WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика твердого тела, 1998, том 40, № 11 Нелинейные взаимодействия звуковых волн в ферромагнетиках вблизи магнитоакустического резонанса. Эффективные модули упругости © И.Ф. Мирсаев Институт физики металлов Уральского отделения Российской академии наук, 620219 Екатеринбург, Россия E-mail: pressure@ifm.e-burg.su (Поступила в Редакцию 21 апреля 1998 г.) ef Найден магнитоупругий вклад (3) в эффективные модули упругости третьего порядка (3), описывающий дополнительный упругий ангармонизм, возникающий в результате нелинейных спин-спиновых и спинфононных взаимодействий в ферромагнетиках. Вблизи магнитоакустического резонанса такой ангармонизм может проявляться в трехчастотных взаимодействиях упругих волн, приводящих к магнитоакустическим эффектам преобразования частоты волн. Показано, что при резонансе происходит усиление этих эффектов за счет возрастания на несколько порядков величины динамических модулей упругости (3). Проведена количественная оценка для железо-иттриевого граната.

Существование связанных магнитоупругих (МУ) коле- 1. Уравнения движения баний в ферро-(ФМ) и антиферромагнетиках (АФ) приРассмотрим волну упругого смещения u и связанные водит к изменению их упругих модулей. Эти изменения описываются динамическим МУ-вкладом в эффек- с ней колебания намагниченности µ (на единицу массы) тивные модули упругости ef = + и проявля- в ФМ, намагниченном до насыщения: |µ| = µ0 = const.

юся в различных магнитоакустических эффектах [1–11]. В качестве независимых координат выберем лагранжевы В частности, с модулями второго порядка (2) связаны координаты ai. В этом случае уравнения движения эффекты Фарадея и Фогта (или Коттона–Мутона) [3,6,8], имеют вид [12,13] а с модулями упругости третьего порядка (3) — µi = -[µHef]i, (1) различные нелинейные эффекты, например вынужденное комбинационное рассеяние, а также генерация второй ik Hn ak 0i = + 0µn. (2) гармоники акустических волн [1,2,7,9–11].

ak ak xi Появление динамических модулей в АФ выЗдесь — магнитомеханическое отношение, 0 —плотзвано колебаниями вектора антиферромагнетизма L.

ность массы до деформации, Hef и ik — эффективное Межподрешеточное обменное взаимодействие усиливамагнитное поле и тензор Пиола–Кирхгофа, ет МУ-связь этих колебаний с упругими деформациями, в результате чего возникает гигантский ангармонизм [1] F F ef Hk = Hk - +, (3) (3) (103-104)(2).

µk aS (µk/aS) В ФМ обменное усиление отсутствует. Однако в них сильная магнон-фононная связь может возникать за счет F xi ik = 0, (4) магнитоакустического резонанса (МАР), наблюдаемого kp ap при частоте волн S, где S — собственная частота где F — потенциальная энергия единицы массы ферроспиновых колебаний.

магнетика, xi — эйлеровы координаты, Hi = Hi0 + hi, Заметим, что в АФ резонансное возбуждение спиноHi0 — внутреннее поле, h — магнитостатическое поле, вых колебаний затруднено, так как частота антиферроопределяемое уравнениями магнитного резонанса AFMR значительно превосходит частоту звуковых волн (AFMR ), используемых в rot h = 0, div(h + 4µ) =0, (5) экспериментах.

В настоящей работе исследуются нелинейные вза- в которых 0(1 - ii) — плотность массы после имодействия акустических волн в ФМ вблизи МАР, деформации, ik — тензор деформации, где спиновые колебания, участвуя в спин-спиновом и ik =(uik + uki + uisuks)/2, (6) спин-фононном взаимодействиях, создают дополнительный упругий ангармонизм. Величина ангармонических где uik = uk/ai — тензор дисторсии, ui = xi - ai.

модулей (3) при резонансе может превышать решеУравнения магнитостатики (5) записаны в эйлеровых точную нелинейность кристалла на несколько порядков координатах. Переход в лагранжевы координаты можно и тем самым обеспечить экспериментальное наблюдеосуществить подстановкой ние нелинейных магнитоакустических эффектов, например, МУ-генерации второй гармоники бегущих звуковых ak ak =, ik - uik. (7) волн [9–11].

xi xi ak xi Нелинейные взаимодействия звуковых волн в ферромагнетиках... Будем рассматривать МУ-волны, распространяющиеся учитывающие перенормировку констант анизотропии и в одном направлении. Согласно (5), (7), магнитостати- МУ-постоянных за счет магнитостатического поля h (8), ческое поле h, создаваемое этими колебаниями, есть 0 = (K + 6Kµµ) +4M0nn, Mhi = -4ninkµk = -40ninkµk(1 - ss). (8) 12 µ = Kµ - µ, Здесь n — единичный вектор направления распространеM0 ния волн.

Bkl = (bkl - 2M0nnkl), Интересуясь нелинейными МУ-взаимодействиями, заMпишем потенциальную энергию 0F единицы объема Bkl = Bkl, kl = 2kl/M0. (11) кристалла в виде В (10) не учтены спонтанные статистические деформа0F = 0F(0) +Ki jij +Ki jklijkl ции 0 M0, приводящие к незначительной перенорми ровке констант магнитной анизотропии.

s s Будем считать, что величины i и i j изменяются по +bi jkli jkl +i j ai aj закону exp{i(ka - t)}, где и k — частота и волновой вектор МУ-волн. Используя в уравнениях (1) выражения 1 (10), получим в линейном приближении + Ci jkli jkl + Ci jklmni jklmn. (9) 2 L me = -L()H = akl()kl,, = 1, 2, (12) В (9) j = µi/µ0, Ki j, Ki jkl — константы магнитной me где H = -Bklkl — эффективное МУ-поле, akl — анизотропии, bi jkl — МУ-постоянные, i j —константы тензор МУ-связи, неоднородного обмена, Ci jkl иCi jklmn —модулиупругости второго и третьего порядков.

akl() =L()Bkl, L1 1 = 2D()h1 1, L2 2 = 2D()h2 2, 2. Амплитуды связанных колебаний L1 2 = D()(h1 2 - i), L2 1 = L = D()(h1 2 + i). (13) 1 Перейдем теперь к установлению МУ-связи между Здесь введены обозначения амплитудами спиновых и упругих колебаний. Ее удобно определить, отнеся переменные i = i + i к штри- ef ef h1 1 =H03 +2 2 +pqkpkq, h2 2 = H03 +1 1 +pqkpkq, хованной системе координат {} (,, µ = 1, 2, 3 ), h1 2 = h1 1 = -1 2, D() =[2 -S(k)]-1, третья ось a3 которой параллельна равновесной намагниченности µ0. Здесь — отклонение направляющих S(k) =2(h1 1 h2 2 -h2 ), (14) 1 конусов от равновесного значения i. В этой системе когде S — собственная частота спиновых колебаний, ординат = 3, а =Qkk (обратно k = Qk), D() — множитель, отражающий резонансный характер где Qk — матрица вращения, соответствующая преобравзаимодействия спиновых и упругих колебаний.

зованию координат. Из условия |µ| = |µ0| = µ0 следует При исследовании нелинейных магнитоакустических 2 соотношение 3 = -(1 + 2 )/2, позволяющее вы эффектов необходимо знать нелинейную зависимость брать в качестве независимых переменных величины 1 от ik. Ее можно определить методом последовательных и 2.

приближений, используя в нелинейной части эффективИспользуя (9) в выражении (3) для эффективного ного поля HNL (10) линейную МУ-связь (12). В этом поля Hef и ограничиваясь квадратичным приближением, приближении получим NL NL = -L() Hme (), (15) Hef = Hef + Hef, Hef = HL + HNL, где HNL() — представление Фурье эффективного me МУ-поля, ef 0 0 0 L HNL = HNL - LH3, (16) H0 = H - (K + 2Kµµ), me Mобусловленного нелинейными спин-спиновыми и спинфононными взаимодействиями. Согласно (10), имеем L H = - - Bklkl + kl, NL L L L akal (Hme ) = -µµ - Bklµklµ, NL H = -µµ - Bklkl, (10) µ = µ - (µ + µ), где Hef и HL, HNL — статическая и динамическая Bklµ = Bklµ - Bklµ. (17) части эффективного поля, определенные в линейном (L) и нелинейном (NL) приближениях, M0 = 0µ0 — В силу МУ-связи (12) поле HNL зависит от тензора me намагниченность единицы объема, и — тензоры, деформации квадратичным образом.

Физика твердого тела, 1998, том 40, № 2082 И.Ф. Мирсаев 3. Динамические модули упругости смещение u, а также переменную i в виде суммы трех колебаний второго порядка Уравнения движения (2) для упругого смещения u с = ((n) +c.c.), учетом (9) и (8) можно представить в виде n=i j (n) = n) exp{i(k(n)a - nt)}, ( 0i =, (18) aj где i j — тензор натяжений [12]. В квадратичном ui = (ui(n) +c.c.), приближении n=1 ui(n) =u(n) exp{i(k(n)a - nt)}, (22) i i j =Ci jklkl + Cjpklklupi + Ci jklmnklmn где k(n) — волновой вектор МУ-волн на частоте n.

Рассмотрим сначала трехчастотные процессы + M0Bi j + M0Bi j. (19) 1 + 2 = 3. (23) При получении (19) предполагалось, что амплитуда Для этих процессов уравнения движения (18) принимаспиновых колебаний || и величина модулей упругости ют вид || удовлетворяют соотношениям iNL(n) ukl(n) || ||, || 4M0. j 0i(n) =Ciefkl(n) +. (24) j aj aj Используя в (19) МУ-связь (12), а также выражение (6) для, представим линейную часть тензора следу- Здесь iNL(n) — нелинейная часть тензора i j, соот j ющим образом: ветствующая частоте n (n = 1, 2, 3). Учитывая в (19) МУ-связь (12), (15) и соотношения (22), имеем iL =Ciefklukl, Ciefkl =Ci jkl +Ci jkl, j j j iNL(1) = Ciefklmn(1; 3, -2)ukl(3)u (2), j j mn Ci jkl() =M0Bi jakl() =M0L()Bi jBkl, (20) где Ciefkl — тензор эффективных модулей упругости j iNL(2) = Ciefklmn(2; 3, -1)ukl(3)u (1), второго порядка, Ci jkl — динамические модули, об- j j mn условленные МУ-взаимодействием спиновых и упругих колебаний, амплитуды которых связаны соотношением iNL(3) = Ciefklmn(3; 1, 2)ukl(1)umn(2), (25) j j (12).

где Ciefklmn(3; 1, 2) — эффективные модули упругости Учитывая в (20) явный вид тензоров L (13), можно j третьего порядка, описывающие генерацию МУ-волн с выделить симметричную (s) и антисимметричную (a) суммарной частотой 3 = 1 + 2 в результате неличасти тензора нейного взаимодействия волн накачки с частотами s a Ci jkl =Ci jkl +Ci jkl, и 2. Модули Ciefklmn(1; 3, -2) и Ciefklmn(2; 3, -1) j j описывают обратное воздействие генерируемой волны на Cisjkl = 2M0D()hBi jBkl, волны накачки.

a Эффективные модули ef содержат упругую и магнитCi jkl = -iM0D()(Bi j1 Bkl2 - Bkl1 Bi j2 ), (21) ную части где B и, D() — величины, определенные в (11) и (14).

Ciefklmn(n; p, q) = Ci jklmn +Ci jklmn(n; p, q), j 4. Эффекты смешивания частот Ci jklmn =Ci jklmn +Ci jkmln + Cjmklin + Cjkmnil, Ci jklmn(n; p, q) =M0Bi jakl(p)amn(q) Упругому ангармонизму низшего порядка соответствует квадратичная зависимость тензора натяжения i j + M0a j(n) akl(p)amn(q) i (19) от тензора дисторсии upq. Такая нелинейная зависимость приводит к смешиванию частот звуковых + Bklamn(q) + Bmnakl(p). (26) колебаний [14], а именно: в результате взаимодействия двух колебаний с частотами 1 и 2 образуются нелиней- В (26) Ci jklmn(n; p, q) — динамические модули ные волны с комбинационными частотами 1 ± 2 или упругости третьего порядка, обусловленные нелинейныудвоенной частоты 21, 22. Кажому из этих эффектов ми взаимодействиями МУ-волн с частотами p и q соответствует определенное значение тензора i j (19). (p, q = 1, 2, 3). Эти частоты удовлетворяют закону Чтобы определить эти значения, представим упругое сохранения энергии (23), т. е. n =p + q (например, Физика твердого тела, 1998, том 40, № Нелинейные взаимодействия звуковых волн в ферромагнетиках... при n = 1, согласно (23), p = 3, q = -2 или ческом ФМ появляются компоненты Ci33k3l(n; p, q) p = -2, q = 3). (i, k, l = 1, 2), описывающие взаимодействия поперечМодули упругости Ci jklmn симметричны относитель- ных упругих волн, распространяющихся вдоль ребра куба (k 100 a3). Явный вид таких модулей но перестановки внутри каждой пары индексов, а также 0 Ci33k3l(2;, ), вычисленных при M0(0, M2, M3), приперестановкам веден в Приложении. Заметим, что в кубических кристалef CIJR(n; p, q) =CIRJ(n; q, p) лах Ci33k3l = 0 (i, k, l = 1, 2), поэтому Ci33k3l =Ci33k3l.

Динамические модули (3) существенно зависят от =CJIR(-p; -n, q) направления намагниченности M0, что отражается в =CJRI(-p; q, -n) угловой зависимости Ci33k3l() (П1), где —угол между векторами k и M0. В частности, все компоненты =CRIJ(-q; -n, p) Ci33k3l(0) =0 (i, k, l =1, 2) при k M0 100, а при =CRJI(-q; p, -n). (27) M0 k 100 отличны от нуля только две компоненты C544 и C445.

Здесь I ij, J kl, R mn — сокращенные Оценки, выполненные для ЖИГ при /2 25 MHz, обозначения индексов: I, J, R = 1, 2,... 6, 1–11, 2–22, s/2 = 30 MHz, = 5 с использованием для 3–33, 4–23, 32, 5–13, 31, 6–12, 21.

характеристик ЖИГ данных [15], показывают, что при Выше рассматривались трехчастотные процессы резонансе (s = t, где t =(C44/0)1/2k —собствен1 +2 = 3. Для процессов 1 -2 = 3 в выражениях ная частота поперечных упругих волн) величина модулей (25) для iNL(n) необходимо заменить знак частоты 2 упругости Ci33k3l(2,, ) (П1) достигает гигантских j на противоположный и учесть, что umn(-2) =u (2).

mn значений порядка 1015 N/m2: C555 = 5i, C544 = -2i, При генерации волн с удвоением частоты ( + = 2) C554 = 4, C455 = -6, C444 = 2, C445 = 3i в следует положить 1 = 2 =, 3 = 2 и заменить в единицах 1015 N/m2. Вдали от резонанса = 0.1s выражении для iNL(2) множитель 1/2 на 1/4.

j (s/2 = 30 MHz) величина этих модулей уменьшается на один–три порядка: C555 = 2i · 10-2, C544 = -i, C554 =C455 = -6, C444 = -1, C445 = -5i · 10-5. Обсуждение результатов в единицах 1014 N/m2. При более высоких частотах спиновых колебаний S/2 = 10/2 = 300 MHz Нелинейные спин-спиновые и спин-фононные взаимоупругие константы (3) имеют величину порядка действия в ФМ приводят к дополнительному ангармонизму кристалла. Такой ангармонизм отражается в не- 1011-1012 N/m2, близкую к значениям обычных упругих модулей второго порядка (2).

линейных взаимодействиях упругих волн, приводящих к Гигантский упругий ангармонизм, обусловленный магнитоакустическим эффектам преобразования частоты МУ-взаимодействиями, наблюдался экспериментальэтих волн. В трехчастотных процессах взаимодействия но [9,10] при исследовании генерации вторых попеволн с частотами 1 и 2 образуются нелинейные волны речных звуковых гармоник в ЖИГ. В области МАР с комбинационными частотами 3 = 1 ±2 или удвоен(S = 2 · 30 MHz) параметр нелинейного взаимоной частоты 21, 22. Вклад МУ-взаимодействий в эти действия (отношение эффективных модулей упругости процессы описывается динамическими модулями упрутретьего порядка к модулю C44 = 8 · 1010 N/m2 увеличигости третьего порядка (3; 1, ±2) и (2;, ) вался на три порядка.

(26), зависящими от частоты волн. Эта зависимость 2 носит резонансный характер D(n) =(n - s )-1 Таким образом, в условиях МАР ( S) происходит усиление динамических модулей упругости (3);

(n = 1, 2, 3). Резонанс возможен как на частоте волн следовательно, увеличивается эффективность нелинейнакачки 1 и 2, так и на частоте генерируемой волны ных процессов, связанных с этими модулями. Осо3 = 1 ± 2.

Величина динамических модулей упругости (3) бенно большое усилие испытывают модули упругости (3)(2;, ), описывающие генерацию второй определяется коэффициентами МУ-связи akl (13).

гармоники. Это связано с тем, что для них имеОценки, проведенные для образца железо-иттриевого ет место ”двойной” резонанс, в том смысле, что граната (ЖИГ) сферической формы, показывают, что (3)(2;, ) D2() =(2 -S)-2. МУ-генерация при низкочастотном МАР ( s 108 Hz) знаакустических гармоник, связанная с такими модулями чение этих коэффициентов может достигать величины упругости, будет рассмотрена во второй части этой порядка 103-104. В ЖИГ им соответствуют значения работы.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.