WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

ту (32), что и требовалось доказать. Выражение (29) для (2) 1(r, t) преобразуем аналогично. Разница состоит только в том, что вместо (36) имеем 5. Переход к выражениям, содержащим магнитное поле ie - (r), ria(ri, t) = c (2) i Получим шестое выражение для j1(r, t), в которое введем магнитное поле. Разобьем (38) на две части и от (29) переходим к (33).

Итак, сравнивая наши результаты с результатами, (2) (-) (+) j1(r, t) = j1(r, t) + j1(r, t), (41) полученными в [3,4] мы доказали применимость выражений (26) и (29) для дополнительных вкладов в средe A(r, t) A(r, t) (±) j1(r, t) = d(r) ± ние значения наведенных плотностей тока и заряда, 2mc r r содержащих только производные по координатам от электрических полей.

- d3r d Y(r ) j(r, i ) 2c 4. Анализ формул A(r, t) A(r, t) ±. (42) для дополнительного вклада r r в среднюю плотность тока (-) Поскольку H = rot A, величина j1(r, t) выражается (2) Величина j1(r, t) определена в трех формах: (26), через магнитное поле (31) и (32). В [4] перечислены некоторые свойства e (-) этой величины. Продолжим ее исследование и получим j1(r, t) = - (H(r, t) r) (r) (2) 2mc четвертое выражение для j1(r, t) через производные от векторного потенциала A(r, t) по координатам.

+ d3r d(H(r, t) r ) j(r ) j(r, i ), (43) Во втором члене формулы (31) для j(r ) используем 2c соотношение (34). В результате этот второй член разбивается на две части: в первой из них интегрируем по r а величину j1(r, t) (+) можно выразить через вторые по частям, во второй используем формулу производные от векторного потенциала по координатам i e 2A [F, Q] = d QF(i ), (37) (+) j1(r, t) = - (r) rr 2mc rr которая следует из (19) при t = t. Вычислив коммута- 1 2A тор, получаем + d3r r r d j(r ) j(r, i ). (44) 2c r r e A(r, t) (2) j1(r, t) = d(r) Для вывода (44) из (42) мы поступили следующим mc r образом: в формуле (42) использовали соотношение 1 A(r, t) Y(r ) =r j(r ), а для j(r ) —формулу (34). Далее - d3r d Y(r ) j(r, i ). (38) в члене, содержащем Y(r )/r, проинтегрировали c r по r по частям, а в члене, содержащем d(r ), исДля получения еще одного — пятого — выражения пользовали (39), проинтегрировали по r и вычислили для дополнительного вклада в плотность тока исполькоммутатор.

зуем (34) для j(r, i ) из (31), а также следующую Можно показать, что величины j1(r, t) (+) (-) модификацию (37):

и j1(r, t) по отдельности обладают свойствами i (±) (±) [F, Q] = d FQ(i ). (39) div j1(r, t) = 0, d3r j1(r, t) = 0. (45) 12 Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. 1908 С.Т. Павлов, И.Г. Ланг, Л.И. Коровин (+) Покажем, что вклад j1(r, t) можно выразить через 6. Исключение диагональных вторые производные от электрического поля по коордиэлементов операторов ri натам. Для этого выражение Выражения (26) и (29) для дополнительных вкладов t в среднюю наведенную плотность тока и заряда в отA(r, t) =a(r, t) - c dt (r, t )/r (46) личие от (32) и (33) содержат операторы ri координат частиц. Действительно, определения (17) можно перепидля векторного потенциала (следующее из (3)) под(±) сать в виде ставим в (42). Тогда в величинах j1(r, t) можно d(r) =e ri(r - ri), (53) выделить вклады от скалярного потенциала, которым i припишем индекс, т. е.

Y =(e/2) ri ji + jiri. (54) (±) (±) (±) j1(r, t) = j1(r, t) + j1(r, t). (47) E i Но средние значения j1(r, t) и 1(r, t) не должны Сразу получаем зависеть от положения точки отсчета координат ri. Это (-) означает, что выражения (26) и (29) содержат только j1(r, t) = 0, (48) недиагональные элементы операторов ri, а диагональные а также элементы могут быть исключены. Покажем, что это t действительно так.

e 2(r, t ) (+) j1(r, t) = dt - d(r) Преобразуем (54) так, чтобы оператор ri стоял m r только слева Y(r) =-(i /2m)(r) + ri ji(r). (55) + d3r d Y(r ) j(r, i ). (49) r r i Подставляя (53) и (55) в (26), получим Во втором члене в формуле (49) дважды интегрируем по частям: сначала по переменной r, затем по переменi (2) j1(r, t) = d3r d (r ) j(r, i ) div a(r, t) ной r. Далее используем уравнение непрерывности (8) 2mc и соотношение (37). В результате получаем, что второй член из (49) равен первому с противоположным знаe2 a(r, t) + ri(r - ri) ком и mc r (+) i j1(r, t) = 0. (50) 1 a(r, t) Учитывая (48) и (50), из (47) и (42) получаем - d3r d ri ji(r ) j1(r, i ).

c r (±) i j1(r, t) = j1(r, t) (±) E (56) Первые два члена в (56) пока оставим без изменений, e a(r, t) a(r, t) = d(r) ± - d3r а в последнем разобьем оператор ri на две части 2mc r r 2c ri = rd + rnd, (57) i i a(r, t) a(r, t) d Y(r ) j1(r, i ) ±.

где индексы d и nd означают соответственно диагональr r ный и недиагональный вклады. Оператор rd определен (51) i через свои матричные элементы Используя уравнение Максвелла rot E = -(1/c)(H/t) и определение (18) вектора a(r, t), снова приходим n|rd|m = n|ri|m n|m, (58) i (-) к выражению(43) для j(r, t), а также получаем где |n — собственные функции гамильтониана H.

Очевидно свойство коммутативности e 2a(r, t) (+) j1(r, t) = - (r) rr 2mc rr [H, rd] =0.

i 1 2a(r, t) Рассмотрим вклад от оператора rd в последний член i + d3r dr r j(r ) j(r, i ).

в формуле (56). Обозначим этот вклад как I(r, t).

2c r r Выполним интегрирование по r по частям, затем ис(52) пользуем соотношение непрерывности (8). Получаем Учитывая определение (18), находим, что величина (+) j1(r, t) выражена через вторые производные от I(r, t) =-(1/c) d3r электрического поля по координатам. Итак, шестая (и последняя) формула для дополнительного вкла (2) да j1(r, t) определяется суммой выражений (43) d rdi(r ) j(r, i ) a(r, t). (59) i и (52).

i Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. Аналог формулы Кубо для электропроводности в случае пространственно неоднородных сред... Поскольку оператор rd коммутирует с гамильтониа- матричных элементов оператора ri, i ном H, выражение (59) можно переписать в виде i (2) j1(r, t) = d3r 2mc I(r, t) =-(1/c) d3r d (r ) j(r, i ) div a(r, t) d i(r ) j(r, i )rd(i ) a(r, t). (60) i i + d3r d ji (r ) j(r, i )rnd(i ) i c i Подставим в формулу (60) rd = ri - rnd, тогда величиi i a(r, t) на I(r, t) разобьется на две части - rnd ji(r ) j(r, i ). (67) i r I(r, t) =I (r, t) +In (r, t), (61) Аналогично получаем i (2) (r, t) = d3r где 2mc I (r, t) =-(1/c) d3r d (r )(r, i ) div a(r, t) d i (r ) j(r, i )ri(i ) a(r, t), (62) + d3r d ji(r )(r, i )rnd(i ) i c i i a(r, t) - rnd ji(r )(r, i ). (68) i r I (r, t) =(1/c) d3r 7. Тензор электропроводности d i(r ) j(r, i )rnd(i ) a(r, t). (63) i i Совершим Фурье-преобразование электрического поля Формула (62) с учетом (37) превращается в E(k, ) = d3r dt E(r, t)e-i(kr-t), (69) I (r, t) =-(i/ c) d3r [ j(r)ri, (r )] a(r, t).

i E(r, t) =(2)-4 d3k d E(k, )ei(kr-t) + c.c.

(64) (70) Интегрируя по r и вычисляя коммутатор, получаем выражение Среднюю наведенную плотность тока можно записать в виде e2 a(r, t) I (r, t) =- ri(r - ri), (65) j1(r, t) =(2)-4 d3k d(k, |r) mc r i E(k, )ei(kr-t) + c.c., (71) которое сокращается со вторым членом в (56). Остается величина I (r, t), которую преобразуем, используя где (k, |r) — зависящий от пространственных коуравнение непрерывности (8) и интегрируя по перемен- ординат тензор электропроводности (обозначение заимной r по частям. В результате ствовано из [8]).

Используя выражения (25) и (67) соответственно для основного и дополнительного вкладов в среднюю I (r, t) = d3r наведенную плотность тока, получаем c (1) (2) (k, |r) = (k, |r) + (k, |r), (72) a(r, t) d ji(r ) j(r, i )rnd(i ). (66) i r где i (1) (k, |r) = d3r dt d j(r - r, -i ) Используя (61), (65) и (66), получаем окончательное 0 выражение для дополнительного вклада в среднюю наведенную плотность тока, не содержащее диагональных j(r, t) exp[-i(kr - t)], (73) Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. 1910 С.Т. Павлов, И.Г. Ланг, Л.И. Коровин (2) (k, |r) тогда можно записать i k j1(r, t) =(1/2) d(|r)E()e-it + c.c., = d3r e-ikr d (r - r, -i ) j(r) 2m (81) k + d3r e-ikr d ji(r - r, -i ) j(r)rnd где индекс h означает поле, однородное в пространстве.

i Видно, что i (|r) =(k = 0, |r). (82) - rnd(-i ) ji(r - r, -i ) j(r). (74) i В случае T = 0 вместо (72) имеем Тогда с помощью (72)–(74) получаем I II III,0(k, |r) =(k, |r) +(k, |r) + (k, |r), (|r) = dt d J(-i ) j(r, t) eit, (83) (75) 0 где где введен оператор тока i I (k, |r) = d3r dte-i(kr -t) 0 J = e i. (84) i 0| j(r, t)i(r - r )rnd - rndi(r - r ) j(r, t)|0, i i Выражение (83) является обобщением формулы Кубо i (76) на случай пространственно неоднородной среды, когда e2k тензор электропроводности зависит от r.

II (k, |r) = 0|rnd(r - ri)|i Далее рассмотрим случай пространственно однородm i ной среды, в которой никакие средние величины не ik могут зависеть от координат r. Тогда тензор (|r) не - d3r dte-i(kr -t) 0| j(r, t) зависит от r, и из (83) получаем i - ji(r - r )rnd - rnd ji(r - r ) j(r, t)|0, (77) i i () =V0 dt d J(-i )J(t) eit, (85) 0 k III (k, |r) = d3r где V0 — нормированный объем. Полученная формула 2m совпадает с результатом Кубо [1], если заменить в пра вой части на - и учесть, что в [1] положено V0 = 1.

dt e-i(kr -t) 0|[ j(r, t), (r - r )]+|), (78) [F, Q]+ = FQ + QF. От (75) к (72) можно перейти, если 9. Случай постоянного магнитного в выражениях (76)–(78) усреднение 0|... |0 заменить поля на... и использовать формулу (37).Рассмотрим случай, когда внешнее слабое электро8. Приближение электрического поля, магнитное поле сводится к постоянному в пространстве и времени магнитному полю H(r, t) =H, а электриоднородного в пространстве ческое поле E(r, t) =0. Напомним, что мы включили векторный потенциал Ac(r), соответствующий постоянВ некоторых случаях можно пренебречь вкладами в величины средних наведенных плотностей тока и заря- ному магнитному полю Hc, в основной гамильтониан (6). Однако в настоящем разделе полагаем Hc = 0, да, содержащими производные от электрического поля Ac(r) =0, а поле H = const считаем настолько слабым, по координатам, т. е. полагать что можно ограничиться линейными по полю вкладами E(r, t) E(t), (79) в наведенные плотности тока и заряда. Тогда, согласно (25), основной вклад в наведенную плотность тока как это сделано, например, в [1], хотя, строго говоря, (1) j1(r, t) = 0, поскольку E(r, t) =0. Выберем вектороднородным в пространстве может быть только поле E, ный потенциал в виде не зависящее также и от времени. В приближении (79) совершаем Фурье-преобразование A(r) =(1/2)(H r). (86) (+) E() = dt eitE(t), (80) Тогда из (44) очевидно, что j1(r, t) = 0, поскольку содержит вторые производные от A(r) по координатам.

В [5] приведена формула для тензора электропроводности при (-) Остается только вклад j1(r, t), определенный в (43).

T = 0, не совпадающая с (75). Это связано с тем, что в [5] исТаким образом, в случае H = const в линейном приблиключены только диагональные элементы 0|ri |0 и введен оператор ri = ri - 0|ri |0, отличающийся от rnd. жении по полю удалось выразить плотность наведенного i Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. Аналог формулы Кубо для электропроводности в случае пространственно неоднородных сред... тока через напряженность магнитного поля. Теперь ис- в средние наведенные плотности тока и заряда, что ключим из выражения для j1(r, t) при H = const диаго- показано в разделе 6, а недиагональные элементы не нальные матричные элементы операторов ri. Для этого зависят от точки начала отсчета.

воспользуемся формулой (67), в которой вектор a(r, t) В разделе 7 вычислены основной и дополнительный может быть заменен векторным потенциалом A(r, t), по- вклады в тензор электропроводности в случае пространскольку исходное выражение (26) может быть заменено ственно неоднородных систем и неоднородных в прона (38). Подставив (86) в (67), получаем странстве полей. В приближении, когда электрическое поле однородно в пространстве, но зависит от времени e(раздел 8), сохраняются только основные вклады. В этом j1(r, t) = - (H rnd)(r - ri) i 2mc случае для тензора электропроводности, зависящего от i частоты и координат r, получена модифицированная ie - j(r)H rnd rnd i i формула Кубо, которая переходит в формулу из [1] 2 c i в случае пространственно однородных систем.

Наконец, в разделе 9 получено выражение для средней e + d (H rnd)vi j(r, i ). (87) наведенной плотности тока в случае, когда слабое элекi 2c i тромагнитное поле сводится к постоянному магнитному полю.

Заметим, что вектор rnd rnd = 0, так как проекции rnd Из (74) следует, что дополнительные вклады в элекi i i с разными индексами не коммутируют между собой, тропроводность содержат множитель k/. Если понапример ле E(r, t) — плоская волна, распространяющаяся со (rnd rnd)z =[rnd, rnd]. (88) i i ix iy скоростью света c (при монохроматическом облучеОтметим основные результаты полученные в настоя- нии), или волновой пакет (при импульсном облучении), то k /c и дополнительные вклады по сравнению щей работе. Показано, что средние значения плотностей с основными содержат малый множитель v/c, где v — тока и заряда, наведенных слабым электромагнитым полем, в случае конечных температур и пространствен- скорость частиц в системе. Однако эта оценка не всегда но неоднородных систем выражаются через электриче- верна в случае пространственно неоднородных систем, например полупроводниковых квантовых ям, проволок ские поля и их производные по координатам. Вклады, или точек. Поле E(r, t) можно считать внешним или возвыраженные через электрическое поле, были названы основными, а выраженные через производные — допол- буждающим полем только в том случае, если вычислять плотности наведенного тока и заряда в низшем порядке нительными.

по взаимодействию поля с системой заряженных частиц.

Для дополнительных вкладов в средние значения Такое приближение допустимо в случае квантовых ям наведенных плотностей тока и заряда получено шесть при условии [9,10] r, где r() — обратное радипар различных выражений. Два из этих выражений для ационное (нерадиационное) время жизни электронного плотности тока совпадают с полученными в [4]. Но возбуждения.

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.