WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. 10 Термодинамика лестничного ферромагнетика со случайным поперечным обменом © П.Н. Тимонин Научно-исследовательский институт физики Ростовского государственного университета, 344090 Ростов-на-Дону, Россия E-mail: timonin@aaanet.ru (Поступила в Редакцию 6 ноября 2002 г.) Рассмотрена модель лестничного ферромагнетика с изинговскими спинами, состоящего из двух ферромагнитных цепочек с взаимодействием ближайших соседей и случайным взаимодействием между ближайшими спинами разных цепочек. При определенном выборе параметров случайного взаимодействия описание вырожденния основного состояния и термодинамики при T = 0 оказывается довольно элементарным и сводится к использованию статистики одномерных кластеров. Полевые зависимости термодинамических параметров обнаруживают серию фазовых переходов, связанных с изменением спиновых конфигураций антиферромагнитных кластеров. Численное исследование термодинамики такой системы при конечных температурах подтверждает справедливость аналитических результатов, полученных при T = 0.

Синтез кристаллов с одномерными лестничными представляет собой довольно нетривиальную задачу, так структурами вызвал интерес к исследованиям их фи- что дальнейший прогресс в исследовании упомянутых зических свойств [1]. Особый интерес представляют моделей, например, изучение неэргодической динамики исследования квазиодномерных структур с различными при T = 0, пока отсутствует.

типами беспорядка, что связано как с возможностью В связи с этим представляется целесообразным поописания реальных кристаллов, так и с большим числом иск и исследование других неупорядоченных квазиодномерных систем с вырожденным основным состояниновых физических процессов, вызываемых беспорядком.

ем, описание которых было бы достаточно простым.

Пожалуй, наиболее изученными являются магнитные свойства квазиодномерных изинговских систем (см., на- В этом отношении лестничные модели дают большие возможности, а также определенную надежду на возпример, обзор [2]). Хотя магнитные переходы при T = в квазиодномерных системах с близкодействующим об- можность экспериментальной проверки теоретических результатов. В настоящей работе рассмотрена модель меном отсутствуют, беспорядок приводит в них к ряду лестничного ферромагнетика с изинговскими спинами, необычных свойств при T = 0, таких как вырождение состоящего из двух ферромагнитных цепочек с взаимоосновного состояния и переходы в магнитном поле [2–5].

действием ближайших соседей и имеющих случайное Это в свою очередь приводит к особенностям темпевзаимодействие между ближайшими спинами разных ратурных и полевых зависимостей физических величин цепочек. При определенном выборе параметров случайпри низких температурах.

ного взаимодействия описание вырождения основного Вырождение основного состояния является хараксостояния и термодинамики при T = 0 оказывается терным свойством фаз спинового стекла и различных довольно элементарным и сводится к использованию смешанных фаз, где сосуществуют разные типы магнитстатистики одномерных кластеров. Численное исследоного порядка и стекольного беспорядка. С ним связана вание термодинамики такой системы при конечных темизвестная неэргодичность магнитных фаз в неупорядопературах подтверждает справедливость аналитических ченных магнетиках [6], поэтому исследование случайных результатов, полученных при T = 0.

(квази) одномерных систем с фрустрацией, обладающих этим свойством, привлекает постоянное внимание.

Вместе с тем лишь немногие из таких простейших 1. Термодинамика при T = систем допускают точное аналитическое описание их термодинамики. В их числе модель одномерного изинСпиновый гамильтониан рассматриваемой модели говского спинового стекла со случайным бинарным имеет вид обменом во внешнем поле [3–5] и с некоторыми спеN циальными видами функции распределения обмена [7], H = - J(S1iS1i+1 + S2iS2i+1) а также лестничные стекольные модели с бинарным i=обменом [4,8]. В этих моделях удается непосредственно установить физическую причину вырождения основного + JrS1iS2i + H(S1i + S2i). (1) состояния, которая состоит в вырождении по энергии спиновых состояний некоторых магнитных кластеров Здесь S,i = ±1, H > 0 — магнитное поле, J > 0 — с определенной конфигурацией обменных взаимодей- константа ферромагнитного обмена цепочек, Jr — конствий [3,5,9]. Однако перечисление таких конфигураций станта случайного обмена между ближайшими спинами Термодинамика лестничного ферромагнетика со случайным поперечным обменом Здесь Nn — среднее число антиферромагнитных кластеров из n ячеек в расчете на одну ячейку [10] Nn = pn(1 - p)2. (6) Поскольку антиферромагнитное упорядочение кластера может реализоваться двумя способами, а основное состояние оказывается вырожденным со средней энтроРис. 1. Схематическое изображение лестничного ферромагнепией тика со случайным поперечным обменом.

S = Nn ln 2 + n,2J/(Ja-H)Nn ln. (7) 0 n=nПоследний член в (7) учитывает вырожденность по разных цепочек, принимающая два значения Jr = -Ja, энергии ферро- и антиферромагнитного упорядочения с вероятностью p; Jr = J, с вероятностью 1 - p.

f Таким образом, в каждой конкретной реализации Jr n0-кластеров, когда 2J/(Ja - H) — целое число.

Среднюю намагниченность в основном состоянии система состоит из кластеров, содержащих антиферропри H < Ja можно найти, вычитая из ферромагнитной магнитные (-Ja) и ферромагнитные (J ) взаимодейf намагниченности (единицы) долю спинов в кластерах ствия между цепочками. На рис. 1 представлено схемас антиферромагнитным упорядочением тическое изображение лестничного ферромагнетика для некоторой реализации случайного поперечного обмена.

n0Nn Далее будем полагать, что J > 2J. В этом случае M = 1 - nNn + n,2J/(Ja-H). (8) f в основном состоянии в ферромагнитных кластерах n=nспины равны 1, так что остается определить направОтметим, что в отличие от энтропии и энергии, получаеления спинов в антиферромагнитных кластерах. Расмых усреднением по возможным конфигурациям связей, смотрим изменение энергии антиферромагнитных класредняя намагниченность определяется как среднее по стеров при переходе от ферромагнитного состояния основным состояниям с последующим усреднением по (все S1,iS2,i = 1) к конфигурации с противоположными связям. Последнее слагаемое в (8) учитывает выроспинами в n идущих подряд ячейках (если такие ячейки жденность ферро- и антиферромагнитных состояний идут не подряд, то энергия конфигурации будет выше) n0-кластеров, если 2J/(Ja - H) — целое число. Действиnтельно, из 3N·N состояний, отличающихся конфигураEn = -2n(Ja - H) +4J. (2) цией n0-кластеров, имеется 2k NNn0 состояний с антиk При H > Ja En > 0 и наличие противоположно направферромагнитной конфигурацией спинов в k кластерах, ленных спинов в ячейках будет невыгодным, так что так что среднее число спинов на узел в n0-кластерах (единственное) основное состояние будет ферромагнитс антиферромагнитным упорядочением ным со средней энергией на одну ячейку NNnn0k NNn Ef = -2J + pJa - (1 - p)J - 2H. (3) f 0 n2k 3-N·N = n0Nn, k N k=При H < Ja наименьшую энергию имеют конфигурации с наибольшимn, совпадающим с размером кластера (все откуда и следует (8).

S1,iS2,i = -1). Такое антиферромагнитное упорядочение Подставляя (2), (6) в (5), (7), (8), получим явные будет выгоднее для достаточно больших антиферромагвыражения для средней энергии, энтропии и намагнинитных кластеров с числом ячеек, большим или равным ченности при T = целому числу n0, удовлетворяющему условию E = - 2J[1 - 2pn (1 - p)] + Ja[p - 2L(n0, p)] 2J/(Ja - H) < n0 < 1 + 2J/(Ja - H), (4) - 2H[1 - 2L(n0, p)] - (1 - p)J, (9) f если 2J/(Ja - H) — не целое число. Если 2J/(Ja - H) — целое число, то n0 = 2J/(Ja - H), приS = pn (1 - p) ln 2 + n,2J/(Ja-H)(1 - p) ln, (10) чем в этом случае кластеры из n0 ячеек имеют равные энергии ферро- и антиферромагнитного упорядочения.

n0Pn (1 - p)Энергия основного состояния при H < Ja будет мень- M = 1 - L(n0, p) +n,2J/(Ja-H). (11) ше Ef на величину выигрышей от перехода антиферЗдесь ромагнитных кластеров с n n0 в антиферромагнитное состояние L(n0, p) = nNn = pn [p + n0(1 - p)].

E = Ef + NnEn. (5) n=nn=n8 Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. 1844 П.Н. Тимонин Отметим, что полученные выражения для энергии и намагниченности удовлетворяют стандартному термодинамическому соотношению E 2M = -, H если 2J/(Ja - H) не является целым числом. Если же 2J/(Ja - H) — целое число, то это соотношение не выполняется, так как из (9) следует, что в точках переходов энергия испытывает излом и ее производной по H не существует. Причина этого заключается в неравномерном по H стремлении EN/H к своему пределу при N вблизи таких H, что не позволяет дифференцировать предельное значение E по H. В этом случае правильный результат для намагниченности, совпадающий с (11), может быть получен, если дифференцирование по H выполняется до предельного перехода N 2M = - lim EN/H.

N 2. Термодинамика при конечных температурах Исследование термодинамики рассматриваемой модели при конечных температурах может быть выполнено с использованием стандартных методов, применяемых для изучения случайных квазиодномерных систем с близкодействием [11]. Введем частичную статсумму ZN(S1, S2) =TrN-1[exp(-H)].

Рис. 2. Полевые зависимости термодинамических параметров при T = 0 и Ja = 3J, a — энтропии, b — намагниченности;

Здесь = 1/T, а TrN-1 означает суммирование по кон1 — p = 0.3, 2 —0.8.

фигурациям всех спинов за исключением спинов последней ячейки (S1, S2). Величины ZN(S1, S2) удовлетворяют следующим рекуррентным соотношениям:

Полевые зависимости энтропии и намагниченности, ZN+1(S) =TrS R(S, S )ZN(S ), (12) представленные на рис. 2 для Ja = 3J, p = 0.3 и 0.8, имегде R(S, S ) — матрица переноса. В дальнейшем будем ют ступенчатый вид со скачками при целых 2J/(Ja - H), рассматривать случай H = 0, так что характерный для (квази) одномерных изинговских магнетиков с дискретным беспорядком [2–4]. Физическая R(S, S ) =exp[J(S, S ) +JrS1S2].

причина такого поведения вполне очевидна, с ростом В этом случае частичную статсумму можно представить поля происходит изменение спиновых конфигураций (от в виде антиферромагнитной к ферромагнитной) все более крупZN ных кластеров с антиферромагнитными связями. При ZN(S) = (1 + NS1S2), H < Ja, в точках Hk = Ja - 2J/k, k = 1, 2,..., имеет где ZN — обычная статсумма, место серия переходов между фазами, в которых сосуществует ферромагнитное и стекольное упорядочение ZN = TrN[exp(-H)].

спинов. Энергия (9) непрерывна в точках переходов.

а N — среднее значение произведения спинов в одной Доля стекольного беспорядка и вырождение основноячейке, го состояния (энтропия) уменьшаются с ростом поля и, наконец, система становится ферромагнитной при N = TrN(S1S2e-H)/ZN S1S2.

N H > Ja. Таким образом, мы имеем типичную систему Из (12) следует с фрустацией, вызванной беспорядком, однако, в отличие от ранее рассмотренных моделей [2–5,7–9] описание ZN+1 = 4ch2(J) ch(Jr)[1 + th2(J) th (Jr)N]ZN, (13) свойств лестничного ферромагнетика со случайным поперечным обменом при T - 0 в случае, когда J > 2J, th (Jr) + th2(J)N f N+1 =. (14) вполне элементарно.

1 + th (Jr) th2(J)N Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. Термодинамика лестничного ферромагнетика со случайным поперечным обменом Уравнение (15) можно решить только численно. При этом удобно его несколько преобразовать. Продолжив ( ) нулем на область > 1, внеся интегрирование под знак усреднения и интегрируя, получим g(, Jr) ( ) = [g(, Jr)], (18) Jr где g(, Jr) — функция, обратная f (, Jr) (16), - th(Jr) g(, Jr) =th-2(J).

1 - th (Jr) Интегрируя (18) по, получим w( ) = w[g(, Jr)], (19) Jr где w( ) = d ( ).

-Проинтегрированная функция распределения w( ) удовлетворяет более простому уравнению (19) и имеет более слабые особенности (скачки) в отличие от ( ), Рис. 3. Проинтегрированная функция распределения w( ) при p = 0.5, J = 3J; a — Ja = 0.1, b — 0.5J; T = 2J (1), f T = J (2), T = 0.5J (3).

Из (14) в свою очередь следует при N уравнение для функции распределения величины [11] ( ) = d [ - f (, Jr)] ( ), (15) Jr -где f (, Jr) — функция в правой части (14) th (Jr) +th2(J) f (, Jr) =, (16) 1 + th (Jr) th2(J) а угловые скобки обозначают усреднение по случайному обмену.

Определив из (15) ( ), можно найти из (13) средний термодинамический потенциал T F - lim ln ZN N N = - T ln[4ch2(J)] - T ln[ch(Jr)] Jr Рис. 4. Температурные зависимости термодинамических па - T d( ) ln[1 + th2(J) th (Jr) ]. (17) раметров при p = 0.5, J = 3J и различных значениях Ja;

f Jr a — термодинамический потенциал, b — энтропия.

-Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. 1846 П.Н. Тимонин в которой могут присутствовать дельта-функции. Потому численное решение (19) существенно проще. Оно может быть выполнено методом итераций. При выборе начальной функции w0( ) =0.5(1 + ) сходимость к решению достигается через 5-10 итераций. Вид w( ) при p = 0.5, J = 3J и некоторых значениях температуры f и Ja приведен на рис. 3.

Вычисленные с помощью (17) температурные зависимости термодинамического потенциала F при p = 0.5, J = 3J и различных Ja представлены на рис. 4, a, а на f рис. 4, b изображена энтропия, полученная численным дифференцированием F(T ). К сожалению, вычисления при T < 0.2J требуют весьма длительного времени для достижения приемлемой точности. Однако, и результаты при T > 0.2J на рис. 4, a показывают, что при низких температурах значения F(T ) стремятся к соответствующим средним значениям E(T = 0) (9), представленным на рисунке. Поведение энтропии также согласуется с результатами при T = 0 (10) (рис. 4, b). Таким образом, простые аналитические результаты, полученные при T = 0, действительно адекватно описывают термодинамику рассматриваемой модели.

Представляется, что модель с такой простой, но нетривиальной термодинамикой при T = 0, обладающая всеми свойствами фрустированных неупорядоченных систем, может служить тестовой моделью для проверки различных приближенных подходов к описанию более сложных низкоразмерных неупорядоченных магнетиков.

Очевидно, что и динамика этой модели при T = будет нетривиальной, обладая всеми присущими неэргодическим системам эффектами. Можно надеяться, что описание таких динамических эффектов также будет достаточно простым в рамках этой модели, если не аналитическим, то, возможно, не требующим длительных численных расчетов. Отметим также и возможность физической ее реализации, при которой случайный обмен может быть создан введением примесей между ферромагнитными цепочками.

Список литературы [1] E. Dagotto. Rep. Prog. Phys. 62, 8, 1525 (1999).

[2] R. Liebmann. Statistical Mechanics of Periodic Frustrated Ising Systems. Lect. Notes Phys. Vol. 251. Springer, Berlin (1986).

[3] A. Vilenkin. Phys. Rev. B 18, 3, 1474 (1978).

[4] B. Derrida, J. Vannimenus, Y. Pomeau. J. Phys. C11, 16, (1978).

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.