пары связанных осцилляторов Теперь рассмотрим задачу диффузионного взаимодействия двух одинаковых осцилляторов типа ФитцХью-Нагумо:

(v1 + v* )v1 = v1 + v* - - (w1 + w* ) + I + D(v2 - v1), кр.

w1 = p(v1 + v* + aкр. + - b(w1 + w* )), (13) (v2 + v* )v2 = v2 + v* - - (w2 + w* ) + I + D(v1 - v2 ), кр.

w2 = p(v2 + v* + aкр. + - b(w2 + w* )).

При D = 0 получим задачу двух несвязанных осцилляторов, для каждого из которых нормальная форма выписывается таким же способом, как показано в предыдущем пункте (см.

(11)).

В случае D отличном от нуля строим нормальную форму с помощью замены:

(vj,wj)T = (zjaei0t + zjae-i0t ) +u1j(s,t) +3/ 2u2 j(s,t) +..., (14) где j = 1,2, s = t, a и u1 j (s,t) вычисляются по тем же формулам, что и в предыдущем пункте.

На третьем шаге алгоритма метода нормальных форм из условия разрешимости задач для u2 j (s,t) в классе периодических функций получаем следующую нормальную форму:

z1 = z1 + d z1 2 z1 + c( z2 - z1), (15) z2 = z2 + d z2 2 z2 + c(z1 - z2 ), где соответственно и d вычисляются по формулам (12), а 1 ipb.

c = 2 2 p - p b Система (15) изучалась ранее в [5] аналитическими и численными методами, причем было показано, что при изменении параметра связи D возможны различные сценарии фазовых перестроек в системе. В статье [5] также приведена теорема о соответствии, которая связывает грубые устойчивые режимы системы (15) с соответствующими устойчивыми режимами у исходной системы.

3. Случай двух связанных осцилляторов c запаздыванием 3.1. Построение нормальной формы.

Связь между биологическими нейронами обладает очевидным свойством запаздывания.

В медицинской литературе описаны различные ситуации, когда это запаздывание может быть достаточно большим. В этой части работы рассмотрим пару слабо связанных осцилляторов типа ФитцХью-Нагумо с запаздыванием длины h.

(v1 + v*)v1 = v1 + v* - - (w1 + w*) + Iкр. + D(v2(t - h) - v1), w1 = p(v1 + v* + aкр. + - b(w1 + w*)), (16) (v2 + v*)v2 = v2 + v* - - (w2 + w*) + Iкр. + D(v1(t - h) - v2), w2 = p(v2 + v* + aкр. + - b(w2 + w*)).

Нетрудно видеть, что в системе (16) могут быть выполнены те же замены (8), что и в предыдущей задаче. Применяя метод нормальных форм, получаем модификацию системы (15) на случай учета запаздывания:

z1 = z1 + d z1 2 z1 + c(z2e-i0h - z1), (17) z2 = z2 + d z2 2 z2 + c(z1e-i0h - z2), где напомним 0 = p - p2b2.

Сведем систему (17) с помощью подходящих замен к ранее полученной системе (15).

i j Положим в (17) z = e, c = kei, тогда приходим к следующей системе уравнений:

j j 1 = 01 + d01 + k(2 cos + 2 -1 - 0h - 1 cos ), 11 = c013 + k(2 sin2 -1 - 0h + - 1 sin ), (18) 2 = 02 + d02 + k(1 cos + 1 -2 - 0h - 2 cos ), 22 = c023 + k(1 sin 1 -2 - 0h + - 2 sin ), в которой = 0 + i, а d = d0 + ic0.

= -0 d0 t1 =0t Обозначим = 2 - 1и выполним замены,. Тогда (18) сводится j j к следующей системе:

k k 1 = (1- cos -1 )1 + 2 cos( + -0h), 0 k k 2 =(1- cos -2 )2 + 1cos(- + -0h), 0 c0 2 2 k 1 - (2 -1 )+ sin(- + -0h)- sin( + -0h).

= d0 0 2 * Переобозначим k 0 k, положим b0 = c0 d0, а = -0h. Заметим, что так как * исходный параметр запаздывания h не фиксирован, то и тоже варьируется в пределах от до 2. После данных замен и переобозначений приходим к следующей системе:

* * 1 = ((1- k cos + k cos)- k cos - 12)1 + k2 cos( + ), * 2 * 2 = ((1- k cos + k cos)- k cos - 2 )2 + k1 cos(- + ), (19) 1 2 * * -b0(2 - 12)+ k sin(- + ) - sin( + ).

= 2 * Теперь заменяя и s s, переходим к системе:

1 - k (cos - cos ) j j * * 1 = (1 - d cos - 12 )1 + d cos( + ), * * (20) = (1 - d cos - ) + d1 cos( - + ), 2 2 1 2 * * -b0 (2 - 12 ) + d sin( - + ) - sin( + ), = где k d.

Полученная система совпадает с системой, получаемой из (15) в результате полярной * замены с той лишь разницей, что параметр, введенный в (20) и зависящий от h, вообще говоря, произволен. Иначе говоря, за счет подходящего выбора запаздывания можно получить * любое значение.

Выберем значение h так, чтобы вид системы (20) упростился. Например, разберем * случай cos = 0.

3.2. Анализ одного частного случая * =. Тогда система (20) преобразуется к виду:

Пусть далее - 1 = (1 - 12 )1 + d sin, (21) = (1 - ) - d1 sin, 2 2 -b0 ( - 12 ) + d sin - =.

Найдем сначала состояния равновесия (21). Для этого необходимо решить следующую алгебраическую систему:

(1 - 12 )1 + d sin = 0, (22) (1 - ) - d1 sin = 0, 2 2 - b0 (2 - 12 ) + d sin - = 0.

Для исследования устойчивости состояний равновесия (1,2, ) необходимо найти собственные числа матрицы устойчивости системы (22). Она имеет следующий вид:

a11 a12 a a a22 a23, (23) a a32 a где a12 = d sin, a13 = d2 cos, a11 = 1- 312, a23 = -d1 cos, a21 = -d sin, a22 = 1- 32, 2 1 1 a31 = 2b01 + d cos- -, a32 = -2b02 + d cos 2 +, 2 a33 = -d -.

1 2 sin Система (22) имеет 2 очевидных решения:

1 =1, 2 =1, = 0, (24) 1 = 1, 2 = 1, =. (25) При подстановке в (23) состояния равновесия (24) получаем матрицу:

- 2 0 d 0 - 2 - d, 2b - 2d 2d - 2b0 характеристический многочлен которой имеет вид p() = -( + 2)(2 + 2 - 4d(b0 - d)).

Имеем следующее условие для устойчивости состояния равновесия (24):

b0 < d. (26) А при подстановке в (23) состояния равновесия (25) получаем следующую матрицу:

- 2 0 - d 0 - 2 d, 2b + 2d - 2d - 2b0 имеющую характеристический многочлен p() = -( + 2)(2 + 2 - 4d(b0 + d)).

Из анализа данного многочлена видно, что состояние равновесия (25) устойчиво всегда.

Для грубых состояний равновесия, циклов и торов нормальной формы, выполнена известная теорема о соответствии [6], которая в данной ситуации принимает вид:

1 - pb 1 1 - b Теорема 1. Пусть и выполнено условие (26). Тогда > 0, + < 2 2 - 1 + pb 1 - pb найдется 0 > 0, что для любого 0 < 0 система (16) имеет устойчивый синхронный цикл, асимптотика которого задается заменой (14).

1 - pb 1 1 - b Теорема 2. Пусть. Тогда найдется 0 > 0, что для > 0, + < 2 2 - 1 + pb 1 - pb любого 0 < 0 система (16) имеет устойчивые колебания в противофазе, асимптотика которых задается заменой (14).

Заметим, что в отличие от синхронных колебаний колебания в противофазе устойчивы для любого положительного d.

В заключении отметим, что введение запаздывания в цепь связи осцилляторов, моделирующих нервные клетки, приводит к ряду важных новых эффектов. В частности, оказывается, что, например, колебания в противофазе устойчивы при любых значениях параметра связи, остающихся в рамках применимости локальной теории.

Список литературы 1. FitzHugh, R. Threshold and plateaus in the Hodgkin-Huxley nerve equations. / R. FitzHugh // The Journal of Generical Physiology. – 1960. – 43. – P. 867–896.

2. Nagumo, J. An active pulse transmission line simulating nerve axon. / J. Nagumo, S. Arimoto, and S. Youshizawa// Proc IRE. – 1962. – 50. – P. 2061–2070.

3. Hodgkin, A.L. A quantitative description of membrane current and application to conduction and excitation in nerve / A.L. Hodgkin and A.F. Huxley // Journal Physiol. – 1952. – 117. – P. 500–544.

4. Глызин С.Д., Колесов А. Ю. Локальные методы анализа динамических систем: учебное пособие. Яросл. гос. ун-т. — Ярославль: ЯрГУ, 2006. 92 с.

5. Глызин, С.Д. Сценарии фазовых перестроек одной конечноразностной модели уравнения “реакция-диффузия”/ С. Д. Глызин // Дифференциальные уравнения. — 1997. — Т. 33, № 6. — С. 805–811.

6. Гукенхеймер, Дж. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей / Дж. Гукенхеймер, Ф. Холмс // Москва-Ижевск. – 2002.

СИСТЕМА МЕТОДОВ КОМПЛЕКСНОЙ ОЦЕНКИ МУТАГЕННОЙ АКТИВНОСТИ ПРИРОДНЫХ СРЕД НА ПРИМЕРЕ ВОДЫ Р.

КОТОРОСЛЬ Кондакова Д.С., Шешина К.А., Солдатова А.А., студенты гр. Б-51 и ЭК-Научный руководитель Прохорова И.М., к.б.н.

Одной из актуальных экологических проблем Ярославской области является загрязнение водной среды. На территории области находится 5703 рек и 637 озер. Однако обилие водоемов еще не показатель достаточного обеспечения населения качественной питьевой водой. Многие водоемы загрязнены и не должны использоваться не только как источник питьевой воды, но и как источники промышленного и сельскохозяйственного водоснабжения и рекреационные зоны.

Особую опасность представляет загрязнение водоемов генетически опасными соединениями – мутагенами. Мутагены – факторы химической, физической или биологической природы, способные вызывать изменение наследственного материала (дезоксирибонуклеиновой кислоты) – мутации. Мутации в соматических клетках могут приводить к онкологическим заболеваниям, снижению иммунитета, преждевременному старению, аутоагрессивным заболеваниям и другим распространенным заболеваниям. Мутации в половых клетках являются причиной наследственных болезней и врожденных пороков развития. Накапливаясь в популяциях, могут привести вид к вырождению и вымиранию.

Показателем наличия мутагенов в питьевой воде является повышение частоты онкологических заболеваний у детей и болезней почек. И в Ярославле частота этой патологии растет, что свидетельствует о наличии в воде, потребляемой жителями, мутагенов.

Однако, контроль за мутагенным загрязнением не ведется даже для питьевой воды.

Одна из причин этого – сложность, дороговизна и недостаточная чувствительность методов контроля за мутагенным загрязнением окружающей среды.

Поэтому целью нашей работы являлась разработка достаточно чувствительного и экономичного метода для регистрации генетически активных веществ в природных водоемах.

В связи с поставленной целью решались следующие задачи:

1. Предложить тест-систему для оценки мутагенного загрязнения природных водоемов.

2. С помощью предложенной тест-системы оценить мутагенное загрязнение воды р. Которосль.

Материалы и методы Для оценки мутагенного потенциала химических веществ в мировой литературе описано более 200 методов, использующих различные объекты от вирусов до человека.

Однако, метода, который годился бы для оценки загрязнения именно природных водоемов.

Материалом исследования являлись пробы воды, отобранные на 11 станциях р. Которосль, от истока до устья (рис.1).

Ст. 6 - д. Белогостицы.

Ст. 5 - г. Гаврилов Ям.

Ст. 4 - б/о Прибрежный (д. Введенье) Ст. 3 – пос. Карабиха.

Ст. 2 - д. Пеньки Ст. 11 - неизвестный сток перед Южной водозаборной станцией.

С. 10 – водозабор ЮВС г. Ярославля.

Ст. 9 - сточная канава со ст. Ярославль Главный.

Ст. 8 - завод «Русские краски».

Ст. 7 - ливневая канава с Московского проспекта.

Ст.1 - устье р. Которосль.

Пробы отбирались батометром Рутнера с глубины 0,5 м в обьеме 1,0 л в три периода гидрологического цикла реки в 2007г.:

1. Весенний паводок (апрель м-ц).

2. Летняя межень (июль м-ц).

3. Осенний паводок (октябрь м-ц).

Пробы воды замораживались в лаборатории спустя 2 часа после отбора. Для исследования использовались пробы воды, концентрированные в 25 раз методом вымораживания, поскольку этот метод подготовки проб менее других искажает суммарный мутагенный эффект проб.

О мутагенном загрязнении воды судили по такому интегральному показателю, как суммарная мутагенная активность (СМА). Выявлялся суммарный эффект всех химических веществ, находящихся в пробе, так называемая СМА. В настоящее же время контроль за загрязнением водоемов проводится санитарно-эпидемиологическими службами по такому показателю как предельно допустимые концентрации (ПДК) загрязняющих веществ.

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 40 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.