WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Заметим, что упомянутую экспоненциальную малость 3) Т р е т и й п о р я д о к. Как и член уже нельзя объяснить, как в первом порядке, первого порядка, этот член вносит вклад в расщепление экспоненциально малым перекрытием невозмущенных уровня. Согласно (28), вклад E(3) состоит из двух членов.

функций на разных узлах. В общие выражения (24)–(26) Первый пропорционален величине S (30) и равен под знаком суммы входят интегралы An10, An1n2, ni = 0, которые в окрестности некоторого n = 0 всегда порядка J( E13) =-s S.

единицы (подробнее об этом см. п. 2 раздела 5).

( )Обратим внимание на то, что основной вклад в расОн приводится к виду сматриваемые интегралы вносит окрестность верхнего предела, что в переменных xi соответствует окрестности J(3) (x1 = 0, x2 = 0... ).

E1 = - s exp(-q2/2) ( )На рис. 1 представлены в зависимости от q энергии компонент дублета основного состояния 1 dx1 dx exp -q2(1 - x1)(1 - x2) Jx1 xEs = ±J exp(-q2/2) - f (q), (36) 0 4Ep - exp -q2(1 - x1) - exp -q2(1 - x2) отсчитанные от Ep. С ростом q компоненты экспоненциально быстро сближаются, а их энергии при дальнейшем + exp(-q2). (35) росте q убывают как q-2.

Вычисления поправок к энергии в низших порядках Вклад последних трех членов в скобках, очевидно, экс- обнаруживают существенное различие в характере их поненциально мал ( exp(-3q2/2) или exp(-q2/2)). поведения с ростом константы g электрон-колебательной Показатель экспоненты первого члена равен связи. Именно вклады, ответственные за сдвиг центра -q2(1 - x1)(1 - x2) 0 и, очевидно, не может тяжести дублета основного состояния (т. е. четного покомпенсировать стоящий перед интегралом множитель рядка по J), убывают с ростом g степенным образом, exp(-q2/2). в то время как вклады, ответственные за расщепление 4 Физика твердого тела, 1997, том 39, № 2164 Ю.А. Фирсов, Е.К. Кудинов дублета (нечетного порядка по J), убывают экспонен- (мы ввели безразмерные переменные x = x/l, x0 = x0/l).

циально. Мы не располагаем доказательством того, что Учитывая (38), а также (20), получаем это различие реализуется во всех порядках теории возsJ мущений,11 однако полагаем, что изложенного в данной s(x) =0(x -0) + x работе достаточно, чтобы отнестись к высказанному утверждению серьезно.

+ Одно важное различие между членами ряда четного K(x - x0, x - x0)0(x + x0)dx, (39) и нечетного порядков для энергии основного (n = 0) состояния легко усмотреть во всех порядках теории возмущений. После выполнения процедуры поднятия где энергетических знаменателей в экспоненту и перехода к K(x, x ) = n(x)n(x ) суммированию по полному набору состояний (см. выше) n n=члены ряда будут иметь вид произведений выражений типа dz = znn(x)n(x ). (40) 0|-1(x1)(x2)-1(x3)(x4)... -1(x2k-1)(x2k)|0 z n=для четного числа 2k операторов и Подставляя явные выражения для осцилляторных функций, получим 0|(x1)-1(x2)(x3)... -1(x2k-2)(x2k-1)|для нечетного числа. При этом операторы и -K(x, x ) = exp -(1/2)(x2 + x 2) чередуются. Если положить в таком выражении все xi равными, то член с четным числом операторов будет dz (z/2)равен единице, поскольку -1(x)(x) = 1. В чле Hn(x)Hn(x ), (41) z n! не же с нечетным числом операторов останется один n=нескомпенсированный оператор, и результатом будет где Hn(x) — полиномы Эрмита. Сумма в (41) равна (см., -1(x) = exp(-q2/2). Отсюда следует, что при сонапример, [10]) впадающих аргументах член ряда теории возмущений нечетного порядка экспоненциально мал exp(-q2/2), 1 2zxx - z2(x2 + x 2) а член четного порядка такой малости не содержит. exp - 1. (42) 1 - z1 - z5. Волновая функция Используя (40)–(42), можно записать s(x) следующим образом:

1) Те о р и я в о з му ще н и й д л я в о л н о в о й ф у н к ц и и. Процедура вычисления поправок к s(x) = exp -(1/2)(x - x0) волновой функции является более громоздкой, и мы 1/ограничиваемся нахождением поправки первого порядка.

sJ Используя (27), получим выражение для s(x) + exp -(1/2)(x - x0)2 - x 1/ sJ dz s(x) =0(x) + A-1n(x). (37) 0n exp -z2x2 - 2zx0(x - x0) - 1 (43) 0 n n=1 z Более наглядным является выражение в представлении (мы записали 0 в явном виде). При малых x0 s(x) смещенных осцилляторов. Используя выражение (9) для имеет максимум в окрестности x0. С возрастанием x U, общее выражение для волновой функции (11), а также появляется второй максимум в области x < 0. При связь двух рассматриваемых представлений волновой x0 положение максимумов стремится к ±x0, функции причем значение функции при -x0 убывает как 1/x2.

=U-1, Характер поведения функции изображен на рис. 2.

нетрудно получить, что в этом представлении 2) Пе р е к р ы т и е в о л н о в ы х ф у н к ц и й.

Пусть задан гамильтониан s(x) = s(x -0)(38) x H = H0 + V. (44) Мы убедились, что в четвертом порядке ситуация сохраняется.

Что, конечно, не означает, что отдельные слагаемые в члене четного порядка не могут быть порядка exp(-q2/2). Напомним также, Для простоты будем считать, что V не зависит от.

что выше мы отметили, что основной вклад в вычисленных поправках Пусть n — собственная функция H, нормированная на вносит окрестность (xi = 0). Заметим также, что рассмотрение единицу, свойств ряда теории возмущений может оказаться базой для доказательства экспоненциальной малости расщепления во всех порядках. Hn = Enn. (45) Физика твердого тела, 1997, том 39, № Двухузельная модель и ее связь с моделью поляронного кристалла В соответствии с установленным ранее правилом функ ции s(x) имеют вид s(x) = g(x) +su(x), (54) где g — сумма членов четных по J, а u — сумма нечетных членов. Нетрудно сообразить, что в (50) войдут только четные по J порядки, а в (51) — только нечетные, что обеспечивает надлежащие порядки малости.

Видно, что выражения (50), (51) позволяют найти интегралы перекрытия функций s, относящихся к разным узлам, если известны только уровни энергии Es (не требуется вычисления волновых функций). Так, используя выражение (36) для энергии, вычисленной с точностью до J2, с помощью(49), (52), (53) получим для Рис. 2. Координатная часть волновой функции основного модуля интеграла перекрытия состояния как функция x (в единицах x0) для значений x0 = 1.и 2.5. J/ =1. + dEs s(x - x0)s(-x - x0)dx = dJ Тогда имеем общее соотношениеJ = s exp(-q2/2) + f (q).

dEn 2Ep = Vndv. (46) n d Этот результат можно получить и непосредственным вычислением с использованием приближенных волновых Применим это соотношение к нашей функции s. Имеем функций этого раздела.

Из всего сказанного выше следует, что интеграл s = s(x)+|0 + ss(-x)+|0, (47) 1 2 перекрытия не содержит экспоненциальной малости exp(-q2/2), но в разности интегралов, относящихся к = - J exp -q(b+ - b) a+a2 компонентам дублета, главные члены сокращаются, и она оказывается экспоненциально малой. + exp q(b+ - b) a+a1. (48) 6. Обсуждение результатов Роль играет -J. Получим Основным результатом данной работы следует считать dEs = sdv. (49) s ообнаружение специфики ряда теории возмущения по dJ J J для энергии Es основного состояния рассматриваеВоспользовавшись формулами (17a), (17b) для сдвига и мой модели: сумма членов порядка определяет центр расщепления основного состояния, получаем соотноше- тяжести E дублета n = 0, в то время как сумма ния членов нечетного порядка по модулю равна половине расщепления E дублета. При этом E пропорционально d величине exp(-q2/2), т. е. убывает экспоненциально при E = (11) +(-1 -1), (50) dJ 2J стремлении константы g электрон-колебательной связи к бесконечности, в то время как E убывает степенd E = (11) - (-1-1). (51) ным образом. Подчеркнем, что при достаточно больших dJ 2J значениях g главным членом в ряду теории возмущения Выражения (ss) равны для Es является член второго порядка J2. Упомянутая специфика является проявлением отмеченного в разде (11) =-J 1(x -x0)1(-x -x0)dx, (52) ле 1 двукратного вырождения уровней невозмущенного гамильтониана H0.

В работах [7,8] был предпринят численный расчет (-1 -1) =J -1(x -x0)-1(-x -x0)dx. (53) волновых функций и уровней энергии рассматриваемой модели. Мы проанализировали часть полученного там Это соотношение часто используется в статистической механике. Достаточно продифференцировать по тождество Мы полагаем, что дифференцирование по J не меняет оценки веEn = (H0 + V)n. Член с производными от -функций личин E и E (предварительное исследование показало, что сходная n выпадает в силу (45), эрмитовости H и нормированности n. картина реализуется и в двухэлектронной задаче).

Физика твердого тела, 1997, том 39, № 2166 Ю.А. Фирсов, Е.К. Кудинов расчетного материала, связанного с затронутым в данной декларируемое в работе [8] расхождение между численработе вопросом, и установили, что он хорошо описы- ным расчетом и вычислениями по теории возмущений вается в рамках теории возмущений по J вплоть до является следствием некорректного использования ее совпадения порядков численных величин. Это относится авторами теории возмущения. Во избежание недоразук данным, приведенным на рис. 1 и 2, а также к данным, мений заметим, что величину нельзя рассматривать представляемым формулами (49)–(52) нашей статьи. как характеристику зоны, как это представлено в [8], так Однако с интерпретацией авторами [7,8] полученных как она характеризует одно квантовое состояние (один ими результатов и выводами, которые они делают, мы из термов дублета), а зона есть группа состояний. В согласиться не можем. рассматриваемой модели при заданном n имеются два Необходимо отметить, что авторы [8] часто ссылаются состояния s, s = ±1, на которые расщепляется двукратна работы [4,5] (обозначая их как LF) в аспекте полеми- но вырожденное состояние гамильтониана H0 при учете ки. Из [8] следует, что ”подход LF” они отождествляют V J. Эту пару состояний с энергиями Es и следует с низшим ( J) порядком теории возмущения. Мы не рассматривать как прообраз зоны, а E = |E1 - E-1| — согласны с подобным отождествлением, во-первых, пото- как ее ширину. Согласно (50)–(52), E связана с разному, что результат J принадлежит Холстейну (так этот стью интегралов перекрытия в состояниях 1 и -1 и, подход и следовало бы называть), во-вторых, поскольку как показано выше, экспоненциально мала при больших необходимость выхода за рамки низшего приближения g, так как неэкспоненциальные члены в разности сокраавторам [4,5] (и других работ этого цикла) была ясна с щаются. На рис. 4 работы [8] представлены величины самого начала и значительное число конкретных резуль- n(k = )± = (1/2)(1 - a+a2 +a+a1 ), которые ± 1 татов было получено именно в этом направлении. Фак- являются с точностью до постоянного слагаемого велитически, все полемические замечания в [8] относительно чинами ±1 для четного (1) и нечетного (-1) термов ”подхода LF” основаны на упомянутом отождествлении. основного состояния. Как видно из рис. 1, b работы [8], Продемонстрируем сказанное на конкретных приме- с ростом константы электрон-колебательной связи они рах. На рис. 1, a работы [8]15 приведена зависимость быстро сближаются, сливаясь в единую кривую, котовычисленной ими величины рая стремится к горизонтальной асимптоте по закону, близкому к следующему из теории возмущений g-2.

=(1/2) a+a2 +a+a1 2 Сравнение с рис. 1 нашей работы обнаруживает полную аналогию поведения рассматриваемых термов при для основного состояния n = 0 от константы электронбольших g (примечательно, что слияние кривых на обоих колебательной связи g.16 Авторы сравнивают свой рисунках происходит при близких значениях константы результат с величиной связи 1.8), и мы не сомневаемся, что численный расчет показал бы, что расстояние между кривыми 1 =(1/2) a+a2 +a+a1, 1 n(k = )± убывает с ростом g экспоненциально, откуда вычисленной в низшем порядке ( J) теории возму- следует и экспоненциальное убывание ширины зоны.

щений, и отмечают, что зависимость от g вычисленной Обнаружение этого факта могло бы стимулировать более величины резко отличается от экспоненциального убы- тщательное исследование пертурбационного ряда для вания 1. На рис. 1, b работы [8] изображено отношение рассматриваемой задачи. К сожалению, авторы [8] такого /1 от = J/. Это отношение при разумных исследования не провели. По нашему мнению, в рассмазначениях J/ может составлять много порядков, что триваемой области параметров (большие g и малые J) свидетельствует о несостоятельности низшего порядка нет необходимости в численных расчетах, поскольку растеории возмущений. Дело, однако, в том, что главным смотрение в рамках теории возмущения по J достаточно членом пертурбационного ряда для при больших g полно представляет картину, а серьезных оснований является член второго порядка 2 J2 (см. (34)), предполагать наличие особенности при J = 0 нет.который не содержит экспоненциальной малости (см. Однако численные расчеты могут быть весьма полезны раздел 4 настоящей работы). Поэтому для корректного для области больших J. Приведем соображения о том, сравнения численных расчетов с теорией возмущения что можно ожидать с увеличением J. Величину E следует использовать не /1, а /2. В области не можно представить в виде ряда по нечетным степеням слишком больших J/ и достаточно больших g это |J| следующим образом:

отношение будет порядка единицы.17 Таким образом, E = |J| = |J| exp(-q2/2) DkJ2k, (A) Ссылки на [8] даются по ее препринту. Мы используем для величин обозначения, принятые в настоящей статье.

k=(Авторы [8] используют не вполне корректную запись где коэффициенты Dk убывают с ростом g не быстрее, = a+a2 ). Согласно (51), (52), величина связана с интегралом перекрытия колебательных амплитуд (x) волновой функции чем степени g-1. Мы полагаем, что этот ряд сходится основного состояния, относящихся к разным узлам.

17 Мы убедились в этом, воспользовавшись данными рис. 1, b из [8] Об этом свидетельствует и то, что авторы [8] не упоминают о и формулами (34), (48), при этом расхождение численных значений каких-либо трудностях, связанных со сходимостью вычислительной оказывается в пределах 30%. процедуры.

Физика твердого тела, 1997, том 39, № Двухузельная модель и ее связь с моделью поляронного кристалла при достаточно малых |J|. Представляет принципиаль- Список литературы ный интерес выяснить поведение ряда из (A) с возра[1] K. Huang, A. Rhys. Proc. Roy. Soc. A204, 406 (1950).

станием |J|. Ясно, что при любом значении константы [2] М.А. Кривоглаз, С.И. Пекар. Тр. Ин-та физики АН УССР g можно выбрать |J| настолько большим, что электрон4, 37 (1953).

колебательную связь [3] T. Holstein. Ann. Phys. 8, 325, 343 (1959).

[4] И.Г. Ланг, Ю.А. Фирсов. ЖЭТФ 43, 5, 1843 (1962).

V = -g(n1 - n2)x [5] Поляроны. Сборник / Под ред. Ю.А. Фирсова. Наука, М.

(1975).

допустимо рассматривать как малое возмущение гамиль[6] A.S. Alexandrov, V.V. Kabanov, D.K. Ray. Phys. Rev. B49, 14, тониана 9915 (1994).

[7] J. Ranninger, U. Thibblin. Phys. Rev. B45, 7730 (1992).

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.