WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика твердого тела, 2002, том 44, вып. 10 Спектр нормальных волн в двумерной решетке нейтральных атомов © А.В. Окомельков Институт физики микроструктур Российской академии наук, 603600 Нижний Новгород, Россия E-mail: okom@ipm.sci-nnov.ru (Поступила в Редакцию 10 июля 2001 г.

В окончательной редакции 6 декабря 2001 г.) Рассмотрено формирование спектра акустических фононов в 2D-решетке, состоящей из нейтральных атомов. Показано, что в двумерной прямоугольной решетке спектр нормальных волн не может быть получен лишь при учете взаимодейстия ближайших соседей. Получены и проанализированы дискретные уравнения для описания нормальных волн. Исследована возможность возникновения анизотропных спектров элементарных возбуждений для различных значений параметров потенциала межатомного взаимодействия.

Анизотропия фононных спектров в двумерных системах может проявляться в различных кинетических эффектах, в которых определяющую роль играет электрон-фононное взаимодействие.

Акустические фононы в твердых телах и их спектр В настоящей работе показана возможность существоисследуются довольно давно (см., например, [1,2]). При вания анизотропных фононных спектров при опредеэтом простейшей рассматриваемой моделью является ленных параметрах потенциала межатомного взаимодеймодель распространения продольных волн в одномерной ствия. Распространение на двумерный случай упомянуструне, состоящей из нейтральных атомов. Предполо- той ранее квазиодномерной модели для получения спекжим, что ui — смещение i-й частицы из положения тра акустических фононов встречает некоторые трудравновесия. Тогда для этой частицы обычно записывают ности, заключающиеся в том, что для прямоугольной следующее уравнение движения (предполагается, что решетки атомов разумный фононный спектр не может массы всех частиц равны m [1]):

быть получен при учете в уравнениях движения взаимодействий частиц лишь с ближайшими соседями. Этот mi = (ui+1 - 2ui + ui-1), (1) вопрос также рассмотрен в данной работе. Получены где —модуль упругости [1]. Решение уравнения (1) дискретные уравнения для описания нормальных волн вида в двумерной системе и проанализирована их зависиun = A exp{i(qna - t)} (2) мость от параметров межатомного взаимодействия.

приводят, как известно [1], к дисперсионному соотношению для акустических фононов — квазичастиц, Взаимодействие нейтральных атомов распространяющихся по струне без затухания, в двумерной прямоугольной решетке (q) = 4/m| sin(qa/2)|, (-q) =(q), (3) Рассмотрим фононные моды в двумерной прямоугольнаибольшая частота колебаний в такой решетке ной решетке атомов. Изучая формирование собственных m = 4/m.

мод в двумерной системе нейтральных атомов, расРассмотрение спектра нормальных волн в случае двусмотрим анизотропию спектров этих волн. Этот вопрос мерной решетки атомов представляет интерес по следупредставляется важным, так как анизотропия фононных ющим причинам. В настоящее время весьма интенсивно спектров может проявляться в различных эффектах, исследуются свойства квазидвумерных (слоистых) сигде важную роль играет, например, электрон-фононное стем типа La2-xSrx Cu2O4, Bi2Sr2CaCuO6+ и им подобвзаимодействие.

ных [3–8]. Отчасти это вызвано наблюдаемым эффектом 1) Взаимодействие ближайших соседей.

высокотемпературной сверхпроводимости (ВТСП) в таПростейший потенциал парного взаимодействия нейких системах, что привело к появлению большого числа тральных атомов имеет вид потенциала Ленарда– работ по изучению разнообразных свойств этих соединеДжонса ний как в сверхпроводящем, так и в нормальном состоA1 Aянии. Экспериментальные результаты по фотоэмиссии (r) = -. (4) r12 rэлектронов показывают наличие сильной анизотропии сверхпроводящего параметра порядка ВТСП [9,10]. То- На рис. 1 изображен вид потенциала (4) в зависимости гда, если предположить, что в ВТСП-материалах суще- от расстояния между частицами r (параметр r0 соответствует положению минимума потенциала взаимодействует традиционный механизм спаривания носителей вследствие электрон-фононного взаимодействия, пред- ствия), а также показана сила парного взаимодействия ставляет интерес исследование возможности существо- между частицами F(r) -/r. На графике F(r) в обвания анизотропии фононных спектров с тем, чтобы с их ласти r > r0 отмечены три различные области: g > 0, помощью объяснить анизотропию параметра порядка. g = 0 и g < 0 (смысл этого разделения обсудим далее).

Спектр нормальных волн в двумерной решетке нейтральных атомов Модуль силы, действующей на частицу (i, j) со стороны частицы (i + 1, j), запишется в виде F(i, j)(i+1, j) = (a + ui+1, j - ui, j)2 +(vi+1, j - vi, j)2 - a |ui+1, j - ui, j| (7) ( — постоянная).

Рис. 1. Качественный вид потенциала взаимодействия (r) и силы взаимодействия F(r) -/r для случая двух нейтральных атомов. Координата r нормирована на величину r0 — координату минимума потенциала (r). На графике F(r) отмечены три различные области: 1) g > 0 — область, где с увеличением расстояния r сила притяжения двух частиц увеличивается по модулю; 2) g = 0 — область, где сила притяжения двух частиц слабо изменяется с расстоянием;

3) g < 0 — область, где с увеличением расстояния r сила притяжения двух частиц уменьшается по модулю. Потенциал (r) может существенно изменяться в зависимости от величиРис. 2. Схема прямоугольной решетки. Для получения уравнены контстант A1 и A2 в формуле (4).

ний движения частицы с координатами (i, j) будем учитывать сначала четыре, а затем восемь соседних частиц, отмеченных темными кружками. a и b — расстояния между частицами вдоль осей x и y соответственно.

Предположим, что решетка прямоугольная с параметрами a и b. Рассмотрим модель взаимодействия ближайших соседей, в которой для получения уравнений движения каждой частицы (i, j) учитывается ее взаимодействие лишь с четырьмя ближайшими соседями (i + 1, j), (i - 1, j), (i, j + 1) и (i, j - 1) (рис. 2).

Обсудим сначала взаимодействие двух частиц: (i, j) и (i + 1, j). Для этого воспользуемся схемой, изображенной на рис. 3. Используем следующие обозначения:

ui, j и ui+1, j — x-компоненты смещения частиц, vi, j и vi+1, j — y-компоненты смещения частиц. Квадрат расстояния между частицами равен (рис. 3) r2 j);(i+1, j) =(a + ui+1, j - ui, j)2 +(vi+1, j - vi, j)2. (5) (i, Обозначим через угол между вектором r(i, j);(i+1, j) и направлением оси x, так что Рис. 3. Схема, иллюстрирующая взаимодействие двух чаsin (vi+1, j - vi, j)/a, cos 1. (6) стиц (i, j) и (i + 1, j).

11 Физика твердого тела, 2002, том 44, вып. 1890 А.В. Окомельков Тогда для проекций этой силы на оси координат в линейном приближении по величине смещений имеем Fx{(i, j)(i + 1, j)} = (ui+1, j - ui, j), (8) Fy{(i, j)(i + 1, j)} = 0. (9) Знак в формуле (8) легко проверить. При ui, j = 0 и ui+1, j > 0 расстояние между частицами увеличивается по сравнению с равновесным (a) и в соответствии с видом потенциала парного взаимодействия (например, (4)) частицы начинают взаимодействовать за счет Рис. 4. Действительные решения (14) — графики функций сил притяжения. При ui, j = 0 и ui+1, j < 0 частицы 1() и 2() в полярных координатах для различных значевзаимодействуют за счет сил отталкивания. Аналогично ний параметров. a — = 1, = 1, r = 0.1; b — = 1, = 1, записываются выражения для проекций сил, действуюr = 1.5.

щих на частицу (i, j) со стороны других частиц.

Окончательно нетрудно записать уравнения движения для частицы на узле (n, m) в безразмерных переменных.

Решения уравнений (14) — действительные (Re ) Для этого в качестве характерной размерной частоты значения двух ветвей дисперсионных кривых 1() выберем = (/m)1/2 и перейдем к безразмерным и 2() — показаны на рис. 4 для различных зна переменным t t, = / чений параметров. Заметим, что две ветви (Re n,m = un+1,m - 2un,m + un-1,m, и Re 2) являются незатухающими, так как для них Im 1 = Im 2 = 0. Таким образом, в приближении vn,m = (vn,m+1 - 2vn,m + vn,m-1). (10) взаимодействия ближайших соседей мы получили пересекающиеся кривые.

Заметим, что в используемом приближении мы поВозникновение пересекающихся кривых для дисперсилучили для функций u и v независимые уравнения.

онных зависимостей связано с симметрией прямоугольДля нахождения дисперсионных соотношений для волн ной решетки и с приближением, в котором учитывается в такой системе рассмотрим систему уравнений на взаимодействие ближайших соседей. В этом приближебезграничной плоскости. Решения системы уравнений нии уравнения для проекций смещения разделяются, и (10) будем искать, как обычно, в виде колебания вдоль осей x и y оказываются независимыми.

Следует отметить, что такое расцепление уравнений un,m = A exp{i(kxna + ky mb - t)}, движения не является спецификой двумерного случая и будет также иметь место в трехмерной решетке.

vn,m = B exp{i(kxna + ky mb - t)}. (11) Однако такое пересечение дисперсионных кривых неверПодставляя (11) в (10), получаем два независимых но с общефизической точки зрения. Поэтому для поуравнения лучения разумных дисперсионных кривых нужно или рассматривать решетки более сложной симметрии, или, 2 = 4 sin2(kx a/2), 2 = 4 sin2(kyb/2). (12) если ограничиться случаем прямоугольной решетки, учесть взаимодействия с другими атомами, что приведет Для существования незатухающих волн (11) уравнек связным (неразделяющимся) уравнениям для смещения (12) должны иметь действительные решения ний u и v. Проиллюстрируем это путем учета взапри действительных kx, ky. Введем безразмерные пеимодействия рассматриваемой частицы прямоугольной ременные x = kx a/2, y = ky a/2, = a/b. При этом решетки со следующими (более далекими) четырьмя kyb/2 =(ky a/2)(b/a) =y/. Причем физический смысл соседями.

имеют, как обычно, только волны с волновыми вектора2) Взаимодействие с восьмью соседними ми из первой зоны Бриллюэна ч а с т и ц а м и. Учтем теперь взаимодействие с восьмью ближайшими соседями, что схематично показано на -/2 x /2, -/2 y /2. (13) рис. 2. Рассмотрим взаимодействие „по диагонали“ между частицами (i, j) и (i + 1, j + 1). Вычислив величину В этих переменных уравнения (12) в полярных коорпроекций на оси координат силы взаимодействия между динатах r(x, y) r(r, ), где x = r cos, y = r sin, этими частицами, легко записать аналогичные выраимеют вид жения для сил взаимодействия с другими частицами.

r Схема такого взаимодействия изображена на рис. 5.

2 = 4 sin2(r cos ), 2 = 4 sin2 sin. (14) Все вычисления проводим в линейном приближении по величине смещения частиц.

Физика твердого тела, 2002, том 44, вып. Спектр нормальных волн в двумерной решетке нейтральных атомов между ближайшими соседями, тогда расстояние „по диагонали“ составляет r0 2 1.41r0). Но при других значениях параметров потенциала взаимодействия, если минимум F(r) сдвинется вправо (в область r r0 2), возможен случай g 0. Введенные здесь константы Fи g будем использовать вместо констант потенциала (4).

Отличие заключается только в том, что смысл этих констант более очевиден (напомним, что мы рассматриваем только малые отклонения частиц от положения равновесия). Теперь можно записать ga(ui+1, j+1 - ui, j) F{(i, j)(i + 1, j + 1)} = F0 1 + (a2 + b2) gb(vi+1, j+1 - vi, j) +. (17) (a2 + b2) Рис. 5. Схема, иллюстрирующая взаимодействие между чаПодставляя выражения для cos и sin, для проекций стицами (i, j) и (i + 1, j + 1).

сил на оси координат в линейном приближении имеем Fx {(i, j)(i + 1, j + 1)} = F{(i, j)(i + 1, j + 1)} cos Расстояние между частицами (i, j) и (i + 1, j + 1) F0a (b2 + ga2) находится по формуле 1 + (ui+1, j+1 - ui, j) a2 + b2 a(a2 + b2) r2 j)(i+1, j+1) =(a + ui+1, j+1 - ui, j)2 +(b + vi+1, j+1 - vi, j)(i, b(g - 1) + (vi+1, j+1 - vi, j), (18) (a2 + b2) +2a(ui+1, j+1 - ui, j) +2b(vi+1, j+1 - vi, j). (a2 + b2) (15) Fy {(i, j)(i + 1, j + 1)} = F{(i, j)(i + 1, j + 1)} sin Если ближайшие соседи (уже рассмотренные нами чеF0b a(g - 1) тыре частицы) занимают положения, приблизительно 1 + (ui+1, j+1 - ui, j) a2 + b2 (a2 + b2) соответствующие минимуму потенциала (точка r = rна рис. 1), то более далекие частицы (в том числе (a2 + gb2) и „диагональные“ (i +1, j +1), (i +1, j -1), (i -1, j +1), + (vi+1, j+1 - vi, j). (19) b(a2 + b2) (i - 1, j - 1)) взаимодействуют с частицей (i, j) силами Аналогично можно записать выражения для проекпритяжения (см. также рис. 1).

ций сил, действующих на частицу (i, j) со стороны При различных значениях параметров потенциала других частиц. Суммируя проекции сил, действующих спектры собственных волн могут получаться разными.

на частицу (i, j), получаем следующие уравнения для Для простоты вместо рассмотрения потенциала (4) смещений ui, j и vi, j, которые теперь не являются для силы взаимодействия частиц запишем следующее независимыми:

выражение:

F0ab mi, j = (ui+1, j - 2ui, j + ui-1, j) + F{(i, j)(i + 1, j + 1)} (a2 + b2)3/F (b2 + ga2) F r = a2 + b2 + r. (16) (ui+1, j+1 - 2ui, j + ui-1, j-1) r ab r= a2+b Обозначим F(r = a2 + b2) =F0 > 0 (в данном случае +(ui+1, j-1 - 2ui, j + ui-1, j+1) +(g - 1) реализуется притяжение частиц), (vi+1, j+1 + vi-1, j-1) - (vi+1, j-1 + vi-1, j+1), (20) F = F0g(a2 + b2)-1/2.

r r= a2+bF0ab mvi, j = (vi, j+1 - 2vi, j + vi, j-1) + (a2 + b2)3/Введенная здесь константа g может принимать положительные, отрицательные значения и быть равной нулю (a2 + gb2) в зависимости от параметров потенциала межатомно- (vi+1, j+1 - 2vi, j + vi-1, j-1) ab го взаимодействия. Схематично соответвующие области (g > 0, g = 0, g < 0) отмечены на рис. 1. Следует +(vi+1, j-1 - 2vi, j + vi-1, j+1) +(g - 1) заметить, что для изображенного на рис. 1 потенциала взаимодействия для „диагонального“ взаимодействия ча (ui+1, j+1 + ui-1, j-1) - (ui+1, j-1 + ui-1, j+1). (21) стиц реализуется g < 0 (при a = b r = r0 — расстояние 11 Физика твердого тела, 2002, том 44, вып. 1892 А.В. Окомельков Переходя к безразмерным переменным = (/m)1/2, t t, = a/b, = /, F = F0ab/ (a2 + b2)3/2 и подставляя в (20) и (21) решения в виде (11), из условия равенства нулю детерминанта системы алгебраических уравнений получаем следующее дисперсионное уравнение, которое в данном случае является биквадратным уравнением относительно :

y F 4 - 222 sin2 x + sin2 + (1 + g)(1 + 2) y y sin2 x + + sin2 x - + 16 sin2 x F y y (22) + (1 + g2) sin2 x + + sin2 x y F y y sin2 + (2 +g) sin2 x + +sin2 x 2y - 4F(g-1) sin(2x) sin = 0.

Решения уравнения (22) легко записываются аналитически и могут быть проанализированы с помощью численных расчетов. Рассмотрим угловую зависимость дисперсионных кривых при заданных значениях модуля волнового числа. Для этого перейдем к полярным координатам в импульсном пространстве r(x, y) r(r, ).

Уравнение (22) имеет два комплексных решения: Рис. 7. Решения уравнения (22) — графики функций 1() и 2() в полярных координатах для значений параметров = 1, = 1, r = 1.5. a — F = 0.2, g = -0.2; b — F = 0.5, g = -0.5; c — F = 0.7, g = -0.7. Во всех этих случаях решения действительные, Im = 0.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.