WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |
Физика твердого тела, 1997, том 39, № 12 Двухузельная модель и ее связь с моделью поляронного кристалла © Ю.А. Фирсов, Е.К. Кудинов Физико-технический институт им. А.Ф.Иоффе Российской академии наук, 194021 Санкт-Петербург, Россия (Поступила в Редакцию 1 июля 1997 г.) Рассмотрена симметричная двухузельная одноэлектронная модель в рамках теории возмущения по перекрытию электронных волновых функций на разных узлах. Отмечена существенная роль двукратного вырождения уровней невозмущенного гамильтониана. Показано, что вследствие этого члены ряда теории возмущения для поправки к энергии невозмущенного уровня приводят к различному эффекту в зависимости от четности порядка. Именно члены четного порядка приводят к сдвигу уровней (аналогу поляронного сдвига в модели поляронного кристалла), а члены нечетного порядка — к их расщеплению (аналогу ширины поляронной зоны). При этом сдвиг уровней убывает при возрастании константы электрон-колебательной связи степенным образом, а расщепление — экспоненциально. Это находится в полном соответствии с известными результатами теории полярона малого радиуса.

Рассматриваемая далее двухузельная модель отно- 1. Гамильтониан задачи сится к классу двухуровневых моделей электронноЗапишем гамильтониан двухузельной модели в следуколебательной системы, которые в свое время широко ющем виде:

использовались как в физике молекул при описании H = H0 + V, молекулярных спектров, так и в физике твердого тела для рассмотрения электронной структуры локалиp2 M2x2 x H0 = + - g(n1 - n2)x, зованных дефектов (см., например, работы [1,2], ини2m 2 циировавшие на протяжении десятков лет огромное V = -J(+2 + +1), ni +i, (1) число публикаций). Данная модель может рассматри1 2 i ваться как предельная тривиализация холстейновской px = -i d/dx — оператор импульса, +, i — операторы i модели полярона малого радиуса [3–5]. Из-за пророждения и уничтожения электрона на узле i, i = 1, 2, стоты она допускает достаточно полное ее исследоваM, — масса и частота колебаний ядер, x — ядерная ние. Результаты последнего могут выявить существенкоордината, g — константа электронно-колебательной ные характеристики поляронного кристалла, которые в связи, J — энергетическая константа, зависящая от перереальной модели усмотреть затруднительно ввиду ее крытия электронных волновых функций на разных узлах сложности.

и определяющая расщепление электронных уровней при В настоящее время внимание ряда исследователей g = 0. Мы опустили в (1) спиновый индекс, попривлекает именно последний аспект модели [6–8].

скольку в отсутствие спин-орбитального взаимодействия Однако результаты разных авторов зачастую протиучет спина приводит только к двукратному спиновому воречат друг другу. Помимо этого, на наш взгляд, вырождению каждого уровня системы. Поскольку мы имеет место тенденция проводить численные расчерассматриваем только одноэлектронные состояния, спраты там, где вполне возможно аналитическое рассмотведливо операторное соотношение рение.

Заметим, что [4] и последующая серия работ 60-х гг.

n1 + n2 = 1. (2) (см. [5]) были посвящены исследованию кинетиВыражая px, x через Бозе-операторы b+, b ки поляронов в рамках теории возмущения, малым параметром которой полагалась ширина затравочной электронной зоны. Квантово-механические воx = (b+ + b), 2M просы затрагивались лишь по мере их связи с кинетикой. M В настоящей работе рассматривается квантовая мехаpx = i (b+ - b), [b, b+] =1, (3) ника двухузельного аналога поляронной модели с погамильтониан (1) можно записать и так:

мощью теории возмущения по J — аналогу ширины затравочной поляронной зоны (т. е. в тех границах, в которых рассматривалась кинетика). Мы ограничиваемся H = b+b + - g 2 2M исследованием одноэлектронной задачи.

(b+ + b)(n1 - n2) - J(+2 + +1). (4) 1 Далее мы будем рассматривать задачу о диагонализаАвторы использовали эту модель при исследовании междузонного поглощения света поляроном малого радиуса [9]. ции гамильтониана (1) с помощью теории возмущения 2160 Ю.А. Фирсов, Е.К. Кудинов по V. Собственные функции невозмущенного гамильто- несмещенного осциллятора (далее мы ставим над функниана H0 можно выбрать в виде собственных функций циями в представлении несмещенных осцилляторов знак эрмитова оператора z = n1 - n2 ”тильда”) 0 (x) =n(x -x0)a+|0 >, z = 1, 1n 0 (x) =n(x)a+|0, z = 1, 1n 0 (x) =n(x +x0)a+|0 >, z = -1, (5) 2n 0n(x) =n(x)a+|0, z = -1. (5a) где n(x) — нормированные собственные функции гармонического осциллятора с квантовым числом n, 2. Симметрия модели x0 = g/(M2). Соответствующие собственные значения есть Волновая функция стационарного состояния гамильg2 En = - + n +. (6) тониана (1) имеет следующий общий вид:

2M2 =1(x)+|0 +2(x)+|0, (11) Величина Ep = g2/2M2 = (1/2)M2x2 — ана1 лог поляронного сдвига. В соответствии с (5) каждое где i(x) — некоторые функции x. Заметим, что гамильсобственное значение (6) двукратно вырождено. Это тониан не меняется при инверсии I вырождение состояний невозмущенного гамильтониана является фундаментальной чертой модели, и именно x -x, 1, 2 2, 1, (12) с ним связаны нетривиальные черты рассматриваемой задачи. Набор функций (5) является ортонормированной т. е. [I, H] = 0, и, следовательно, волновые функции системой, удовлетворяющей условию полнотыстационарных состояний должны иметь определенную четность, 0 (x)0 n(x ) =ii (x - x ). (7) in i n=I=1(-x)+|0 +2(-x)+|0 =± 2 Функции (5) выражаются через функции несмещенного ( обозначает оператор инверсии5). Отсюда осциллятора, 0 (x) n(x - zx0)a+| 1(x) =±2(-x), 2(x) =±1(-x). (13) in i = exp(-ix0px/ )(n1 - n2)n(x)a+|0. (8) Этот элемент симметрии (аналог транcляционной инваi риантности поляронного кристалла) обеспечивает эквиОператорвалентность узельных состояний 1 и 2. Принимая U = exp(ix0 px/ )(n1 - n2)(9) во внимание (13), волновую функцию стационарного является унитарным, U+ = U-1. Преобразуя с посостояния можно представить в виде мощью (9) гамильтониан (4) с учетом (3), нетрудно получить для гамильтониана H = UHU-1 следующее s = s(x)+|0 + ss(-x)+|0, (14) 1 выражение где s = ±1.6 При s = 1 функция (14) четна, при s = -H = H0 + V, H0 = b+b + - Ep, нечетна. Функция (14) нормирована на единицу, если = -J exp -q(b+ - b) a+a1 + s(x) dx = 1.

+ exp q(b+ - b) a+a-J exp(2ix0 px/ )a+a 1 Поскольку гамильтонианы (1) и (10) эквивалентны (отличаются на каноническое преобразование), все ска+ exp(-2ix0 px/ )a+a1. (10) 2 занное в этом разделе относится и к собственным функ циям (10).

Здесь q = 2x0/l, где l = /M — осцилляторная длина.4 Функции нулевого приближения преобразованЕсли записать гамильтониан (1) в форме матрицы ного гамильтониана (10) выражаются через функции A(x), Индекс i играет роль дискретной переменной, принимающей зна- A(-x) чения 1, 2.

Напомним, что оператор exp(iapx/ ) преобразует f (x) в f (x + a). то оператор указанного преобразования есть I = I(x)x, где I(x) — оператор замены x -x, а x — матрица Паули. Легко видеть, что Преобразование, аналогичное (9), предложено в работе [4] и широко использовалось при исследовании свойств полярона малого ра- HI-1 = H.

диуса. Оно приводит к значительному упрощению формализма теории Во избежание недоразумений подчеркнем, что симметрия не тревозмущений. бует, чтобы функция s(x) имела определенную четность.

Физика твердого тела, 1997, том 39, № Двухузельная модель и ее связь с моделью поляронного кристалла 3. Теория возмущений определяющую Cn и E при заданном s = ±1. Здесь обозначено Мы будем искать стационарные состояния нашей задачи с помощью теории возмущения, считая V малой En = n + - Ep, добавкой. Гамильтониан выбираем в форме (10). Под ставим в уравнение Шредингера = exp -q(b+ - b), Ann = n||n. (20) H0 - =E(15) В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением лишь волновую функцию в виде (14). Получим два уравнения низшего невозмущенного состояния n = 0. Соответ для s(x) ственно в разложении (18) полагаем C0 = 1.9 Из (19) следует H0 - E s(x) - sJ exp -q(b+ - b) s(-x) =0, (16) -J exp q(b+ - b) s(x) +s(H0 -E)s(-x) =0. (16a) E = E0 - sJA00 - sJ (-1)n1A0n1Cn1, (21) Очевидно, что уравнение (16a) преобразованием x -x n1=переводится в (16).7 Таким образом, задача сводится к решению одного уравнения.

sJ sJ Отметим одно важное обстоятельство. Теория воз- Cn = An0+ (-1)n1Ann1Cn1, n = 0. (22) En - E En - E мущения в нашем случае представит поправку E к n1=невозмущенному значению энергии в виде разложения Представляя E и Cn в виде разложений по степеням J по параметру J. В результате действия возмущения каждый уровень с заданным n, двукратно вырожденный E = E(0) + E(1) + E(2) + E(3) +..., в нулевом приближении, испытает сдвиг и расщепле( ( ( ( ние. Ввиду сохранения четности каждый расщепленный Cn =Cn0) +Cn1) +Cn2) +Cn3) +... (23) дублет состоит из пары состояний, противоположной четности, причем, как отмечалось выше, четность опре- (здесь и далее n = 0) и подставляя их в (22), находим деляется знаковым параметром s = ±1. Но, как видно E(i), C(i). Приведем выражения для Cn с точностью до из (16), параметр s и параметр разложения J входят второго, а для E —до третьего порядков только в виде произведения sJ. Поэтому выражение для sJ ( ( поправки En к уровню n будет иметь вид Cn0) =0, Cn1) = An0, En - EEn =evenEn + soddEn, (17) sJ sJ (2) где evenEn — сумма по четным, а oddEn — сумма Cn = (-1)n1Ann1 AnEn - E0 n1=0 En1 - Eпо нечетным степеням J указанного разложения. Таким образом, evenEn определяет смещение центра тяжести (sJ)дублета, а 2|oddEn| — его расщепление. Обозначим - An0A00, (24) (En - E0)уровень с четностью s как Ens. Тогда можно утверждать, что сдвиг En уровня n есть sJ E(1) = -sJA00, E(2) = -sJ (-1)n1A0n1 An10, En1 - En1= En = (En1 + En-1), (17a) sJ а расщепление дублета En равно E(3) = - sJ (-1)n1A0nEn1 - En1= En = |En1 - En-1|. (17b) sJ Разложим функции s(x) в ряд по осцилляторным функ An1n2 (-1)n2AnEn2 - Eциям8 n(x) n2= (sJ)s(x) = Cn1sn1(x), (18) + sJ (-1)n1A0n1 An10A00. (25) (En1 - E0)n1=n1= подставим это разложение в (16), умножим обе части Заметим, что имеют место соотношения на n(x) и проинтегрируем от - до +. Получим систему уравнений Ann = A-1, Ann =(-1)n+n A-1, (26) n n nn (-1 = exp[q(b+ - b)]), в чем можно убедиться непо(En - E)Cn - sJ (-1)n1Ann1Cn1 = 0, (19) средственным вычислением. Используя их и подставляя n1= Согласно (3), при этом выражение b+ - b меняет знак.

Норма s(x) при этом отлична от единицы, но в нашем рассмоДалее мы всюду опускаем индекс s у коэффициентов Cns. трении это несущественно.

4 Физика твердого тела, 1997, том 39, № 2162 Ю.А. Фирсов, Е.К. Кудинов En - E0 = n, представим (24), (25) как двойную сумму так, чтобы суммирования проводились по полной системе функций sJ (0) (1) Cn = 0, Cn = A-1, 0n n S = A0n1(x1)A-1 (x2)Ann1nn1=0 n2=2 A0n1A-sJ sJ A00A-n1n (2) 0n Cn = -, (27) nn1 n- A00 A0n1(x1)A-1(x2) n1= nn1=(sJ)2 A-1An0nE(1) = -sJA00, E(2) = -, n1 - A00 A-1(x2)An20 + A0n2 n1= n2=A0n1A-1 An(sJ)3 (в диагональных матричных элементах зависимость от x n1nE(3) = выпадает). Выражение для S можно записать и так:

( )2 n1=0 n2=0 n1n S = 0|(x1)-1(x2)|0 - 0||0 0|(x1)-1(x2)|A-1An(sJ)+ A00 0n1. (28) - 0||0 0|-1(x2)|0 + 0||0. (30) ( )2 n1=0 n В результате выражение S представляется через средние по основному состоянию от произведений операторов 4. Вычисление поправок к энергии (x) = exp -q(exb+ - e-xb), Поднимем энергетические знаменатели (которые -1(x) = exp q(exb+ - e-xb). (31) в (27), (28) все положительны) в экспоненту с помощью Такое преобразование может быть проведено во всех интегрального тождества порядках ряда теории возмущений для E.

Средние от произведений операторов (31) легко вычисляются с помощью следующих операторных соотноше= exp(-x1n1)dxn1n2... nk ний, справедливых для Бозе-операторов10:

exp (a1b+ - a2b) x exp -x2(n2 - n1) dx2...

= exp(a1b+) exp(-a2b) exp(-a1a2/2) = exp(-a2b) exp(a1b+) exp(a1a2/2), (32a) xk- 0| exp(Ab) exp(Bb+)|0 = exp(AB). (32b) exp -xk(nk - nk-1) dxk, (29) Используя (32a), можно произведение операторов (31) под знаком среднего привести к виду exp(Ab) exp(Bb+), которое проверяется интегрированием по частям. Рас- после чего использовать (32b).

1) П е р в ы й п о р я д о к. Из (25) имеем смотрим для конкретности преобразование двойной сумE(1) = -sJA00; следовательно, расщепление дублета мы в выражении для E(3) n = 0 в этом порядке есть A0n1A-1 Ann1n2|J|A00 = 2|J| 0| exp -q(b+ - b) |S = n1nn1=0 n2= = 2|J| exp(-q2/2) =2|J| exp(-x2/l2). (33) xДанный член убывает экспоненциально с ростом кон= dx1 dx2 A0n1 exp(-x1n1) станты электрон-колебательной связи. Нетрудно покаn1=0 n2= 0 зать, что + exp(x2n1)A-1 exp -x2n2 An20.

n1nA00 = 0(x - x0)0(x + x0)dx, Выражения в скобках правой части можно представить т. е. экспоненциальная малость является следствикак ем экспоненциального убывания перекрытия смещен(x1), -1(x2), 0n1 n1nСоотношения (32a) являются частным случаем операторного со где (x) =exp(xb+b) exp(-xb+b) (”представление вза- отношения exp(P + Q) = exp(P) exp(Q) exp (-1/2)[P, Q], справед имодействия” с мнимым временем -ix). Преобразуем ливого, если коммутатор операторов P и Q есть c-число.

Физика твердого тела, 1997, том 39, № Двухузельная модель и ее связь с моделью поляронного кристалла ных осцилляторных функций основного состояния 0(x ± x0) exp -(1/2)(x ± x0)2 с увеличением связи (расстояние 2x0 между центрами растет).

2) В т о р о й п о р я д о к. Как отмечалось выше, член второго порядка (как любой член четного порядка) приводит только к сдвигу уровней, но не расщеплению их. Преобразуем E(2) из (28) указанным выше способом JE(2) = - dx A-1(x)An0 - A0n n= J= - dx 0| exp q exp(x)b+ - exp(-x)b Рис. 1. Энергия дублета Es и энергетический ”центр тяжести” E для основного состояния n = 0 как функции параметра exp -q(b+ - b) |0 -exp(-q2) электронно-колебательной связи q. Значение J/ = 0.5. В целях наглядности мы опустили область 0 q 2. В ней при (в предыдущем разделе мы получили A00 = exp(-q2/2)).

изменении q от двух до нуля E1 и E-1 расходятся, достигая при Используя (32), получаем после некоторых преобразоваq = 0 значений соответственно -0.5 и +0.5. Заметим, что q ний совпадает с величиной 2, введенной в [8].

JE(2) = - f (q), 4Ep (3) qВторой вклад E2 содержит множитель dz A00 = exp(-q2/2). Сумма по n отличается от суммы f (q) =q2 exp(-q2) exp(z) - 1, (34) z в E(2) фактором 1/n2 вместо 1/n, а интеграл будет отличаться от (34) наличием множителя ln(1/z). Как Ep = (1/4) q2. При q f (q) 1, а и (34), этот интеграл убывает с ростом q степенным E(2) -J · (J/4Ep) 1/q2. Экспоненциальная малость (3) ( образом. Поэтому E2, как и E13), будет exp(-q2/2).

отсутствует.

Pages:     || 2 | 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.