WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |
Физика твердого тела, 2004, том 46, вып. 11 Квазиклассические оценки постоянной решетки и ширины запрещенной зоны кристалла: двумерный нитрид бора © Л.С. Чхартишвили Грузинский технический университет, 380075 Тбилиси, Грузия E-mail: chkharti2003@yahoo.com (Поступила в Редакцию в окончательном виде 20 января 2004 г.) Обоснован квазиклассический метод оценки структурных и энергетических параметров кристалла.

В начальном приближении распределения плотности заряда и потенциала представляются ступенчатыми функциями, что позволяет энергию основного состояния кристалла и матричные элементы определяющего его электронное строение секулярного уравнения выразить конечными суммами. Погрешность такого подхода, позволяющего избежать появления неконтролируемых ошибок, которые возникают при обрыве бесконечных рядов, не превышает нескольких процентов. Посредством квазиклассических расчетов получены значения постоянной решетки и ширины запрещенной зоны двумерного нитрида бора: a = 2.64 и Eg = 6.22 eV соответственно.

Разработка теоретических подходов, не требующих дели Бора для атома водорода продолжаются успешные больших вычислительных усилий и дающих разумную исследования по построению полуклассических модеточность предсказания физических параметров, имеет лей легких атомов [6]. Полезность подобного подхода важное значение для веществ, реализующихся в мно- была продемонстрирована [7] и для описания периогообразных структурных модификациях. К таким веще- дического движения электронов в малых молекулах.

ствам относится нитрид бора BN, который встречается в В случае многоэлектронных систем приемлемую точвиде двухатомной молекулы, двумерных нанотрубочных ность в состоянии обеспечить такое приближение саи фуллереноподобных поверхностей, трехмерных гексамосогласованного поля, в рамках которого экстремум гонального (h-BN), ромбоэдрического (r-BN), кубичеполной энергии ищется в классе квазиклассических ского сфалеритоподобного (c-BN) и вюрцитоподобного волновых функций [8]. Как известно, тяжелые атомы (w-BN) кристаллов, а также в виде аморфизированных могут быть рассчитаны в рамках теории функционапленок. Ряд структурных и энергетических характела плотности (ТФП), использующей квазиклассическое ристик молекулы BN [1,2] и кристаллов h-BN [2,3], разложение функционала энергии. Аналогичный метод c-BN [4], w-BN [5] был рассчитан с помощью нового меоказывается пригодным и для атомных кластеров и тода, основанного на использовании квазиклассического конденсированных фаз [9].

приближения. В настоящей работе в рамках аналогичОднако из-за сингулярностей в узлах расположения ного подхода предсказываются значения постоянной реядер, а также эффектов электронных оболочек атомшетки и ширины запрещенной зоны плоского бесконечные, молекулярные и кристаллические потенциалы не ного слоя, который должен обладать наименьшей среди удовлетворяют стандартному квазиклассическому услодвумерных структур нитрида бора молярной энергией.

вию Венцеля-Крамерса-Бриллюэна (ВКБ). Причину Изучение этого гипотетического объекта интересно и успеха подобных подходов можно понять на основе тем, что из подобных слоев построены структуры h-BN квазиклассических выражений для энергий связанных и r-BN, а его плоские или искривленные фрагменты электронных состояний, полученных Масловым [10].

ограничивают молекулы фуллеренов и нанотрубки.

Из них следует, что точные и ВКБ-спектры близки Настоящая работа состоит из двух частей. В пернезависимо от плавности потенциала, если 2 R2 1, 0 вой обосновывается квазиклассический метод. Вторая где и R0 — характерные величины потенциала и посвящена вычислениям энергии связывания (ЭС) и радиуса его действия соответственно (здесь и далее все плотности электронных состояний (ПЭС) двумерного соотношения приводятся в атомной системе единиц).

кристалла нитрида бора в начальном квазиклассичеЭкспоненциальное спадание атомных орбиталей на ском приближении и сопоставлению полученных оценок больших расстояниях позволяет в рамках модифициструктурных и энергетических параметров с аналогичрованных моделей Томаса-Ферми провести параметриными данными для других модификаций нитрида бора.

зацию распределения электронной плотности в атоме, предполагающие введение атомного радиуса R <, за1. Квазиклассический метод расчета метно превосходящего радиус Бора (R 1), за которым структуры и электронного строения электронная плотность считается равной нулю [11]. Это эквивалентно начальному приближению в квазиклассикристалла ческих моделях атома, когда пренебрегают парциаль1.1. Вещество как квазиклассическая ными электронными плотностями в классически запреэ л е к т р о н н а я с и с т е м а. Со времен создания мо- щенных областях. Соответствующий потенциал (r) i Квазиклассические оценки постоянной решетки и ширины запрещенной зоны кристалла... эффективного поля, действующего на i-й электрон в Квазиклассическую параметризацию распределений атоме с номером Z 1, можно представить в форме электронной плотности и потенциала в атоме можно (r) =(Z/R)Fi(r/R)/(r/R), где 0 r R — рассто- осуществить в аналитической форме, если действуюi щие на электроны эффективные поля представить с яние от центра, а 0 Fi(r/R) 1 — фактор экранипомощью кулоноподобных потенциалов (r) =Zi/r, рования ядра остальными электронами. Следовательно, i где Zi = ni -2Ei являются эффективными зарядами, Z/R и R0 R; условие квазиклассичности элекзависящими от главных квантовых чисел состояний ni.

тронного энергетического спектра для атома принимает Это дает вид 2ZR 1. Таким образом, атомы и их структуры — молекулы и кристаллы — действительно являются r i = ni - n2 - li(li + 1) -2Ei, i квазиклассическими электронными системами в смысле критерия Маслова.

r i = ni + n2 - li(li + 1) -2Ei. (4) i 1.2. Квазиклассическая параметризация В таком случае эффективное поле взаимодействия межраспределений электронной плотности и потенциала в атоме. Потенциальная энер- ду ядром и электронным облаком также оказывается кулоноподобным и, если считать, что ядро имеет бесконечгия i-го электрона (с энергией Ei < 0 и орбитальным ную массу и, следовательно, неподвижно (т. е. приведенквантовым числом li) равна - (r), поэтому радиi ную массу системы ядро-электронное облако принять усы r i и r i классических точек поворота (r i < r i ) равной суммарной массе Z электронов атома), радиус для него могут быть найдены как корни уравнения точки поворота для движения электронного облака отEi = - (r) +li(li + 1)/2r2 (i = 1, 2, 3,..., Z).

i носительно ядра получается равным Пусть i(r) является потенциалом поля, создаваемого 2(Z - 1) i-м электроном. Тогда потенциал поля, создаваемого r =. (5) Z электронным облаком атома, можно выразить как сумму Z2 Z2 - Zi потенциалов i(r) i=Начальное квазиклассическое приближение для класZ сически запрещенных областей означает пренебрежение (r) = i(r), (1) экспоненциально спадающими парциальными электронi=ными плотностями, а для классически доступных областей оно равносильно пренебрежению осцилляциями а потенциал поля, действующего на произвольный указанных плотностей. В результате приходим к случаю, i-й электрон атома, будет равняться сумме потенциалов когда радиальная зависимость усредненной по направлекулоновского поля ядра и поля, создаваемого всеми ниям парциальной плотности заряда i-го электронного электронами атома, за исключением потенциала поля состояния в атоме представляется кусочно-постоянной самого рассматриваемого электрона, функцией, которая равна нулю в классически запрещенных областях, (r) =Z/r + (r) - i(r), i = 1, 2, 3,..., Z. (2) i r < r i, 0, Просуммируем эти выражения по электронам. В реi(r) = -3/4(R 3 - r 3), r i r r i, (6) i i зультате стоящие в правых частях слагаемые, которые 0, r i < r.

не зависят от номера электрона, просто умножаются на полное число Z электронов в атоме, а сумма Аналогичное усреднение для движения электронного потенциалов i(r) даст (r). Решением полученного облака как целого относительно ядра эквивалентно усреднению заряда ядра по объему сферы с радиусом r соотношения относительно (r) будет 3Z/4r3, 0 r r, Z (r) = (7) 1 Z (r) =- - (r). (3) 0, r < r.

i Z - 1 r i=Суммирование подобных вкладов дает распределение полной плотности электрического заряда в атоме в Отсюда найдем потенциальную энергию взаимодействия форме ступенчатой радиальной функции ядра атома с электронным облаком Z (r). Поскольку Z в основном состоянии их относительному движению (r) = (r) + i(r) =k, должно соответствовать нулевое значение орбитального i=квантового числа, для подобной системы радиус одной из классических точек поворота оказывается равным rk-1 r < rk, k = 1, 2, 3,..., q, (8) нулю, а радиус r другой классической точки поворота где k — постоянные, определяемые по радиусам класявляется корнем уравнения = Z (r), где обозначает сических точек поворота, а rk совпадают со значенисобственное значение энергии относительного движения ями этих радиусов. При этом 0 r0 < r1 < r2 <...

электронного облака и ядра. · · · < rq < rq+1 < ; q 2Z — число слоев с однородФизика твердого тела, 2004, том 46, вып. 2058 Л.С. Чхартишвили ными плотностями заряда; rq играет роль квазиклас- слоев). Тогда объем пересечения j-го слоя (i)-атома сического атомного радиуса: когда r > rq, плотность центральной элементарной ячейки с l-м-слоем (k)-атома заряда обращается в нуль. Математически такое пред- смещенной на t-вектор ячейки равен ставление эквивалентно объемному усреднению в слоях V(ik) jl(r(ik)t)=V (r(i) j, r(k)l, r(ik)t)+V (r(i) j-1, r(k)l-1, r(ik)t) rk-1 r < rk.

Если теперь по теореме Гаусса рассчитать поля, - V (r(i) j, r(k)l-1, r(ik)t) - V (r(i) j-1, r(k)l, r(ik)t). (12) создаваемые заряженными слоями с плотностями k, а далее сложить их, атомный потенциал получится в виде Здесь r(ik)t = d(k) + t - d(i) — радиус-вектор (i)-атома непрерывно дифференцируемой кусочно-аналитической относительно (k)-атома, а V (R1, R2, D12) — унифункции версальная, непрерывно дифференцируемая кусочноаналитическая алгебраическая функция (ее явная форма (r) =ak/r + bkr2 + ck, rk-1 r rk, была приведена в [12] при постановке задачи квазиk-1 классического расчета зонной структуры кристалла), ak = 4i r3 - r3 /3 - 4kr3 /3, определяющая объем области пересечения двух сфер i i-1 k-с радиусами R1 и R2, центры которых удалены на i=расстояние D12. Если теперь ввести плотности заряbk = -2k/3, да (i) j и потенциала (i) j в атомных слоях, статическая q энергия элементарной ячейки кристалла в начальном ck = 2i r2 - r2 + 2kr2. (9) i i-1 k квазиклассическом приближении запишется в виде i=k+q(i) q(k) N N Но поскольку энергия электронной системы является Estat = (i) j(k)lV(ik) jl(r(ik)t). (13) однозначным функционалом электронной плотности, цеt j=1 l=(i)=1 (k)=лесообразно, чтобы и этот потенциал был аппроксимирован в ступенчатом виде. Адекватный способ заключаКогда воздействующие атомы фиксированы в своих ется в усреднении по объему узлах (это эквивалентно усреднению их колебаний во времени), потенциальная энергия (i)-атома центральной 3ak(r2 - r2 ) 3bk(r5 - r5 ) k k-1 k k-(r) + + ck = k, элементарной ячейки, смещенного на вектор r от поло2(r3 - r3 ) 5(r3 - r3 ) k k-1 k k-жения равновесия, составляет rk-1 r < rk. (10) N U(i)(r) = dr (i)(r - d(i) - r) 1.3. Квазиклассическая энергия кристалt (k)=ла в основном состоянии. Если d(i) являются базисными векторами элементарной ячейки кристалла, (k)(r - d(k) - t)+(k)(r - d(k) - t)(i)(r - d(i) - r).

равновесному положению центра атома (i)-типа, кото(14) рый принадлежит ячейке с трансляционным вектором t, Штрих у знака суммирования указывает на исключесоответствует точка d(i) + t. Поэтому суммарную плотние членов с t = 0 и (k) =(i). Приводимая формула симность заряда ядра и электронов этого атома и потенметризована относительно вкладов взаимодействующих циала создаваемого им поля в точке r в адиабатичезарядов, поскольку при квазиклассической параметризаском приближении можно представить функциями вида ции плотности заряда и потенциала были использованы (i)(r - d(i) - t) и (i)(r - d(i) - t). Потенциальная энерне связанные уравнением Пуассона аппроксимации.

гия (t)-атома центральной элементарной ячейки (t = 0) Приближение центрального поля для составляющих вычисляется как 1/2 объемного интеграла от произвеатомов позволяет данное выражение потенциальной дения соответствующей плотности заряда (i)(r - d(i)) энергии представить в виде суммы вкладов, которые на суперпозицию потенциалов (k)(r - d(k) - t) всех являются функциями только квадратов расстояний от (k)-атомов кристалла, а последующее суммирование по точки r + d(i) до точки d(k) + t, базису центральной элементарной ячейки с N атомами N дает ее потенциальную энергию. При расчете статиче U(i)(r) = U(ik)t r2 - 2r(ik)tr + r2. (15) ской энергии кристалла (который является системой с (ik)t t кулоновским взаимодействием), приходящейся на эле- (k)=ментарную ячейку, согласно теореме вириала, появляДля оценки энергии малых колебаний решетки разлоется еще один множитель 1/жим каждую из подобных составляющих в степенной N N ряд по переменным частям аргументов и сохраним тольEstat = dr(i)(r - d(i))k(r - d(k) - t). ко постоянные и линейные члены. Из них за колебания t ответственны члены (i)=1 (k)=(11) N dU(ik)t(r(ik)t) 1 rЧерез r(i) j ( j = 1, 2, 3,..., q(i)) обозначим внешние U(i)vibr(r) =. (16) 2 dr(ik)t r(ik)t радиусы слоев однородности в (i)-атоме (q(i) —число t (k)=Физика твердого тела, 2004, том 46, вып. Квазиклассические оценки постоянной решетки и ширины запрещенной зоны кристалла... При реализации квазиклассической схемы парные по- ным элементам от потенциальной энергии электрона — тециальные энергии U(ik)t(r(ik)t) представляют собой (r) и записываются в форме линейных комбинаций линейные комбинации функций V (r(i) j, r(k)l, r(ik)t), опре- объемов пересечений триад сфер, центрированных в узлах решетки, с радиусами, равными радиусам классиделяющих объемы областей пересечения слоев одноческих точек поворота частиц составляющих кристалл родности плотности заряда и потенциала во взаимоатомов. Здесь p — квазиимпульс электрона, действующих атомах. Следовательно, частоты решеточных колебаний выражаются частными производными V(ik) jl(r(ik)t, r(i), r(k)t- ) = V (R1, R2, D12)/D12. Конкретно, если M(i) обозначает массу (i)-атома, молярная энергия нулевых колебаний = V r(i) j, r(k)l, r(), r(ik)t, r(i), r(k)tкристалла равна N + V r(i) j, r(k)l-1, r()-1, r(ik)t, r(i), r(k)tEvibr = (i)=1 + V r(i) j-1, r(k)l, r()-1, r(ik)t, r(i), r(k)tq(i) q(k) N (i) j(k)l + (k)l(i) j V(ik) jl(r(ik)t) + V r(i) j-1, r(k)l-1, r(), r(ik)t, r(i), r(k)t.

Pages:     || 2 | 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.