WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика твердого тела, 2006, том 48, вып. 12 Вырожденная плазма в полупространстве во внешнем электрическом поле вблизи резонанса © А.В. Латышев, А.А. Юшканов Московский государственный областной университет, 105005 Москва, Россия E-mail: yushkanov@mtu-net.ru (Поступила в Редакцию в окончательном виде 27 марта 2006 г.) Изучается поведение электрического поля вблизи поверхности в полупространстве, заполненном вырожденным электронным газом, во внешнем переменном электрическом поле. Исследован случай, когда частота внешнего поля близка к частоте плазменных колебаний (резонанс). Выясняются особенности поведения экранированного поля при диффузном отражении электронов от границы. Показано существование двух слоев, примыкающих к поверхности, в которых поведение экранированного поля существенно различается.

Один из авторов (А.В.Л.) благодарит за частичную финансовую поддержку Российский фонд фундаментальных исследований (грант № 03-01-00281).

PACS:52.35.-g, 52.20.-j, 52.25.-b 1. Введение В [3] отмечалось, что условие квазиклассичности, необходимое при использовании кинетического уравнеЗадача о поведении электронной плазмы в полупро- ния, выполняется для случая вырожденных полупроводстранстве во внешнем поперечном (перпендикулярно ников.

поверхности) электрическом поле при зеркальном отра- Будем считать поле достаточно слабым, чтобы было применимо линейное приближение [1]. При этом функжении электронов от границы для бесстолкновительного случая впервые аналитически решена Ландау [1]. Сдиф- цию распределения электронов можно искать в виде фузным граничным условием задача была рассмотрена в f = f0 - f0 exp(-it).

работе [2] методом интегральных преобразований. В ра боте [3] был проведен общий асимптотический анализ Здесь f0 — функция распределения Ферми, — кинетиповедения электрического поля на большом расстоянии ческая энергия электронов (поверхность Ферми считаот поверхности. В этой работе указывалось на особое ется сферической). Температуру будем считать низкой, значение анализа поведения поля вблизи плазменного так чтобы резонанса. При этом в работе [3] утверждалось, что f= -( - F), поведение поля для случаев зеркального и диффузного рассеяния электронов на поверхности существенно разгде F — энергия Ферми, (x) — дельта-функция личается.

Дирака. С учетом одномерности задачи функция распреЦелью настоящей работы является анализ поведения деления электронов (x, v) удовлетворяет уравнению электрического поля в металле в случае, когда частота внешнего поля близка к плазменной частоте, а так- -i + vx = e0vxE - ( - g).

x же анализ поведения поля во всем объеме металла, Здесь — избыточная плотность электронов, включая слой, непосредственно примыкающий к поверхности.

= 2 (2p )-3( f - f0)d3p, Наш анализ базируется на результатах работ [4,5], где рассматривались общие вопросы разрешимости данной — частота столкновений электронов, e0 — заряд задачи и исследована структура дискретного спектра в электрона, vx — проекция скорости электронов на зависимости от параметров задачи. Детальный анализ ось x, перпендикулярную поверхности, p — импульс решения в общем случае в указанных работах не прово- электронов, d3p = dpxdpydpz, g = 2 /(2F).

дился ввиду сложного характера этого решения. Однако Электрическое поле в металле E(x) удовлетворяет в рассматриваемом случае, когда частота колебаний уравнению внешнего электрического поля E0 exp(-it) близка к E (x) =4e0(x, v).

частоте p плазменных колебаний, проведение такого Поскольку vx = vF cos, удобно ввести переменную анализа оказывается возможным. В этом случае квадµ = cos, изменяющуюся от -1 до +1. Кроме того, вверат модуля нуля дисперсионной функции задачи много дем следующие безразмерную переменную и параметры:

больше единицы. С использованием этого обстоятельp x ства решение задачи приведено к виду, допускающему x =, y0 =, k2 = 3, vF непосредственное исследование. Такое исследование и проведено в настоящей работе. где p — плазменная частота.

1 2114 А.В. Латышев, А.А. Юшканов Известно, что частота плазменных колебаний, как пра- В силу однородности системы (1), (2) без ограничения вило, много больше частоты столкновений электронов общности будем считать, что в металле [6]. Поэтому в случае p выполняются n() 1. (7) условия y0 1, k0 1.

Введем вместо E(x) поле e(x) =E(x)/E0, вместо С помощью введенных обозначений и условия (7) (x, v) — функцию = /(e0E0vF), а вместо x будем перепишем характеристическую систему в виде писать снова x.

1 kТогда получим систему уравнений, описывающих дан( - µ) (, µ) = (z - k2µ), E() =-. (8) 0 z z ную задачу, 0 Пусть (-1, +1). Тогда из первого выражения (8) и 1 уравнения (7) в пространстве обобщенных функций [7] µ + z (x, µ) =µe(x) + (x, µ ) dµ, найдем собственные функции характеристической систеx -мы 1 1 () z = 1 - iy0, (1) 0 (, µ) = (z - k2µ) P + 2 ( - µ).

0 z - µ (9) ke (x) = (x, µ ) dµ. (2) Здесь (z ) — дисперсионная функция задачи, -z z - k2z µ 0 Рассмотрим случай диффузного отражения электро- (z ) =1 + dµ 2z µ - z нов от границы полупространства. Тогда для функции -распределения имеем следующие граничные условия:

y0 = -i + (z - k2z )0(z ), (10) 0 (0, µ) =A, 0 <µ <1, (3) z z 0 где z d µ(0, µ) dµ = 0. (4) 0(z ) =1 + — 2 - z --Условие (4) есть условие непротекания электронов дисперсионная функция Кейза [8], Px-1 — символ через границу. Граничное условие для поля имеет вид главного значения интеграла от x-1.

Учитывая граничное условие (5), далее будем расe(0) =1. (5) сматривать лишь убывающие (по переменной x; x > 0) решения исходной системы. Согласно (6), убывающими Подчеркнем, что константа A неизвестна. Она опредерешения являются при >0, а так как решение харакляется условием непротекания электронов через гранитеристического уравнения в обобщенных функциях возцу (4).

можно только при || < 1, интервал 0 < <1 является непрерывным спектром граничной задачи.

Функции (9) называются собственными функциями 2. Собственные функции непрерывного спектра. Собственные решения исходной и собственные значения задачи даются равенствами (6) с учетом (9).

По определению, дискретным спектром характеристиРазделим переменные в уравнениях (1) и (2):

ческого уравнения является множество нулей дисперсионного уравнения g(z ) (z )/z = 0.

x (x, µ) =exp -z (, µ), Отсюда видно, что дисперсионное уравнение в каче стве нуля имеет бесконечно удаленную точку i =, которой отвечают собственные функции дискретного x e(x) =exp -z E(). (6) спектра k2 k0 Тогда получаем характеристическую систему уравне (i, µ) =- µ, E(i) =-.

z z ний 0 1 ( - µ) (, µ) = µE() + n(), Этим собственным функциям отвечают совпадающие z z 0 с ними дискретные собственные решения исходной системы k2 E() =- n(), n() = (, µ) dµ. k2 k0 z 2 (x, µ) =- µ, e(x) =-.

z z -0 Физика твердого тела, 2006, том 48, вып. Вырожденная плазма в полупространстве во внешнем электрическом поле вблизи резонанса В работе [5] показано, что дисперсионная функ- Здесь ±(µ) — граничные значения дисперсионной ция имеет еще два конечных комплексных нуля ±0, функции сверху и снизу в точках интервала (-1, +1) [9], Re 0 > 0, различающихся лишь знаками. Нулю 0 от ±(µ) =(µ) ± i µ(z - k2µ2), вечают собственные решения исходной системы 0 2z z - k2µ0 x 0 где (x, µ) = exp -z, 0 z (0 - µ) y0 z - k2µ2 µ 1 - µ 0 (µ) =-i + 1 + ln.

k2 x z 0 z 2 1 + µ 0 e (x) =- exp -z.

z Условие непротекания (4) приводит к равенству 3. Функция распределения электронов k- A - iy0A0 - iy0 A() d = 0.

и электрическое поле 3z В работе [5] доказано, что решение задачи (1)-(5) Выражение для электрического поля (12) представим дается разложениями по собственным функциям соотв виде e(x) =ed(x) +ec(x), где одна часть поля ed(x) ветствующей характеристической системы отвечает дискретному спектру, а вторая часть ec(x) — k2 z - k2µ0 x 0 0 (x, µ) =- Aµ + exp -z A0 непрерывному:

2 z z (0 - µ) 0 k2 x ed(x) =- A + A0 exp -z, z x + exp -z (, µ)A() d, (11) k2 x ec(x) =- exp -z A() d.

z k2 x 0 e(x) =- A + A0 exp -z z 0 Таким образом, согласно (12), (13) и (15), дискретная часть поля равна x + exp -z A() d. (12) -iy0 k2D x 0 ed(x) = 1 + exp -z.

z 0 - k20)X(0) (z 0 (17) В разложениях (11) и (12) A0 и A — коэффициенты дискретного спектра (амплитуды Дебая и Друде), Рассмотрим часть электрического поля, отвечающую A() — коэффициент непрерывного спектра. Эти коэф- непрерывному спектру. Из формул (12)–(16) находим, фициенты вычисляются по формулам что iyiy0k2 x A =, = (), ec(x) = exp -z - V () k0 2z iy0D A0 =, (13) (z - k20)X(0) D 2d 0 1 +. (18) - 0 +()-() c-z 1 A() = c0 + -, 2i(z - k22) - 0 X+() X-() 0 (14) 4. Асимптотический анализ решения 2 21 +(0 - 1)D =, ± = X(1) - X(-1), (15) В общем случае анализ решения по формулам 0- - 1+ (11)–(16) провести затруднительно. Однако вблизи реz k0 зонанса такой анализ провести можно. В основе проc-1 = c0D, c0 = - A, 1 =. (16) z kводимого далее анализа лежит идея отыскать в явном виде нуль 0 дисперсионной функции. При p и Выражение для постоянной A приведено в [5], здесь 0 оказывается, что 0(, ). В самом деле, оно не используется. В выражения (14)–(16) входит воспользуемся разложением при |0| > 1 дисперсионной функция X(z ) функции X(z ) = exp V (z ), 2 z (0) = + + +..., 2 0 1 ln +(z )/-( ) - 2i 3k2 - 5z 5k2 - 7z V (z ) = d.

0 0 0 2 =, 4 =,....

2i - z 2 3 · 5z 5 · 7z 0 1 Физика твердого тела, 2006, том 48, вып. 2116 А.В. Латышев, А.А. Юшканов Отбрасывая в этом разложении члены начиная со степе- область, где справедлива электродинамика сплошной -ни 0, из уравнения (0) =0 находим среды.

Интересно, что взаимное расположение и характер5z - 3k2 0 0 ные размеры слоев для рассматриваемого резонансного 0 =.

-15iy0z + 5kслучая существенно отличаются от низкочастотного слу0 чая, когда p,. Анализ общего выражения Отметим, что при замене (0) суммой первых двух для поля (12) показывает, что и в этом случае первый членов величина ошибки менее чем = 0.5 · |0|-4;

слой имеет размер порядка rD. Второй же слой соответтак что уже при |0| = 5 имеем = 0.0008.

ствует области rD x l. Таким образом, второй слой Введем два малых параметра в этом случае существенно (в l/rD раз) шире, чем в - p резонансном случае. При этом во втором слое влияние =, 0 < 1, =, || 1.

моды Дебая в низкочастотном случае пренебрежимо p p мало в отличие от резонансного случая.

Очевидно, что Особо отметим, что вклад непрерывного спектра в электрическое поле при больших |0| имеет тот же 3 1 + k2 =, = 1 +, y0 = = =.

порядок в первом слое, что и дискретный спектр. При 2 p p переходе из первого слоя во второй вклад непрерывного спектра становится близким к нулю. Этот факт Представим основные параметры решения 0, 1 и z объясняется тем обстоятельством, что интеграл из (21) как функции двух малых параметров и. Нетрудно начинает быстро осциллировать с ростом x, а интеграл видеть, что от быстро осциллирующей функции начинает исчезать с 9 + 15i(1 + + i) 1 + + i ростом частоты осцилляций.

0 =, z = 1 - i, Покажем, что на границе плазмы при 0 вклад 15[2 + i + ( + i)] непрерывного спектра в структуру электрического поля 2 + i + ( + i) эквивалентен вкладу дискретного спектра. В самом деле, 1 = -i (1 + + i), =.

при больших |0|, согласно (17), 3 (1 + + i)Оценим величину z /0 при = 0 и iy00 x ed(x) = 1 - exp -z - V (0). (19) z 2 z 2. =(1 - i), = 0, 0.

V1 VУчитывая, что при |0| 1 V (0) = + +..., 0 Из выражения (18) для непрерывного спектра с учегде том асимптотики для z видно, что соответствующая часть электрического поля имеет декремент убывания 1 +( ) n-по x, пропорциональный -1. Из выражения (17) для Vn = - ln - 2i d, n = 1, 2,..., 2i -( ) дискретного спектра с учетом асимптотики для z /видно, что соответствующая часть поля имеет декремент имеем убывания, пропорциональный ( )-1.

VЭто означает, что существуют два слоя 0 x exp -V (0) = 1 - +....

и x, примыкающие к поверхности металла.

В первом слое следует учитывать вклад в электрическое Следовательно, при |0| 1 на границе плазмы iyполе, обусловленный как непрерывным спектром, так ed(0) = V10. Учитывая граничное условие на поле z и дискретным. Во втором слое решающий вклад в iyэлектрическое поле вносит второе слагаемое из (12) ed(0) +ec(0) =1, получаем, что ec(0) =- V10 при z с амплитудой Дебая A0. Второй слой при x пе|0| 1. Таким образом, в первом слое вклады в элекреходит в область сплошной среды, где определяющий трическое поле дискретного и непрерывного спектров вклад в электрическое поле вносит первое слагаемое — сопоставимы по величине (рис. 1). Это означает, что амплитуда Друде.

вклад непрерывного спектра вблизи поверхности (в перПереходя к размерным координатам, получим, что вом слое) следует учитывать, так как обе величины ed(0) первый слой соответствует 0 x l, а второй области и ec(0) имеют одинаковый порядок при 0.

слой — области l x l. Учитывая определение, Отметим, что для построения остальных графиков получаем для первого слоя область 0 x rD, а для можно использовать формулу (17), так как вне первого второго слоя — область rD x lrD. Здесь rD — слоя поведение электрического поля в основном опредедебаевский радиус экранирования поля rD vF/p.

ляется дискретным спектром.

Третий слой соответствует области lrD x. Таким образом, вклад непрерывного спектра (волн В этой области мода Дебая и волны Ван Кампена [10] за- Ван Кампена) у границы плазмы существен. Более того, тухают и доминирует объемное решение Друде, т. е. это обе составляющие электрического поля ed(0) и ec(0) на Физика твердого тела, 2006, том 48, вып. Вырожденная плазма в полупространстве во внешнем электрическом поле вблизи резонанса Рис. 1. Электрическое поле в первом слое в случае = 0, = 0.001. a — действительная часть поля, b —мнимая часть поля. Кривые 1 и 2 отвечают дискретному и непрерывному спектрам, кривая 3 — их сумма.

границе плазмы неограниченно возрастают при 0, т. е. при, 0, при том что их сумма равна единице (в безразмерных обозначениях).

Вформуле (19) входящие параметры выразим через и, а функцию exp -V (0) разложим в ряд, сходящийся в окрестности бесконечно удаленной точки, U1 UV (0) =1 - + +..., 0 U1 = 0.35714, U2 = -0.15220,....

Учитывая, что при больших |0| D(0, 1) =0, имеем 1 + 3 + 2i ed(x) = 2 + i +( + i)(3 + i) U1 U 1 - 1 - + exp(-k1x). (20) 0 Здесь 0 вычисляется по формуле, приведенной выше, а z 15(2 + i) Рис. 2. Действительная и мнимая части электрического k1 = = -i.

поля. a — = 0, = 0.001, b — = 0.001, = 0.001, 0 c — = -0.001, = 0.01, d — = 0.1, = 0.01.

Физика твердого тела, 2006, том 48, вып. 2118 А.В. Латышев, А.А. Юшканов На рис. 2, a–d приведены графики зависимости элек- Дебая, причем мода Дебая является основной характрического поля (действительной и мнимой частей) от теристикой, ответственной за осцилляционный режим.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.