WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика твердого тела, 2001, том 43, вып. 12 Особенности электрон-фононного взаимодействия в нанотрубках с хиральной симметрией в магнитном поле © О.В. Кибис Новосибирский государственный технический университет, 630092 Новосибирск, Россия E-mail: Oleg.Kibis@nstu.ru (Поступила в Редакцию 16 апреля 2001 г.) Рассмотрено взаимодействие электронов с акустическими фононами в нанотрубке с хиральной симметрией при наличии магнитного поля, параллельного оси нанотрубки. Показано, что в такой системе электронный энергетический спектр асимметричен относительно инверсии волнового вектора электрона, в связи с чем электрон-фононное взаимодействие оказывается различным для одинаковых фононов со взаимно противоположными направлениями волнового вектора. Этот феномен приводит к возникновению электродвижущей силы при пространственно однородном нагреве электронного газа и к появлению квадратичного по току слагаемого в вольт-амперной характеристике нанотрубки.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 00-0217987 и 00-02-18010), Министерства образования Российской Федерации (грант № E00-3.4-506) и INTAS (грант № 99-1661).

В последнее время пристальное внимание теоретиков линии) стали предметом интенсивных исследований сраи экспериментаторов привлекают к себе низкоразмерные зу же после первого сообщения о синтезе углеродных структуры с одновременным нарушением пространствен- нанотрубок [12]. Эти нанотрубки представляют собой ной симметрии относительно инверсии координат и фун- свернутый графитовый слой, способ сворачивания котодаментальной симметрии относительно обращения врерого описывается двумя кристаллографическими парамени. Интерес к исследованию таких систем обусловлен метрами (n, m), определяющими диаметр нанотрубки и появляющимся в них асимметричным энергетическим ее хиральность [13–15]. Благодаря винтовой симметрии спектром электронов кристаллической структуры в нанотрубке отсутствует центр инверсии, а при наличии магнитного поля нару(k) = (-k), (1) шается еще и симметрия относительно обращения времени. Поэтому в углеродных нанотрубках с хиральной где k — волновой вектор электрона. Благодаря асиммесимметрией, помещенных в магнитное поле, следует трии (1) электронные свойства этих структур оказываютожидать появления аномальных кинетических эффекся различными для взаимно противоположных направлетов, подобных тем, о которых шла речь выше. Данная ний, что приводит к целому ряду принципиально новых работа посвящена первому теоретическому исследовафизических явлений [1–11]. Так, в частности, здесь вознию эффектов, обусловленных особенностями электронникает асимметрия элементарных электронных взаимофононного взаимодействия в такой структуре.

действий, заключающаяся в различном взаимодействии электронов с любыми элементарными возбуждениями (фотонами, акустическими фононами и т. д.), имеющими противоположно направленные волновые векторы [5–7].

1. Асимметрия энергетического В свою очередь асимметрия электрон-фононного взаимоспектра электронов при наличии действия приводит к новым термомагнитным эффектам, магнитного поля предсказанным теоретически в работах [8–10] и совсем недавно обнаруженным экспериментально в двумерных структурах с асимметричным квантующим потенциа- При описании нанотрубки с хиральной симметрией лом [11]. В ходе этих исследований возник вопрос воспользуемся моделью [16,17], в рамках которой нао том, существуют ли другие системы, отличные от нотрубка рассматривается как совокупность одинаковых двумерных структур, в которых будут реализовываться атомов (или атомных ячеек), расположенных с периоасимметричный энергетический спектр (1) и связанные дом b вдоль винтовой линии (схематичное изображение с его асимметрией явления. Новым низкоразмерным фрагмента нанотрубки приведено на рисунке). Пусть при твердотельным объектом, перспективным с этой точки этом диаметр винтовой линии D b, а шаг винтовой зрения, является нанотрубка с хиральной симметрией.

линии d D, так что длина одного витка винтовой Физические свойства нанотрубок с хиральной симмелинии трией (трубок диаметром около нанометра, расположение атомов в которых обладает симметрией винтовой 2D2 + d2 = N0b, 2238 О.В. Кибис где N0 есть число атомов в одном витке. Поместим нанотрубку в магнитное поле H, направленное вдоль оси винтовой линии. Если магнитное поле является достаточно слабым, то оно практически не влияет на величину модуля волновой функции электрона в отдельно взятом атоме, приводя лишь к изменениям ее фазы при переходе от одного атома к другому. В этом случае гамильтониан электрона в нанотрубке в приближении сильной связи Фрагмент нанотрубки, образованной расположенными вдоль винтовой линии атомами.

определяется выражением = |n n|H|n n| + |n n|H|n + 1 n + 1| где n D2eH (H) = 4ch + |n n|H|n - 1 n - 1| + |n n|H|n есть число квантов магнитного потока hc/e через попе+ N0 n + N0| + |n n|H|n - N0 n - N0|, (2) речное сечение нанотрубки. Рассмотрим сначала ситуацию, когда фононы в нанотрубке отсутствуют, благодаря где |n — состояние электрона, соответствующее его чему межатомные расстояния ln,m не меняются с теченахождению у атома с номером n (нумерация атомов нием времени, так что в любой момент ln,n±1 = b и n =... - 1, 0, 1... ведется вдоль винтовой линии), ln,n±N0 = d. В этом случае гамильтониан (2) принимает n|H|n = 0 — энергия электрона в изолированном вид атоме, а матричные элементы гамильтониана, определя ющие амплитуду перехода электрона от атома n к его 0 = |n 0 n| -|n A(b) exp(in+1) n + 1| четырем ближайшим соседям n ± 1 и n ± N0, имеют вид n -|n A(b) exp(in-1) n - 1| -|n A(d) n + N0| n|H|n ± 1 = -A(ln,n±1) exp(in±1), n|H|n ± N0 = -A(ln,n±N0) exp(in±N0). -|n A(d) n - N0|. (5) Здесь -A(ln,m) — вещественный интеграл перекрытия Собственно волновые функции этого гамильтониана волновых функций атомов n и m в отсутствие магнитного определяются выражением поля, зависящий от расстояния ln,m между этими атомами, а обусловленные магнитным полем фазовые сдвиги k = Cn(k)|n, (6) определяются выражениями n где амплитуда нахождения электрона у атома с номеn±Ne ром n есть n±N0 = AH(r )dr, (3) c n Cn(k) = exp(inkb) exp[-i(k)t/ ], (7) N n±e k — волновое число электрона, соответствующее его n±1 = AH(r )dr, (4) c движению вдоль винтовой линии, N — полное число n атомов в нанотрубке, а энергия электронов в нанотрубке где AH(r) — векторный потенциал магнитного поля, (H) e — модуль заряда электрона. При этом интегрирова(k) =0 - 2A(b) cos kb + Nние в (3) ведется вдоль отрезка прямой, соединяющего расположенные в соседних витках атомы n и n ± N0, а - 2A(d) cos(N0kb). (8) в (4) — вдоль отрезка, соединяющего атомы n и n ± 1.

Выбрав векторный потенциал в аксиально-симметричной Из (8) следует, что энергетический спектр электрона в калибровке нанотрубке является периодической функцией магнитного поля, причем при магнитных полях, удовлетворяющих AH = H r, условию получим из общих соотношений (3) и (4) (H) = z (z = 0, 1, 2, 3,... ), n±N0 = 0, Nвозникает интересующий нас асимметричный энергети(H) n±1 = ±2, ческий спектр (1).

NФизика твердого тела, 2001, том 43, вып. Особенности электрон-фононного взаимодействия в нанотрубках с хиральной симметрией... Прежде чем перейти к анализу эффектов, появляю- где смещение атома из положения равновесия щихся в нанотрубках благодаря асимметрии (1), адапxn = uql exp(inqla) exp[-i(ql)t], тируем нашу модель применительно к простому слуql чаю углеродных нанотрубок со слабой хиральностью типа (n, 1), где n 1. В таких нанотрубках межатомные ql — волновое число продольного фонона, амплитуда расстояния b d, вследствие чего интегралы перекрысмещения атома тия атомных волновых функций A(b) A(d). Поэтому 1/во всех дальнейших расчетах будем полагать, что uql =, 2(ql)NM b = d = a, A(b) =A(d) =A(a), частота фонона где a 10-8 cm — характерный период кристаллической (ql) =vl|ql|, структуры нанотрубки, A(a) eV — характерный интеvl — скорость продольной акустической волны, M — грал перекрытия. Ограничимся в последующем анализе масса атома. Подставим (11) в интегралы перекрытия случаем слабых магнитных полей, удовлетворяющих и учтем, что изменение межатомного расстояния вследусловию (H) ствие наличия фононов существенно меньше кристалли 1, (9) ческого периода a, так что Nи будем рассматривать ситуацию, когда электроны за|xn - xn±1| 1.

нимают состояния в небольшой окрестности минимума a энергетической зоны (8), расположенного в отсутствие Тогда, разлагая интегралы перекрытия атомных волномагнитного поля в точке k = 0. Выбирая начало отсчета вых функций A(ln,m) в ряд по степеням этого малого энергии в точке минимума, получим из соотношения (8), параметра и ограничиваясь величинами первого порядка что энергетический спектр электрона вблизи этого мималости, получим из (2) нимума при наличии магнитного поля имеет вид (k - kH)2 = 0 + ql. (12) k =, (10) ql 2m где сдвиг минимума зоны проводимости под действием Здесь ql — гамильтониан взаимодействия электрона с магнитного поля продольным фононом ql, определяемый выражением kH = - (H), 3 ql = |n n|Hql |n + 1 n + 1| aNn а эффективная масса электрона + |n n|Hql |n - 1 n - 1|, (13) m =.

2 где матричные элементы 2A(a)N0 a n|Hql |n + 1 =(/a)uql exp[-i(ql)t] exp(inqla) 2. Пространственная асимметрия exp(in+1)[exp(iqla) - 1], электрон-фононного взаимодействия n|Hql |n - 1 =(/a)uql exp[-i(ql)t] exp(inqla) exp(in-1)[1 - exp(-iqla)], В рассматриваемой нанотрубке фононные состояния описываются волновым числом q, характеризующим раса константа деформационного потенциала нанотрубки пространение акустической волны вдоль винтовой линии.

dA(l) При этом могут существовать продольные акустические =-a.

фононы (для которых смещения атомов из положения dl l=a равновесия происходят вдоль винтовой линии) и попеВероятность поглощения электронами фонона ql опреречные акустические фононы (для которых смещения деляется хорошо известным квантово-механическим соатомов происходят в направлении, перпендикулярном отношением винтовой линии). Рассмотрим взаимодействие электроfBE(ql) нов с этими различными типами колебаний кристаллиWa(ql) = k |ql |k ческой решетки при наличии асимметричного энергетиk k ческого спектра (1).

fFD(k)[1 - fFD(k )], (14) В присутствии продольных фононов координата xn атома n вдоль винтовой линии определяется соотношением где fBE(q) — функция распределения Бозе–Эйнштейна xn = na + xn, (11) для фонона в состоянии с волновым числом q, fFD() — Физика твердого тела, 2001, том 43, вып. 2240 О.В. Кибис функция распределения Ферми–Дирака для электрона расстояние между атомами, расположенными в различв состоянии с энергией, а k |ql |k есть матрич- ных витках винтовой линии. При наличии поперечных ный элемент электрон-фононного взаимодействия, со- фононов координата zn атома n вдоль оси винтовой линии ответствующий переходу электрона из состояния k в определяется соотношением состояние k при поглощении фонона ql. Подставляя zn = na + zn, (20) в этот матричный элемент явные выражения для волновой функции (6), (7) и для гамильтониана электронгде смещение атома из положения равновесия фононного взаимодействия (13), получим zn = uqt exp(inqta) exp[-i(qt)t], 2 1/qt 2 k |ql |k = i a N (ql)NM qt — волновое число поперечного фонона, амплитуда смещения атома (k + (ql) - k )(k + ql - k ) 1/uqt =, (H) 2(qt)NM sin [ql + k]a + Nчастота поперечного фонона (H) - sin ka + 2. (15) (qt) =vt|qt|, Nа vt — скорость поперечной акустической волны. ПодстаИз (14), (15) с учетом (10) получаем, что в линейном вим (2) в интегралы перекрытия и учтем, что изменение порядке по магнитному полю вероятность поглощения межатомного расстояния вследствие наличия фононов продольного фонона в единицу времени на единице существенно меньше шага винтовой линии, так что длины винтовой линии определяется выражением |zn - zn±1| 1.

4amvl ql a wa(ql) =wa0(ql) 1 - (H), (16) N0 |ql| Тогда, разлагая интегралы перекрытия атомных волновых функций A(ln,m) в ряд по степеням этого малого где параметра и ограничиваясь величинами первого порядка малости, получим из (2) 42m mvl |ql| wa0(ql) = fFD vlMN 2m = 0 + qt. (21) qt mvl |ql| 1 - fFD + fBE(ql) (17) Здесь qt — гамильтониан взаимодействия электрона с 2m поперечным фононом qt, определяемый выражением есть вероятность поглощения фонона в отсутствие магqt = |n n|Hqt |n + N0 n + N0| нитного поля. Соответственно вероятность излучения n продольного фонона ql определяется выражением + |n n|Hqt |n - N0 n - N0|, (22) 4amvl ql we(ql) =we0(ql) 1 - (H), (18) где матричные элементы N0 |ql| n|qt |n + N0 =(/a)uqt exp[-i(qt)t] где exp(inqta)[exp(iN0qta) - 1], 42m mvl |ql| we0(ql) = fFD + vlMN 2m 2 n|Hqt |n - N0 =(/a)uqt exp[-i(qt)t] 2 exp(inqta)[1 - exp(-iN0qta)].

mvl |ql| 1 - fFD - [ fBE(ql) +1] (19) Соответственно вероятность поглощения электронами 2m поперечного фонона есть вероятность излучения фонона в отсутствие магнитfBE(qt) Wa(qt) = k |qt |k ного поля.

k k Анализ взаимодействия электронов с поперечными акустическими фононами по идее аналогичен прове fFD(k)[1 - fFD (k )], (23) денному выше анализу взаимодействия с продольными фононами. Отличие от случая продольных фононов за- где матричный элемент электрон-фононного взаимодейключается лишь в том, что поперечные фононы меняют ствия, соответствующий переходу электрона из состояФизика твердого тела, 2001, том 43, вып. Особенности электрон-фононного взаимодействия в нанотрубках с хиральной симметрией... ния k в состояние k при поглощении фонона qt, есть грева. В этом случае распределение фононов по энергии описывается функцией Бозе–Эйнштейна 2 1/2 k |qt |k = i - (q) a N (qt)NM fBE(q) = exp - 1, kBT (k + (qt) - k )(k + qt - k ) где T — температура кристаллической решетки, а рас sin (N0[qt + k]a) - sin (N0ka). (24) пределение электронов по энергии описывается функцией Ферми–Дирака Из (23) и (24) с учетом (10) получаем, что в линейном порядке по магнитному полю вероятность поглощения - F -поперечного фонона в единицу времени на единице fFD() = exp + 1, kBTe длины винтовой линии определяется выражением где Te — электронная температура. При Te < T происхо4amvt qt wa(qt) =wa0(qt) 1 + (H), (25) дит передача энергии от фононной системы к электрон N0 |qt| ной системе, сопровождающаяся поглощением фононов где электронами. При Te > T, наоборот, происходит передача энергии от электронов к фононной системе, сопрово2 42mN0 mvt |qt| ждающаяся излучением фононов. Поскольку вероятноwa0(qt) = fFD сти электрон-фононного взаимодействия различны для vtMN 2m фононов с противоположными направлениями волнового вектора, передача энергии сопровождается изменением mvt |qt| 1 - fFD + fBE(qt) (26) импульса электронной системы, что приведет к появле2m нию электродвижущей силы при Te = T. Этот феномен представляет собой частное проявление универсального есть вероятность поглощения поперечного фонона в отэффекта [7], заключающегося в возникновении ЭДС при сутствие магнитного поля.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.