WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Физика твердого тела, 2006, том 48, вып. 12 Фононный спектр двухслойных углеродных нанотрубок © Г.С. Иванченко, Н.Г. Лебедев Волгоградский государственный университет, 400062 Волгоград, Россия E-mail: genaivanchenko@yandex.ru, nikolay.lebedev@volsu.ru (Поступила в Редакцию 12 января 2006 г.) Представлены результаты исследования фононных спектров углеродных нанотрубок в рамках модели периодического кластера. Особое внимание уделено спектру двухслойных нанотрубок. Показано, что он разделен на две подзоны: наблюдаются акустические и оптические ветви колебаний. Обнаружена особенность дисперсионных фононных кривых — „дублетный“ характер. В спектре наблюдается акустическая ветвь, соответствующая взаимным продольным колебаниям двух нанотрубок, из которых состоит двухслойная углеродная нанотрубка, друг относительно друга.

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант № 04-03-96501).

PACS: 61.46.Fg, 63.22.+m 1. Введение 8 частот ИК-активных мод (A2u + 7E1u) и 16-раманактивных частот (4A1g + 4E1g + 8E2g). Важно отметить, Фононные моды углеродных нанотрубок (НТ) [1,2] что число ИК- и раман-активных мод не зависит от были определены с помощью методик, подобных примедиаметра НТ. Это остается справедливым для других няемым при вычислении их электронных свойств [1–7].

классов НТ. Однако частоты этих мод изменяются с Поскольку элементарная ячейка НТ содержит 2N атодиаметром.

мов, общее число степеней свободы будет 6N. Для опреВ случае „arm-chair“ НТ с Dnd симметорией (n нечетделения, какие из мод являются активными в спектрах но) аналогичные исследования приводят к тому, что ИК-поглощения и рамановского рассеяния, используется будет существовать 7 ИК-активных и 15 раман-активных теория групп [8,9]. Колебательное представление может частот. „Zig-zag“ НТ Dnh- и Dnd-симметрией будут также быть разложено по неприводимым представлениям тоиметь 7 ИК-активных и 15 раман-активных частот.

чечной группы, соответствующей данной НТ. Так, для Хиральные НТ принадлежащие к группам симметрии (n, n) НТ Dnh симметрии (т. е. те, для которых n есть четCn-типа, для которых колебательное представление соное число, а n/2 нечетно) колебательное представление держит следующие неприводимые представления [1,3]:

должно быть разложено по следующим неприводимым vib представлениям [1,3]:

= 6A + 6B + 6E1 + 6E2 +... + 6E(N/2-1)g. (2) vib = 4A1g + 2A1u + 4A2g + 2A2u + 2B1g + 4B1u В этом случае моды A и E1 оказываются ИК-активными, а моды A, E1 и E2 — раман-активными. Имеется + 2B2g + 4B2u + 4E1g + 8E1u + 8E2g + 4E2u существенная разница между (n, n) и (n, 0) НТ, с одной стороны, и хиральными — с другой. В первом случае +... + 8E(n/2-1)g + 4E(n/2-1)u. (1) свертывание зоны приводит к переносу точки M в центр (Если n/2 четно, то коэффициенты 8 и 4 во второй зоны Бриллюэна (точка ), тогда как для хиральных строке перед неприводимыми представлениями E-типа труб точка M никогда не накладывается на точку.

взаимно переставляются.) Это предполагает, что для (n, n) и (n, 0) НТ должен Например, для (6,6) трубки N = 12 (число степеней быть больший разброс в ИК- и раман-частотах, чем для свободы равно 72) формула (1) дает 48 различных хиральных труб.

нормальных мод, поскольку для n/2 - 1 = 2 последние Частоты колебательных мод однослойных НТ могут vib два члена в отсутствуют. В центре зоны Бриллюэна быть вычислены из спектра двумерного графенового одна A2u, одна E1u и одна A2g моды имеют нулевые слоя с помощью уравнения [1,3] частоты, так как они соответствуют трансляциям вдоль оси трубы или перпендикулярно ей и вращениям вокруг 1D(k) =2D(kK2 + µK1), µ = 0, 1, 2,..., N - 1, этой оси.

Чтобы проанализировать, какие моды являются ИК- где 1D — частота колебательной моды для одномерной активными, а какие — раман-активными, можно ис- трубы, 2D — частота для двумерного графенового слоя, пользовать соответствующие характеристические таб- k — волновой вектор в направлении K2 в обратном лицы [8,9]. Для Dnh группы A2u и E1u являются ИК-актив- пространстве (т. е. вдоль оси трубы) и µ есть целое число ными, тогда как A1g, E1g и E2g будут раман-активными. волновых векторов вдоль направления K1 перпендикуТаким образом, в центре зоны Бриллюэна оказываются лярно оси трубы.

2224 Г.С. Иванченко, Н.Г. Лебедев Это выражение используется для вычисления измене- Используя гамильтониан, можно записать уравнения ния ИК- и раман-активных мод от НТ радиуса. Часто- движения атомов ты вычисляются в центре зоны Бриллюэна, поскольку i j = -, только моды, близкие к этой точке, являются раман- и qi j ИК-активными. В спектрах первого порядка.

решение которых будем искать в виде плоских волн rAj = A exp(it - ikrAj), rBj = B exp(it - ikrBj).

i i i i 2. Фононный спектр однослойных После подстановки решений в уравнения колебаний углеродных нанотрубок получается система линейных алгебраических уравнеФононный спектр однослойных углеродных нанотру- ний, из условия разрешимости которой следует диспербок (ОУНТ) был рассчитан методами классической сионное уравнение механики (Гамильтонов формализм) в приближении 2 графитового слоя [10]. Геометрическая модель ОУНТ (2 - 60)2 - 40 3 + 2cos 3 ackx наглядно изображена на рис. 1. При этом соседние атомы кристаллической решетки изначально считаются 3 + 2cos ackx + acky неидентичными (узлы A соединены только с узлами B, 2 и наоборот), Тогда радиус-векторы узлов подрешеток A и B можно представить в виде 3 + 2cos ackx - acky = 0. (4) 2 rAj = i + j, rBj = i + j, rBj = rAj =, 1 2 1 2 i i i i Решения уравнения имеют вид где векторы — базисные векторы трансляций графиs 2 1,2 = 60 ± 2 µ, (5) тового слоя (s = 1, 2, 3).

Запишем обобщенные импульсы атомов обоих типов где µ = 1 + 4cos2 acky pAj = Ajm, pBj = Bjm.

i i i i Гамильтониан ОУНТ в гармоническом приближении 3 можно записать в следующем виде: + 4cos ackx cos acky.

2 (pAj)2 (pBj)2 N Для того чтобы перейти к дисперсионным соотноi i = + + rAj - rB j i i-1, шениям для НТ, рассмотрим циклические граничные 2m 2m i, j i, j условия. Пусть N — число гексагонов по периметру НТ, тогда 2 2 + rAj - rB j+1 + rAj - rBj + rBj - rA+1, j i i-1, i i i i r4j = rA j, i i+N, окончательный вид граничных условий принимает вид + rBj - rA j-1 + rBj - rAj, (3) i i+1, i i 3 3 n kxac + kyac = 2. (6) где m — масса атома углерода, N — константа связи 2 2 N соседних атомов углерода.

Аналогичны граничные условия вдоль длины НТ.

Пусть M — число гексагонов вдоль оси НТ, тогда циклические граничные условия будут иметь вид 3 3 3 m kx a - kya = 2. (7) 2 2 M Из граничных условий можно выразить kx и ky n m 1 n m kx = +, ky = -. (8) a N 3M a N M На рис. 2–4 изображены дисперсионные кривые фононов в различных ОУНТ. На графиках видны акустические и оптические ветви колебаний, фононный спектр разделен на две подзоны. Для полупроводниковых НТ (рис. 2) наблюдается запрещенная щель в фононном спектре шириной около 0.02 eV. Проводящие УНТ (рис. 3, 4) такой щели в фононном спектре не имеют.

Полученные результаты хорошо согласуются с имеюРис. 1. Геометрическая модель ОУНТ. щимися данными по фононным спектрам ОУНТ [11].

Физика твердого тела, 2006, том 48, вып. Фононный спектр двухслойных углеродных нанотрубок и наоборот). Соседние слои ДУНТ считаем расположенными по типу упаковки ABAB (рис. 5, a). Тогда радиусвекторы узлов подрешеток A и B одной ОУНТ и C и D другой ОУНТ можно представить в виде raj = i + j, rbj = raj +, 1 2 i i i rcj = rbj +, rdj = rcj +.

4 i i i i Обобщенные импульсы атомов обоих типов paj = qajm, pbj = qbjm, pcj = qcjm, pdj = qdjm.

i i i i i i i i Гамильтониан ДУНТ в гармоническом приближении Рис. 2. Фононный спектр углеродной (8,0) ОНТ.

можно записать в следующем виде:

= (paj)2 +(pbj)2 +(pcj)2 +(pdj)i i i i 2m i, j + N0 (raj - rbj)2 +(raj - rbj-1)i i i i i, j +(raj - rb+1, j-1)2 +(rcj - rdj)2 +(rcj - rdj-1)i i i i i i +(rcj - rd+1, j-1)2 + N1(rcj - rbj)i i i i + N2 (rdj - raj+1)2 +(rdj - ra-1, j+1)i i i i +(rdj - ra-1, j+2) +(rdj - rbj)2 +(rdj - rbj+1)i i i i i i Рис. 3. Фононный спектр углеродной (9,0) ОНТ.

+ (rdj - rb-1, j+1)2, (9) i i где m — масса атома углерода; N0, N1, N2 — константы различных связей атомов углерода в отдельных графитовых слоях и между слоями.

Аналогично случаю ОУНТ можно записать уравнения движения атомов с учетом гамильтониана, решение которых также выбирается в виде плоских волн. Далее также получается система однородных линейных алгебраических уравнений. Решая эту систему, получаем Рис. 4. Фононный спектр углеродной (5,5) ОНТ.

3. Фононный спектр двухслойных нанотрубок Фононный спектр двухслойных углеродных нанотрубок (ДУНТ) был рассчитан методом, продемонстрированным выше [12]. Геометрическая модель ДУНТ наглядно изображена на рис. 5. При этом соседние Рис. 5. Геометрическая структура модели ДУНТ: a —распоатомы кристаллической решетки изначально считаются ложение графитовых плоскостей со структурой упаковки тинеидентичными (узлы A соединены только с узлами B, па ABAB; b — схема диагональных переходов между трубками.

8 Физика твердого тела, 2006, том 48, вып. 2226 Г.С. Иванченко, Н.Г. Лебедев дисперсионное уравнение для нахождения фононного спектра ДУНТ, 6 2 2 2 2 4 2 2 0 - 2(32 + 1)0 + 2(-1 + 2) 3 2cos kxa0 cos kxa2 + cos 3 ky a0 - + 20 2cos 3 ky a0 cos(3kx a0) +cos( 3 kya0) - 8 2 2 + 200 + 12 -62 - 1 + 22 Рис. 7. Фононный спектр ДУНТ (8,8)@(13,13).

4 2 2 2 + -902 + 6(42 - 71)2 - 42(-1 + 2) 4 2 2 2 2 + 2 -182 +(182 - 211)2 + 221 2 2 2 - 2 6(1 - 2)2 +(22 - 31)2 1 2cos 3 ky a0 cos kxa2 8 + cos 3 ky a0 - 1 + 420 + 36 1 - 2 6 4 2 + 62 0 + 12 242 +(-242 + 111)Рис. 8. Фононный спектр ДУНТ (10,10)@(15,15).

2 4 4 2 + 42(-1 + 2) 0 + 6 182 +(221 - 372)2 2 2 + 2(-101 + 92)22 + 314 - 26 так же как в ОУНТ, фононный спектр разделен на 2 6 2 две подзоны: наблюдаются акустические и оптические + 36(1 - 2)2 + 3(-181 + 132)ветви колебаний. В спектре ДУНТ, составленных из 2 2 проводящих ОУНТ, также отсутствует щель. Кроме + 3(-42 + 71)42 + 6(2 - 21) =0.

того, хорошо видна особенность дисперсионных кривых, (10) соответствующих ДУНТ — это „дублетные“ кривые.

Циклические граничные условия ставятся аналогично При стремлении k 0, наблюдается акустическая ветвь случаю ОУНТ.

с частотой, стремящейся к 0. Данная мода колебаний На рис. 6–8 изображены дисперсионные кривые фосоответствует смещению ДУНТ как целой. Но наблюнонов в различных ДУНТ. На графиках видно, что, дается и вторая акустическая ветвь, соответствующая взаимным продольным колебаниям двух НТ, из которых состоит ДУНТ, друг относительно друга.

4. Заключение Сформулируем основные полученные результаты и выводы.

1) Проведено исследование фононных спектров однослойных и двухслойных УНТ в рамках модели периодического кластера. Полученные фононные спектры ОУНТ в целом согласуются с литературными данными.

В спектрах полупроводящих трубок существует щель между акустической и оптической зонами в отличие Рис. 6. Фононный спектр ДУНТ (5,5)@(10,10). от проводящих НТ. Кроме того, в „zig-zag“ структурах Физика твердого тела, 2006, том 48, вып. Фононный спектр двухслойных углеродных нанотрубок обнаружены фононные моды, соответствующие стоячим волнам, в которых атомы колеблются в противофазе, компенсируя перенос энергии.

2) Обнаружена особенность дисперсионных кривых, присущая ДУНТ. „Дублетные“ фононные моды отличают двухслойные трубчатые структуры от других объектов. Данная особенность может быть использована для экспериментальной идентификации таких объектов.

3) Данная особенность фононного спектра ДУНТ может влиять на характер проводимости при учете электрон-фононного взаимодействия. Это является предметом дальнейших исследований.

Авторы статьи выражают горячую благодарность М.Б. Белоненко (Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет) за продуктивное обсуждение результатов настоящей работы и ценные советы.

Список литературы [1] П. Харрис. Углеродные нанотрубы и родственные структуры. Новые материалы XXI века. Техносфера, М. (2003).

336 с.

[2] S. Reich, C. Thomsen, J. Maultzsch. Carbon nanotubes. Basic concepts and physical properties. Wiley-VCH Verlag, Berlin (2003). 218 p.

[3] M.S. Dresselhaus, G. Dresselhaus, P.C. Eklund. Science of fullerenes and carbon nanobutes. Academic Press, N.Y. etc.

(1996). 965 p.

[4] R.A. Jishi, M.S. Dresselhaus, G. Dresselhaus. Phys. Rev. B 47, 16 671 (1993).

[5] R.A. Jishi, L. Venkataraman, M.S. Dresselhaus, G. Dresselhaus. Chem. Phys. Lett. 209, 77 (1993).

[6] R.A. Jishi, D. Inomata, K. Nakao, M.S. Dresselhaus, G. Dresselhaus. J. Phys. Soc. Japan 63, 2252 (1994).

[7] P.C. Eklund, J.M. Holden, R.A. Jishi. Carbon. 33, 959 (1995).

[8] Р.А. Эварестов, В.А. Смирнов. Методы теории групп в квантовой химии твердого тела. ЛГУ, Л. (1987). 375 с.

[9] А.Б. Болотин, Н.Ф. Степанов. Теория групп и ее применение в квантовой механике молекул. UAB „Elcom“, Вильнюс (1999). 248 с.

[10] Г.С. Иванченко, Н.Г. Лебедев. В сб.: Шестая Всероссийская молодежная конференция по физике полупроводников и полупроводниковой опто- и наноэлектронике. С.-Петербург (2004). С. 81.

[11] R. Saito, M.S. Dresselhaus, G. Dresselhaus. Physical properties of carbon nanotubes. Imperial College Press (1999). 251 p.

[12] G.S. Ivanchenko, N.G. Lebedev. In: Abstracts of 7th Biennial International Workshop „Fullerenes and Atomic clusters“ St. Petersburg, Ioffe Physico-Technical Institute (2005). P. 281.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.