WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика твердого тела, 2005, том 47, вып. 11 Оптимизация расчетов электронной структуры углеродных нанотрубок © А.С. Федоров, П.Б. Сорокин Институт физики им. Л.В. Киренского Сибирского отделения Российской академии наук, 660036 Красноярск, Россия E-mail: alex99@akadem.ru (Поступила в Редакцию 22 ноября 2004 г.) Предложена методика для расчетов электронной структуры и физических свойств (в частности — модуля Юнга) нанотрубок (НТ), в том числе и однослойных углеродных нанотрубок. Метод явно использует периодические граничные условия для геометрической структуры нанотруб и позволяет весьма значительно (в 10-103 раз) сократить время расчетов электронной структуры при минимальных погрешностях. Сущность метода заключается в изменении геометрии рассчитываемой структуры путем искусственного разбиения нанотрубки на секторы с введением соответствующих граничных условий. При этом появляется возможность значительно уменьшить размер элементарной ячейки НТ в двух измерениях, причем число атомов в новой элементарной ячейке модифицированной НТ будет равно числу атомов исходной элементарной ячейки, деленной на целое число. Уменьшение размеров ячейки и сопутствующее уменьшение количества атомов в ячейке позволяют резко уменьшить время расчетов, причем оно будет значительно уменьшаться при увеличении степени разбиения НТ, особенно для случая нанотрубок больших диаметров. На конкретных расчетах некоторых углеродных и неуглеродных (BN) нанотрубок показано, что предложенная методика приводит лишь к незначительным отклонениям в расчете электронной структуры, плотности электронных состояний и модуля Юнга по сравнению с обычным методом расчета.

Работа частично профинансирована Федеральной Российской Программой „Интеграция“ (гранты Б0017 и Я0007).

1. Введение меру, элементарная ячейка типичных однослойных углеродных нанотрубок (ОУНТ) обычно содержит от 101 Экспериментальное обнаружение в 1991 г. [1] угле- до 102 атомов, но при исследовании влияния дефектов (адсорбируемые молекулы, вакансии) на свойства ОУНТ родных нанотрубок (УНТ) открыло совершенно новые возможности как в прикладной, так и в фундаменталь- необходимо рассматривать несколько элементарных ячеек, что приводит к минимальной длине рассматриваеной физике. Углеродные нанотрубки благодаря своим мого участка ОУНТ 10. При такой длине можно размерам (поперечный размер — порядка нанометров) и одномерности структуры обладают уникальными ме- избежать нежелательного влияния дефектов в соседних ханическими, химическими и электрическими свойства- ячейках друг на друга, т. е. считать дефекты изолированми [2], которые уже сейчас применяются во многих ными. Таким образом, исследование дефектов любого технических направлениях. Например, с момента созда- вида внутри ОУНТ требует рассмотрения структуры, ния в 1998 г. полевой транзистор на УНТ проходит содержащей уже на порядок большее число атомов стадию лабораторных испытаний и воспроизводится во ( 102-103), чем содержится в элементарной ячейке. На многих лабораториях [3,4]. Уникальные прочностные и данный момент расчет электронной структуры подобных упругие свойства и свойство электропроводности УНТ структур является чрезвычайно трудоемкой задачей для также используются в туннельной и атомно-силовой ми- любого квантово-химического метода расчета (особенно кроскопии. Большие надежды возлагаются на создание ab initio), даже для тех методов, где явно используются сверхпрочных нитей из УНТ (например, для практиче- периодические условия Блоха (методы, базирующиеской реализации идеи космического лифта). Поскольку ся на muffin–tin разложении (LMTO, FPLMTO, LAPW любое техническое применение должно предваряться и т. д.), метод псевдопотенциала и др.). Расчетное время подробным теоретическим исследованием, чрезвычайно названных методов изменяется пропорционально от Nважным представляется проведение теоретических ис- (здесь и далее N — число атомов в элементарной следований электрических и механических свойств НТ, ячейке рассчитываемой структуры) до N4 (метод LCAO образования в них дефектов и их функционализации, т. е. Хартри–Фока). Согласно [5], одним из наиболее быстрых образования химических связей НТ с присоединяемы- методов расчета является метод псевдопотенциала, исми молекулами. К сожалению, теоретическое квантово- пользующий сверхмягкий псевдопотенциал Вандербильхимическое исследование НТ является достаточно тру- та [6], разложение по плоским волнам и итерационный доемкой задачей, главным образом из-за времени счета, метод диагонализации гамильтониана в рамках теории которое требуется для расчетов НТ больших диаметров, функционала плотности. В [5] показано, что для синаиболее часто встречающихся в экспериментах. К при- стем, содержащих до 1000 электронов, расчетное время Оптимизация расчетов электронной структуры углеродных нанотрубок данного метода N2. Но даже для данного метода Если рассматривать волновой вектор kx вдоль сверможно предположить, что в исследованиях, связанных с нутой графитовой поверхности, перпендикулярной оси расчетами НТ больших диаметров, эффективное умень- трубки, очевидно, что он изменяется дискретно вследшение размера рассчитываемой ячейки и числа атомов ствие периодичности при обходе вдоль окружности в ней будет являться критически важным, если оно нанотрубки.

не будет приводить к существенной погрешности из-за Группа симметрии нанотрубок (n, n) и (n, 0) содержит трансформации ячейки.

поворотные оси [7,8] Dnh : N = 2m, 2. Детали метода Dnd : n = 2m + 1, m = 1, 2....

Далее предложена методика, позволяющая значительПоэтому нанотрубку можно разделить на n эквивалентно сократить время расчета электронной структуры НТ.

ных секторов [9].

Данное приближение, имеющее в основе изменение геометрии НТ, позволяет значительно уменьшить размер Для группы симметрии хиральных трубок типа (n, m) элементарной ячейки НТ, а также количество атомов в G = Cd C Nd/, где Cd = {Cd, C2,..., Cd = E}, а d d d ней. Предполагая, что метод применяется для проведе- определяется следующими условиями:

ния расчетов в базисе плоских волн, в котором волновая функция рассчитывается и в областях пространства, где - nq = d, mp она практически равна нулю, метод позволяет не рассчиq < m/d, тывать электронную плотность вблизи оси НТ, где элек p < n/d.

тронная плотность 0, дополнительно увеличивая таким образом скорость расчета. Метод был применен для расчета некоторых однослойных углеродных ОУНТ, Из-за наличия винтовых осей, хиральная нанотрубка а также однослойной нитрид-борной нанотрубки (10, 10). может быть разделена на d эквивалентных секций с Основная идея метода базируется на том, что элек- соответственным увеличением их периода вдоль оси Z.

тронная структура ОУНТ и графитовой плоскости имеет Периодичность геометрии нанотрубок дает возможсхожие черты. Только в случае ОУНТ самых малых ность изменения геометрии рассчитываемой структуры диаметров (D 6 ) электронные структуры графита путем разделения геометрической структуры нанотруби ОУНТ начинают несколько различаться. Исходя из ки на эквивалентные секторы и отражения каждого сравнения геометрических структур графитовой плос- последующего сектора относительно плоскости, касакости и ОУНТ, можно видеть, что основное различие тельной к смежным секторам вдоль линии их сопримежду ними — в граничных условиях. Графитовая плоскосновения. На рис. 1 показан пример такой послекость рассматривается как бесконечно протяженная, и довательной трансформации ОУНТ в гофрированные граничные условия для волновых функций электрона поверхности (ГП), состоящие из двух и далее из четырех в ней вводятся с помощью теоремы Блоха. Волновая секторов, обладающих той же кривизной, что и первофункция электрона зависит от двумерного волнового начальная геометрическая структура ОУНТ. На рис. вектора k = {kx, ky }, параллельного графитовой плостакже изображены проекции нанотрубки и обеих ГП кости. В случае же ОУНТ граничные условия схожи с на плоскость, перпендикулярную оси нанотрубки. Там граничными условиями для графита лишь в направлении же показаны линии Ci - Ci+1, являющиеся нормалями к оси трубки (ось Z).

плоскостям отражения секторов, с помощью отражения в которых и образуются ГП. Показаны точки Pi, которые являются проекциями линий соприкосновения последовательных секторов. При рассмотрении последовательных трансформаций нанотрубки на первом этапе происходит трансформация исходной ОУНТ в простейшую ГП путем отражения половинного сектора нанотрубки относительно плоскости, проходящей через линию соединения (с проекцией P1). Далее эта структура трансформируется в следующую ГП путем отражения предыдущей ГП уже относительно двух плоскостей (проходящих через линии с проекциями P2, P3). Процесс разбиения ГП может повторяться. При этом, если число плоскостей отражения равно M, количество эквивалентных секций N соответствующей ГП, формируемой Рис. 1. Последовательная трансформация секции нанотрубки в гофрированную плоскость. из структуры трубки, равно N = M + 1.

Физика твердого тела, 2005, том 47, вып. 2108 А.С. Федоров, П.Б. Сорокин Тот факт, что ОУНТ разбивается на некоторое количе- 3. Причины возможных погрешностей ство периодически повторяемых секций, расположенных метода вдоль оси X, позволяет произвести расчет электронной структуры только для одной секции ГП. С увеличением Очень важно определить источник возможных постепени разбиения нанотрубки происходит уменьшение грешностей в расчете электронной структуры после элементарной ячейки ГП. При этом будет увеличиваться трансформации УНТ–ГП. Очевидно, что он связан с лои скорость расчетов. Следует учитывать, что периодич- кальным изменением кривизны рассматриваемой струкность ГП вдоль оси X приводит к зависимости волновой туры. Именно кривизна искривленной графитовой плосфункции электрона (r) ( = {kx, kz, n} n — номер кости ответственна за отличия (небольшие) электронной зоны) от kx. И если в случае нанотрубки волновой структуры нанотрубок по сравнению с электронной вектор k имеет только одну компоненту (вдоль оси структурой графитового листа. Рассматривая гофриротрубки), для ГП волновой вектор k имеет две ком- ванную поверхность в цилиндрических координатах отпоненты (kx, kz ). При этом граничные условия (цик- носительно осей вращения (см. проекции осей Ci на личность) для волновой функции при обходе трубки рис. 1), можно видеть, что первая производная коордипо кругу приводят к единственно возможному набору нат точки на поверхности ГП по углу поворота непреkxi = {2i/Lx N, i = 0... (N - 1)} (где Lx —период ГП рывна, а кривизна, определяемая второй производной вдоль направления x). координат, обращается в нуль вдоль линий, проекциями Благодаря тому что структура ГП отличается от которых на рис. 1 являются точки Pi. В остальных ОУНТ только тем, что кривизна в ней изменяется же точках гофрированной поверхности кривизна по скачкообразно (только по знаку) вдоль лишь небольшого модулю совпадает с кривизной ОУНТ. Иными словами, числа линий с проекциями Pi, можно ожидать, что лю- трансформация геометрической структуры нанотрубки бая собственная волновая функция (r), = {kx, kz, n} в ГП с точки зрения решений уравнения Шредингера электрона, распространяющегося вдоль ГП, будет близ- является корректной процедурой везде, за исключением ка к некоторой волновой функции электрона, распро- линий соединения секторов (с проекциями Pi), которые страняющегося вдоль поверхности, соответствующей одновременно принадлежат двум различным секторам ОУНТ. ГП и где кривизна обращается в нуль.

Необходимо отметить, что число атомов в элементар- Источник погрешности можно увидеть непосредственной ячейке ГП равняется числу атомов элементарной но из дифференциального уравнения Шредингера, запиячейки ОУНТ, деленному на N. При этом увеличение сав оператор Лапласа в цилиндрических координатах набора возможных величин квазиимпульса kx в N раз восстанавливает полное число возможных электронных - + V (r) (r) = (r), = {k, n}, 2m собственных состояний в нанотрубке.

Интересно оценить, какой выигрыш в скорости по 2 1 1 2 = + + +. (1) сравнению с обычным расчетом для нанотрубок да2 2 2 z ет предложенное приближение. Считая, что в случае Учитывая, что C3P1 = -C2P1, а также что первая и ОУНТ большого радиуса R выбираемый размер элевторая производные в операторе Лапласа имеют разментарной ячейки, определяемый Lx, Ly, будет гораздо ностные аппроксимации yi / 1/2h(-yi-1 + yi+1);

больше, чем требуемый вакуумный промежуток между 2yi/2 (1/h2)(16yi-1 - 2yi + yi+1), становится очесоседними трубками и основываясь на рис. 1, легвидным, что все члены в лапласиане являются непреко вывести следующие соотношения: Lx = 2R sin(/N), рывными функциями (, ), за исключением члена Ly = R 1 - cos(/N). Если учесть, что в данном методе (1/)/, меняющего знак вдоль линий соединения Pi.

скорость расчета V пропорциональна, как минимум, Этот член и является единственной причиной возмож-O(Nat ) (Nat — число атомов в элементарной ячейке), ных изменений в значении лапласиана при трансфора количество атомов в элементарной ячейке линейно мации ОУНТ-ГП. К счастью, из формулы следует, что зависит от ее объема, можно получить следующую данный член уменьшается пропорционально увеличению формулу:

радиуса НТ. Следовательно, если диаметр исходной нанотрубки достаточно велик, а число точек Pi невелико, Vtube tube 2 (2R)2Lz = можно ожидать, что электронная структура ГП будет VCSS CSS Lx LyLz практически совпадать с электронной структурой ОУНТ.

=.

4. Результаты расчета электронной sin(/N) 1 - cos(/N) структуры ГП Для N скорость расчета будет пропорциональна Vtube/VCSS 2N/. Увеличение числа волновых векто- В качестве примера произведены расчеты электронров kx в ГП компенсируется уменьшением числа атомов ной структуры ОУНТ различного диаметра и хиральв ее элементарной ячейке. ности, а также соответствующих им ГП. Рассчитаны Физика твердого тела, 2005, том 47, вып. Оптимизация расчетов электронной структуры углеродных нанотрубок зонная структура, плотность состояний и энергии связи для зигзагообразной однослойной углеродной нанотрубки (20, 0) (в обозначениях работы [10]), а также для зубчатых ОУНТ (8, 8) и (16, 16).

Все расчеты проведены с использованием программы VASP (Vienna ab initio Simulation Package) [5,11,12].

Данная программа для ab initio расчетов использует метод псевдопотенциала, разложение по базису плоских волн в рамках формализма функционала локальной плотности [13,14]. Использование в расчетах псевдопотенциалов Вандербильта позволило значительно уменьшить (до 287 eV) максимальную кинетическую энергию плоских волн базиса Ecutoff без существенной потери точности. Электрон-электронное обменное и корреляционное взаимодействия описывались методом функционала плотности с обменно-корреляционным фукнционалом Рис. 2. Плотность состояний для структур (8, 8, i), i = {0, 2, 4, 8}. Ceperley–Alder [15], хорошо себя зарекомендовавшим в подобных расчетах.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.