WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |
Физика твердого тела, 2005, том 47, вып. 11 К теории дифракции света в фотонных кристаллах с учетом межслоевой неупорядоченности © В.А. Кособукин Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, 194021 Санкт-Петербург, Россия E-mail: Vladimir.Kosobukin@mail.ioffe.ru (Поступила в Редакцию 13 января 2005 г.) На основе электродинамического метода функций Грина построена аналитическая теория брэгговской дифракции поляризованного света в фотонных кристаллах, имеющих плотноупакованную структуру. Для фотонных кристаллов на основе опалов вычислена интенсивность брэгговской дифракции, в которой учитываются периодическая модуляция диэлектрической проницаемости, наличие оптической границы кристалла и межслоевой неупорядоченности, обычно возникающей при росте образцов. Подробно исследовано влияние на дифракцию структурного беспорядка, обусловленного случайной упаковкой ростовых слоев. Для получающейся случайной двойникованной ГЦК структуры вычислены усредненные структурный фактор и сечения рассеяния (дифракции), зависящие от линейной поляризации падающей и рассеянной волн. Численными примерами показано, что представленная теория применима для анализа и обработки экспериментальных картин дифракции реальных фотонных кристаллов с одномерно разупорядоченной плотноупакованной структурой.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 04-0217592).

1. Введение Исследования брэгговской дифракции света в фотонных кристаллах, которые начались совсем недавно [12–14], обнаруживают качественно новые эффекты Явление дифракции волн разной физической природы по сравнению с рентгеноструктурным анализом атом(рентгеновских лучей, нейтронов, электронов) лежит в ных кристаллов. В частности, было продемонстрироваоснове методов изучения атомной структуры кристално [14], что брэгговские рефлексы в видимом свете не лов [1] и неупорядоченных твердых тел [2]. В то же вретолько дают прямую информацию о пространственной мя брэгговская дифракция волн в периодических струкструктуре фотонного кристалла, но служат индикатором турах (кристаллах) является причиной образования заобразования энергетических стоп-зон для определенных прещенных зон энергетического спектра [1,3]. Главным направлений в кристалле. Следовательно, обращение к признаком периодических диэлектрических структур, дифракционному эксперименту позволяет эмпирически называемых фотонными кристаллами, является наличие выделить каналы брэгговской дифракции, ответственные стоп-зон, т. е. запрещенных зон электромагнитного спекза образование конкретных стоп-зон. В связи с этим тра для определенных направлений в кристалле, или актуальным становится анализ основных особенностей полной запрещенной зоны для всех направлений [4].

дифракции света, на которые в реальных фотонных криЭтими обстоятельствами обусловлен огромный интесталлах влияют преломление света, разупорядоченность рес к созданию и исследованию фотонных кристаллов, структуры и т. д.

обладающих запрещенными зонами в разных областях Цель данной работы — построение теории брэгговспектра, от микроволновой [5,6] до видимой [6–9].

ской дифракции видимого света для реальных фотонных В рентгеновском спектре стоп-зоны чрезвычайно узкристаллов и вычисление практически важных наблюдакие, а образование полной запрещенной зоны невозможемых величин. Теория формулируется в аналитической но, так как пространственная модуляция диэлектричеформе на основе метода электродинамических функций ской проницаемости, определяющая ширину стоп-зон, Грина, при этом разделяются эффекты преломления имеет величину 10-5 [3]. Как следствие в рентгесвета на границе кристалла и дифракции света на носкопии кристаллов имеют дело с угловыми (дирекбрэгговских плоскостях в кристалле. Применительно к ционными) измерениями картин дифракции [1], а не фотонным кристаллам на основе опалов рассматриваетсо спектроскопией стоп-зон. В противоположность этося также влияние на брэгговскую дифракцию ростового му для фотонных кристаллов первостепенный интерес межслоевого беспорядка. Содержание статьи заключапредставляет наличие достаточно широких запрещенных ется в следующем. В разд. 2 рассматривается общая полос в видимом и длинноволновых диапазонах энер- постановка задачи, в разд. 3 вычисляется интенсивность гетического спектра. Для изучения таких запрещенных дифракции линейно поляризованных волн в фотонном зон используются спектроскопические методы, преиму- кристалле. Структурный фактор анализируется в разд. щественно методы отражения и пропускания (см., напри- для отдельных слоев и ГЦК решеток, а в разд. 5 — для мер [6–8,10,11]). случайной упаковки слоев.

К теории дифракции света в фотонных кристаллах с учетом межслоевой неупорядоченности 2. Общие соотношения удовлетворяющие на поверхности z = 0 максвелловским граничным условиям по z, приведены в Приложении I.

Функцию диэлектрической проницаемости идеального При наличии возмущения (r) полное электрическое фотонного кристалла представим в виде поле излучения вне фотонного кристалла (z < 0) выражается соотношением (r) =0 + (r). (1) E(r) =E(r) +k2 dr · G0 (r, r ) · (r ) · (r );

Здесь фоновая постоянная (5) 0 = dr · (r)(2) здесь и далее тильдой обозначается поле в кристалле V V (z > 0). Полное поле, учитывающее дифракцию света на рельефе (r), определяется интегральным уравсоответствует усреднению по объему кристалла V.

нением Вклад (r) = (r + i), периодичный с векторами основных трансляций кристаллической решетки i, от(r, (r) = (r) +k2 dr · G0 r ) · (r ) · (r ).

вечает за процессы брэгговской дифракции. При этом справедливо разложение в ряд Фурье (6) При решении уравнений (4)–(6) предполагаем, что (r) = beib·r, из среды с z < 0 на поверхность кристалла z = 0 под b( =0) углом (рис. 1, a) падает волна с линейной поляриза inc цией (далее p или s), амплитудой E и волновым b = dr · e-ib · r (r) =, (3) вектором -b v vK = + ez k1, = 1k0 sin (ex cos + ey sin ), где v0 — объем элементарной ячейки, b — вектор k1 = 1 k0 cos. (7) обратной решетки, при этом b=0 = 0. Кинематика процессов дифракции определяется ориентацией кри- Здесь и далее e — декартовы орты „оптической“ сталлографических (брэгговских) плоскостей, каждая из системы координат, —полярный и — азимутальный которых перпендикулярна своему вектору b. При разу- углы. При z < 0 первое из уравнений (4) имеет решение порядочении кристалла представление (3), выражающее 0 inc E(r) =E e (K) exp(i·) наличие дальнего порядка, становится неприменимым, однако ближний порядок и связанные с ним особенности exp(ik1z )+r0 () exp(-ik1z ) (8) дифракции сохраняются, и это находит применение для структурного анализа некристаллических твердых для касательных ( = x, y) компонент поля и тел [2].

Ez (r) =(i/k2)d( · E0)/dz для нормальной компоненты, Будем считать, что фотонный кристалл занимает полугде r =(, z ), =(x, y). Орты поляризации поля (8) пространство (z > 0), в котором диэлектрическая функвыражаются формулами ция выражается формулой (1), а фоновая постоянная — ep(K) = ex cos + ey sin cos - ez sin, формулой (2). В нулевом приближении ( = 0) учитываем только фоновую диэлектрическую проницаемость с es(K) =-ex sin + ey cos (9) помощью функции 0(z ), которая равна 1, если z < 0, для p- и s-поляризованной волн соответственно. Коэфи 0, если z > 0. Наличие скачка диэлектрического фициенты отражения r0 этих волн от границы z = фона 0(z ) определяет оптическую границу фотонного имеют вид кристалла z = 0, от которой свет отражается зеркально независимо от ориентации кристаллографических плос- 1k - 0k1 k1 - k r0 =, r0 =, (10) p костей. Для монохроматического (с частотой ) света 1k + 0k1 s k1 + k электрическое поле E0 и тензорная функция Грина нулевого приближения, а также полное поле E опреде- где k() = 0k2 - 2. В кристалле (z > 0) касательные ляются следующими уравнениями электродинамики:

компоненты поля, входящего в (6) в качестве внешнего, равны rot rot -k20(z ) I E0(r), 0(r, r ), E(r) 0 inc (r) =E t ()e (Q) exp(iQ · r), (11) где t = 1 + r0. Связь между векторами = 0, I(r - r ), k2 (r)E(r). (4) Q = + ez k, k = 0 k0 cos (12) Здесь k0 = /c, c — скорость света в вакууме, I —единичная матрица с элементами I =, и —де- и K из (7)определяется законом преломления света картовы индексы, — символ Кронекера, (r) =1 sin = 0 sin = /k0 (условием сохранения веквне кристалла. Решения уравнений (4) E0(r) и 0(r, r ), тора ) на границе z = 0 (рис. 1, a), причем орты e (Q) 3 Физика твердого тела, 2005, том 47, вып. 1956 В.А. Кособукин Это справедливо и для опалоподобных фотонных кристаллов, обладающих малым оптическим контрастом | |/0 1. Вычислим наблюдаемые характеристики дифракции в низшем по (борновском) приближении, положив 0(r) = 0(Q) exp(iQ · r) с учетом (11) в выражениях (5) и (6). Тогда имеет ту же поляризацию, что и внешнее поле E0. Поле вне кристалла E = E - E0 найдем из (5), используя представление (I.1) для функции Грина 0(r, r ). Вычисление интеграла по в (I.1) методом стационарной фазы [15,16] приводит к следующему асимптотическому выражению для поля излучения в обратную полусферу (z < 0, 1k0r 1):

i 1k3 cos ei 1k0r E(r) =- D0 (0-, 0+; ) 2 r dr · (r )e-iq·r (Q). (13) V Для задачи излучения из кристалла тензорная функция Грина D0(z, z ; ) в смешанном (z, )-представлении дается формулами (I.3), (I.4), (I.6) и (I.7) из Приложения I.

Вектор выражается формулой (7) через углы и вектора K, направленного в точку наблюдения r =(, z ) =r (ex cos + ey sin ) sin - ez cos вне кристалла. В (13) введен вектор рассеяния света внутри кристалла q = Q - Q. (14) Определив волновые векторы Q и Q формулой (12), для безразмерных величин Рис. 1. Геометрия задачи. a — преобразование волн при = q (15) дифракции света в кристалле. Волновому вектору K(K ) падаk0 ющей (вторичной) волны соответствует вектор Q(Q ) внутри кристалла, причем Q + b = Q, где b — вектор обратной рев „оптической“ системе координат с ортами e получаем шетки. b — основные направления и плоскости, используемые при анализе дифракции света в ГЦК решетке опалов.

x = sin cos - sin cos, y = sin sin - sin sin, получаются из (9) при замене угла. Волновые векторы рассеянной волны Q внутри кристалла и K z = -(cos + cos ). (16) вне его получаются путем замен, - Вычислим вне кристалла (z -) величины вектои - в выражениях вида (7), (9) для K и (12) ра Пойнтинга Sinc = c 1 |Einc| падающей волны (8) /для Q, где углы и отсчитываются от отрица- с поляризацией и S = c 1|E |2/8 рассеянной тельного направления орта ez. Для упругого процесса волны (13) с поляризацией. Их отношения S /Sinc дифракции |Q | = |Q| = 0k0 и |K | = |K| = 1k0.

определяют сечения рассеяния (дифракции) 3. Наблюдаемые оптические величины dW ( ) k0 = dr · (r)e-iq·r · t () d Брэгговская дифракция волн представляет собой разV новидность когерентного упругого рассеяния, которое проявляется при длинах волн, сопоставимых с простран- w (Q, Q ) · t ( ) (17) ственным периодом рассеивающей среды. При анализе атомной структуры обычно является достаточным бор- во всех каналах K, K,, определяемых поляновское приближение теории рассеяния (дифракции) [2]. ризациями падающей и дифрагировавшей волн.

Физика твердого тела, 2005, том 47, вып. К теории дифракции света в фотонных кристаллах с учетом межслоевой неупорядоченности В (17) d = sin d d — элемент телесного угла, а усреднить, причем в случае плотной упаковки одинаковеличины вых шаров усредняется только структурный фактор (20).

wss = cos2( - ), Суммирование по узлам n =(n, l) в (20) разделим на внутрислоевое (по n ) и межслоевое (по l) и используем w = cos2 cos cos( - ) - sin tg, pp представление Rn -n Rn -n,0 + R0,l -l, где l(l ) —номер слоя. Случайный вектор R0,l=1 может принимать два wsp = cos2 sin2( - ), w = cos2 sin2( - ) (18) ps значения: uI или uII. Для случайной упаковки усреднение вычислены с учетом функций (I.4), (I.6) и (I.7). Соструктурного фактора (20) дает гласно (17) и (18), при дифракции света в плоскости падения света на кристалл ( =, wsp = w = 0) L ps 0,l-l деполяризация отсутствует. S(q) = S (q) S(q) = S (q) e-iq·R. (22) L Согласно (17), основные особенности дифракции l,l =определяются величиной Здесь S (q) — сумма вида (20), относящаяся к регуляр ному слою, L — число слоев вдоль оси роста структуры.

dr · (r) · e-iq · r = v0V q S(q), (19) V 4. Дифракция на регулярной структуре которая включает структурный фактор Нашей дальнейшей задачей является вычисление ве1 1 личин, наблюдаемых при дифракции света в опалах S(q) = e-iq · Rn = e-iq · (Rn-Rn ), (20) с учетом неупорядоченности, и их детальный анализ N N n n,n применительно к экспериментам [12–14]. Обсудим сначала особенности брэгговской дифракции света на двух где N — число ячеек в объеме кристалла V = v0N.

возможных регулярных ГЦК решетках... ABCABC...

Форм-фактор и... ACBACB..., которые далее называем ГЦК-I и ГЦК-II. Будем считать ГЦК-I основной ГЦК решеткой и q = dr · (r) · e-iq · r (21) vотносить к ней рассматриваемые кристаллографические vплоскости и направления, показанные на рис. 1, b. Решетки ГЦК-I и ГЦК-II, имеющие общий гексагональный получается при интегрировании по кристаллической слой, получаются путем трансляций этого слоя на ячейке Вигнера–Зейтца объема v0 с центром Rn = 0.

вектор a3, равный uI или uII соответственно.

При этом для ГЦК решетки, построенной из плотПлотноупакованные (гексагональные) слои служат ноупакованных диэлектрических шаров одного разместруктурными элементами при построении как идеальра, 0 = i f + e(1- f ) согласно (2), где i(e) — ных ГЦК решеток, так и случайных плотных упаковок.

диэлектрическая постоянная внутри (вне) шаров, Поэтому рассмотрим сначала входящий в (22) структурf = 2/6 0.74 — фактор заполнения.

Pages:     || 2 | 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.