WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 42 |

Исходная модель инфляции (Stock, Watson, 2007) предполагает, что рост цен зависит только от роста цен в предыдущие периоды. При этом процесс инфляции представляет собой случайное блуждание, стохастический тренд, на которое накладывается некоррелированный шум. Дисперсия этого шума, как и дисперсия отклонений от стохастического тренда, стохастически изменяется со временем. Таким образом, для прогнозирования инфляции необходимо удалить шум и экстраполировать очищенный тренд. Статистическая оценка данной модели произво Российская экономика: взгляд молодых исследователей дится при помощи непараметрического бутстрапа с использованием метода MCMC (Монте-Карло на основе марковской цепи). В работе использованы официальные данные Росстата по индексу потребительских цен с 1999 по 2009 г.

Мы предложили модификацию исходной модели, учитывающую сезонную составляющую инфляции, и модификацию метода оценки. Усложнение модели потребовало изменить исходный расчетный алгоритм, использовать фильтр Калмана вместо стандартного метода расчета условного математического ожидания. Данная модификация модели позволила устранить систематическую ошибку прогнозов, вызванную сезонностью.

Сопоставление псевдовневыборочных прогнозов за период с 2002 по 2009 г. показало, что прогнозы по выделенным стохастическим трендам сопоставимы по критерию отношения стандартных ошибок прогноза с наивными авторегрессионными прогнозами на выборке 2002–2006 гг. и даже опережают их на 15% в последние, предкризисные и кризисные годы (2007–2009 гг.). Это говорит о хороших прогностических свойствах метода выделения стохастических трендов.

Помимо прогнозов модель позволяет получить оценку стохастического тренда, который, в свою очередь, позволяет судить о динамике инфляционных ожиданий в России.

Используемая в работе техника имеет практическое применение. На данном этапе прогнозы инфляции получаются без систематических ошибок. Модель может быть после некоторой доработки и учета дополнительных объясняющих факторов использована для краткосрочного прогнозирования индекса потребительских цен.

В первой части работы приводятся описание использованных данных и результаты выбора моделей среди разных параметрических классов. Во второй части приведены результаты линейной и нелинейной фильтрации стохастического тренда. В третьей части приведены результаты сравнения моделей при помощи псевдовневыборочных прогнозов.

В конце работы приведены выводы и список литературы.

1. Анализ инфляционной динамики в России В данной части работы описаны результаты выбора одномерных моделей временного ряда инфляции. В работе рассмотрены классы ARIMA, линейные и нелинейные модели с ненаблюдаемыми компонентами. Для каждого класса выбран наилучший представитель.

Раздел 1. Макроэкономика и финансы В качестве показателя инфляции используются данные по приростам ИПЦ по отношению к предыдущему месяцу с января 1999-го по первый квартал 2009 г. Данные до 1999 г. не рассматриваются ввиду их низкой точности.

Показатели помесячной динамики, отношение ИПЦ к значению за предыдущий месяц, преобразованы1 в вид t = ln(yt /100)1200.

Данные по квартальной динамике получены из месячных точек, сгруппированных по три и усредненных внутри каждой группы.

1. 1. Проверка на стационарность и процедура Бокса– Дженкинса Расширенный тест Дики–Фуллера не отвергает на 10%-ном уровне значимости гипотезу о нестационарности ряда разностей логарифма ИПЦ, что согласуется с графическим анализом коррелограммы. Для ряда двойных разностей тест отвергает гипотезу нестационарности даже на 1%-ном уровне значимости.

В качестве общей модели для процедуры Бокса–Дженкинса выбрана модель ARIMA (4, 1, 4) (для ряда t разностей логарифма ИПЦ). Затем методом максимального правдоподобия (ММП) эта модель была оценена.

Наилучшей моделью из этого класса с точки зрения критерия Акайке является следующая модель (в скобках указаны стандартные отклонения):

t = t-1 + 0.44t-3 -0.80t-1 -0.59t-2 + 0.39t-4 + t. (1) (0.15) (0.21) (0.09) (0.09) Здесь ~ N (0, I).

При значениях yt /100, близких к единице, значения t примерно равны приросту ИПЦ в годовом выражении. Логарифмическое преобразование также было использовано Стоком и Ватсоном (Stock, Watson, 2007)..

Российская экономика: взгляд молодых исследователей 1.2. Выбор модели среди класса линейных моделей с ненаблюдаемыми компонентами Простейшей нестационарной линейной моделью с сезонностью является модель t =t + d1t + d2t + d3t.

t =t-1 + t Здесь ~ N(0, I), di i=1, обозначает сезонную dummyпеременную. di равно единице, если t кратно i, и нулю в других точках.

В дальнейшем эта модель будет называться «наивной».

В этой модели наблюдается ряд t, который является аддитивной смесью стохастического тренда t и сезонной составляющей.

Эту модель можно преобразовать к стандартному виду без экзогенных переменных di, если ввести дополнительную ненаблюдаемую компоненту:

t =t + st t =t-1 + t. (2) st =-st-1 - st-2 - st-Оценка этой модели производилась при помощи фильтра Калмана с диффузионными исходными значениями. Оценка вариации Var(t ) = = exp(c) производилась при помощи метода максимального правдоподобия. Оцененное значение C= 3,56 (0,12).

В работе (Stock, Watson, 2007) при моделировании инфляции в США рассматривалась модель t =t +t. (3) t =t-1 + t Здесь, ~ N(0, 2I). Однако в США сезонный ~ N (0, I) фактор выражен не так четко, как в российских данных. Поэтому прежде чем использовать эту модель для анализа отечественных временных рядов, необходимо ее видоизменить. Представляется логичным совместить (2) и (3) в виде Раздел 1. Макроэкономика и финансы t =t + st +t, t =t-1 + t,. (4) st =-st-1 - st-2 - st-3 +t, 2 Здесь также, ~ N(0, 2I),.

~ N (0, I ) ~ N (0, I) Модель (4) представляет собой наложение трех временных рядов: стохастического тренда t, сезонной составляющей st, эволюционирующей со временем, и нерегулярной составляющей, белого шума t 1.

Оценка модели (4) также проводилась с использованием фильтра Калмана. Оценки 2, 2, 2 при помощи ММП дали следующие результаты2:

c =2,62 (0,17), c =2,62 (0,27), c = –26.

1.3. Нелинейная модель В работе Стока и Ватсона (Stock, Watson, 2007) обнаружено, что дисперсии 2, 2 для инфляции в США изменяются со временем. Авторы предложили обобщение модели (2), учитывающее стохастический характер волатильности, – модель Unobserved Component with Stochastic Volatility (UC-SV):

Модели такого типа называются моделями с ненаблюдаемыми компонентами. Обзор методов выбора в этом классе моделей и методов оценивания можно найти, например, в книге (Harvey, 2006).

ln( ) = c.

Российская экономика: взгляд молодых исследователей t = t +t,t =,t,t, t = t-1 + t,t =,t,t, 2 ln(,t ) = ln(,t-1) +,t, (5) 2 ln(,t ) = ln(,t-1) +,t, t = (,t,,t ) ~ NID(0, I2), t = (,t,,t ) ~ NID(0,I2), где t и t – независимые случайные величины, параметр – скаляр, определяющий гладкость реализации ряда логарифмов дисперсий. Модель (3) является частным случаем модели (5) при, равном нулю.

Оценка модели (5) представляет собой трудоемкую задачу. Авторы модели использовали для ее оценки непараметрический бутстреп. Алгоритм оценки можно кратко представить в виде схемы.

1. Оценивается ряд t при условии заданных рядов ln(,t ) и 2 * ln(,t ). Затем генерируется новая реализация ряда при тех же t * * * условиях. Строятся оценки рядов t = t - и t = -.

t t-t 2 2. По рядам t и t строятся оценки рядов ln(,t ) и ln(,t ). Затем 2 генерируется новая реализация рядов ln(,t )* и ln(,t )*.

3. Алгоритм возвращается на первый шаг, но уже с новыми оценками 2 ln(,t )* и ln(,t )*.

После некоторой итерации алгоритм начинает генерировать ряды 2 2 * ln(,t )*, ln(,t )* и согласно некоторому предельному распредеt лению описанной марковской цепи. Можно показать1, что предельное распределение данной цепи совпадает с апостериорным распределением 2 2 * рядов ln(,t )*, ln(,t )* и.

t Алгоритм представляет собой модификацию алгоритма семплирования по Гиббсу.

См., например (Casella, George, 1992).

Раздел 1. Макроэкономика и финансы Модель UC-SV не подходит для российского ИПЦ в своей исходной спецификации (5), поскольку в ней никак не отражена сезонность ИПЦ.

Логичным обобщением модели (5) является t =t + st +t,t =,t,t, t =t-1 + t,t =,t,t, st =-st-1 - st-2 - st-3, ln(,t ) = ln(,t-1) +,t, (6) ln(,t ) = ln(,t-1) +,t, t = (,t,,t ) ~ NID(0, I2), t = (,t,,t ) ~ NID(0, I2), где st – аддитивная сезонная компонента.

Метод оценки модели (6) принципиально не отличается от метода для спецификации (5). Однако с вычислительной точки зрения для вычисления условного математического ожидания предпочтительнее использовать фильтр Калмана.

Из-за высокой чувствительности метода оценки модели (6) к выбросам расчет проводился на периоде 2000–2009 гг. со стабильной волатильностью инфляции. Также остается открытым вопрос о сходимости модифицированного таким образом алгоритма.

2. Декомпозиция ряда t В этой части работы приведены сглаженные оценки компонент ряда логарифмов ИПЦ, соответствующие модели (4) и модели (6): тренда, сезонной компоненты и нерегулярной части.

Российская экономика: взгляд молодых исследователей ИПЦ Тренд, гауссовская модель Тренд, негауссовская модель 1998 2000 2002 2004 2006 2008 Рис. 1. Ряд ИПЦ и два варианта выделения тренда.

Шкала логарифмическая.

4,3,2,Стандартное отклонение приращений стохастического 1,тренда Стандартное отклонение некоррелированной 0,составляющей 1998 2000 2002 2004 2006 2008 Рис. 2. Динамика волатильности ненаблюдаемых компонент Раздел 1. Макроэкономика и финансы Динамику стохастического тренда можно охарактеризовать как постепенный спад, начинающийся в 1999 г. и сменяющийся небольшим ускорением в 2007 г. Волатильность приращений стохастического тренда ведет себя относительно стабильно на всем периоде с 1999 по 2008 г.

Стандартное отклонение нерегулярной составляющей уменьшилось на треть с 2000 по 2004 г. В 2008 г. наблюдается небольшой рост дисперсии обеих компонент.

Относительное уменьшение стандартного отклонения нерегулярной составляющей должно приводить к улучшению точности прогнозов.

3. Сравнение прогнозов В третьей части работы приведены результаты сравнения прогнозов по моделям (1), (2), и (4). Критерий сравнения – отношение среднеквадратичной ошибки прогноза по модели (2) к ошибке прогноза по модели (1) (root mean squared error RMSE:

th ( -th )MSE2 t=t1 t+h +h|t RMSE2-1 ==.

MSE1 t2 h % ( -th )t+h +h|t t=t~ Здесь th и th обозначает прогноз на h периодов вперед на ос+h|t +h|t ~ нове данных вплоть до момента t. th – эталонный прогноз, th – +h|t +h|t исследуемый прогноз. Если RMSE<1, то модель (2) дает более точный прогноз, чем эталонная модель 1.

В качестве эталонного прогноза была выбрана модель 2. Сопоставления производились как на двух периодах (2002–2007 гг. и 2007– 2009 гг.), так и в динамике при помощи скользящего окна шириной в три года.

Российская экономика: взгляд молодых исследователей 1,1,1,RMSE 1-0,RMSE 4-0,RMSE 2-0,0,0,0,2004,5 2005 2005,5 2006 2006,5 2007 2007,5 2008 2008,5 2009 2009,Рис. 3. Отношение среднеквадратичной ошибки прогноза по модели (2) к ошибке прогноза по модели (1) с горизонтом в один квартал.

Ширина окна 3 года В ходе исследования было обнаружено, что отношение ошибок прогнозов, построенных при помощи разных моделей, изменяется со временем. На периоде с 2002-го по середину 2005 г. лучшей оказалась модель (1), соответствующая ARIMA (4, 1,4). На остальной выборке лучшие предсказания дает модель (4). Этот результат можно увидеть на рис. 3.

Результаты прогнозирования для разных горизонтов приведены в сводной табл. 1.

Таблица Отношение среднеквадратичной ошибки прогнозов по модели (4) к ошибке эталонного прогноза по модели (2) Горизонт, кв. I II III IV 2002 г., кв. II – 2006 г., кв. IV 0,89 1,01 0,92 0,2007 г., кв. I – 2009 г., кв. II 0,92 1,00 1,00 0,Общая выборка 0,90 1,01 0,96 0,Раздел 1. Макроэкономика и финансы Выводы В данной работе временной ряд индекса потребительских цен был представлен в виде композиции трех составляющих: тренда, сезонной волны и некоррелированного шума. Было обнаружено, что на протяжении всего периода с 1999 по 2009 г. модель (1) дает прогнозы либо не хуже, либо лучше, чем модель (2), не учитывающая некоррелированный шум.

Хорошее качество прогнозов, полученных по модели ARIMA (4, 1, 4), можно объяснить тем, что она, по-видимому, является редукцией соответствующей модели с ненаблюдаемыми компонентами (модель (4)).

Являясь лишь хорошим приближением основной модели на некотором периоде времени, такая редуцированная модель нуждается в постоянном обновлении оценок коэффициентов в связи с изменениями самого исследуемого процесса. По всей видимости, в 2007 г. в инфляционном процессе произошли подобные изменения. В результате модель ARIMA стала уступать по качеству так называемой наивной модели (2).

Если бы индекс потребительских цен следовал наивной модели, то это означало бы, что инфляционные ожидания агентов являются адаптивными. То есть фирмы при выборе новых цен ориентировались бы только на инфляцию в прошлом периоде и на инфляцию в аналогичный период в прошлые годы. Это означает, что инфляция являлась бы целиком самоподдерживающимся инерционным процессом. Внешние шоки аккумулировались бы и влияли на будущую динамику цен бесконечно долго.

Также в данной работе сделана попытка адаптации метода декомпозиции временного ряда на стохастический тренд и шум с переменными волатильностями к российским временным рядам. Был предложен способ учета сезонного фактора в рамках модели UC-SV. Хотя оценка не лишена недостатков, она позволяет получить результаты, согласующиеся с результатами, полученными при помощи фильтра Калмана. Однако модель UC-SV также позволяет оценить изменения в дисперсии шума и дисперсии приращений тренда. Как было показано выше, эта информация может пролить свет на влияние издержек на общий рост цен.

Российская экономика: взгляд молодых исследователей Список использованной литературы 1. Bos Charles S., Shephard Neil (2004). Inference for Adaptive Time Series Models // TI 2004–015/4 Tinbergen Institute Discussion Paper.

2. Casella G., George E. I. (1992). Explaining the Gibbs Sampler // The American Statistician. Vol. 46. N. 3 (Aug.). P. 167–174.

3. Christophe Andrieu and others (2003). An Introduction to MCMC for Machine Learning // Kluwer Academic Publishers. 50, 5–43.

4. Harvey A.C. (2006). Forecasting with Unobserved Components Time Series Models // Handbook of Economic Forecasting. North-Holland.

P. 330–408.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 42 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.