WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Физика твердого тела, 1998, том 40, № 10 Тепловое расширение кристаллической решетки германия с разным изотопическим составом © А.П. Жернов Российский научный центр ”Курчатовский институт”, 123182 Москва, Россия Институт сверхпроводимости и физики твердого тела, 123182 Москва, Россия (Поступила в Редакцию 11 марта 1998 г.) Анализируется коэффициент линейного теплового расширения кристаллической решетки германия в случае разного содержания изотопов.

Многие проблемы теории теплового расширения кри- ния задается посредством соотношений (см., напристаллических решеток хорошо изучены (см., например, мер, [3,6,7]) монографию [1] и обзор [2]). Однако, насколько нам 1 (T ) = (T ), (1) известно, вопрос об особенностях поведения коэффици30B0 ента теплового расширения для кристаллов, которые (T ) = (l)Cl(T ), имеют разный изотопический состав, не исследовался. С l учетом сказанного в настоящей работе обсуждаются для эффекты первого порядка по разности масс изотопов.

1 Cj(T ) = 2(l)n (l) n (l) + 1. (1a) Обратим внимание на то, что в случае классической T2 статистики значение коэффициента теплового расшиЗдесь (l) — фононные частоты l-мод с квазиимпульсом рения нечувствительно к изотопическому составу. Изf и поляризацией j, т. е. l ={f, j}, n() — распределение менение величины (T ) при варьировании содержания Планка, (l) — парциальный фактор Грюнайзена. По изотопов разных сортов в кристалле — это квантовый определению эффект [3].

В работе используется стандартное квазигармониче(l) =- ln (l)/ ln.

=0 ское приближение. Иными словами, учитывается зависимость параметра решетки a от температуры T. Суть Посредством его учитывается тот факт, что зависимость дела в том, что реально из-за ангармонизма энергия частот различных мод от объема (T ) a3(T ) неодинамежатомного взаимодействия, а также связанные с нею кова. Через Cl обозначена теплоемкость l-моды. Кроме динамические силовые параметры и частоты фононных того, выше принято, что 0 — равновесный объем мод l (индекс l маркирует моды) зависят от параметра элементарной ячейки решетки, B0 — модуль всесторонa(T ). В гармоническом же приближении частоты l не него сжатия при T = 0. С целью сокращения записи зависят от a(T). В рассматриваемом квазигармоничепостоянные Больцмана и Планка положены разными ском подходе в разложении потенциальной энергии по единице.

смещениям отбрасываются члены выше второго порядка.

Обратим внимание на то, что равновесный объем При этом часть ангармонических эффектов оказывается ячейки (и параметр ее) при T = 0 за счет нулевых колеучтенной вследствие зависимости a от T и l от a.

баний атомов зависит от средней массы смеси изотопов.

В качестве конкретного примера обсуждаются особенМожно показать, что соответствующая поправка к ности изменения значений величин при варьировании описывается формулой изотопического состава в широком интервале температур для кристаллов германия.

l(l)(l) 0 =0 - 0. (2) Данная работа была инициирована проводящимися в 2Bгруппе В.И. Ожогина исследованиями свойств химически чистых и изотопически высокообогащенных кристаллов В(2) 0 — объем ячейки, который определяется только германия. Выполнены измерения теплопроводности [4,5].

упругой энергией кристалла.

Проводятся исследования других свойств.

Отметим также, что в любом изотопическом составе для конкретной моды выполняется равенство 1. Тепловое расширение и фактор Mc2(l) =(l), Грюнайзена в линейном причем величина эффективного силового параметра (l) приближении по разности масс не зависит от значения средней массы Mc. При этом изотопов Mc = ciMi, В квазигармоническом подходе и линейном по разi ности масс изотопов приближении в случае кубических кристаллов линейный коэффициент теплового расшире- где ci — концентрация, Mi — масса изотопов i-сорта.

1830 А.П. Жернов Зафиксируем для определенности конкретный изото- Прокомментируем соотношения (6) и (6a). Во-пер(1) пический состав посредством индекса c0. Тогда с учетом вых, характер зависимости c от T определяется (3) для произвольного изотопического состава, который различием фононных спектров кристаллов с массами Mc маркируем индексом c, имеем универсальное соотношеи Mc1. Если парциальные факторы Грюнайзена (l) в ние вида целом несущественно отличаются от некоторых средних значений, то первым слагаемым можно пренебречь. В c(T ) =c0(T ), T =T Mc/Mc0.

общем случае существенны оба слагаемых c и Cc.

Во-вторых, для германия фактор 2 · 10-3 и параЕсли фактор (l) при малых и больших частотах метр M/M0 может составлять несколько сотых. Таким близок к некоторому среднему значению a = const, образом, изменения в относительных единицах объема то вместо (1) получаем для коэффициента теплового элементарной ячейки при T = 0 за счет варьироварасширения выражение вида ния изотопического состава 10-5. Как показывают конкретные оценки, в случае германия слагаемым (2) можно пренебречь по сравнению со слагаемым (1).

(T ) aCL(T ), (4) 30Bгде CL — теплоемкость кристаллической решетки.

2. Изотопические зависимости Наряду с (T ) рассматривают также фактор Грюнайкоэффициента теплового зена (T ), который представляет собой средневзвешенрасширения и фактора Грюнейзена ную функцию вкладов отдельных мод. По определению для германия (см., например, [1,7]) Были выполнены расчеты изотопических зависимо(T ) l(l)Cl(T ) (T ) = =. (5) стей коэффициентов (T) (1) и (T ) для германия.

CL(T ) lCl(T ) Частоты фононных мод (l) определялись в рамках теории Борна–Кармана. Использовались значения паНапомним, что, поскольку с понижением температуры раметров силового взаимодействия, которые найдены уменьшается интервал возбужденных частот, из-за разбыли подгонкой под данные эксперимента по неупругому личия парциальных величин (l) при низких и высоких рассеянию нейтронов в [8]. Далее для Ge значения частотах возникает зависимость (5) от температуры.

парциальных факторов изотопического сдвига анализиКак уже отмечалось, температурная зависимость коровались теоретически в работе [9] в рамках микроскоэффициента теплового расширения во многих случаях пической модели зарядов на связях. Она основывается определяется температурным поведением теплоемкости, на том, что электронный заряд, который сосредоточен в т. е. формулой (4). Связано это с тем, что обычно фактор центре химической связи, можно считать динамической Грюнайзена сравнительно слабо зависит от температуры.

величиной, влияющей на межатомное взаимодействие.

В общем случае зависимость от T весьма существенна.

Применение этой модели к Ge обусловлено тем, что с Рассмотрим теперь ситуацию, когда имеются два крииспользованием ее можно смоделировать большой плоссталла со средними массами Mc и Mc1 = Mc +M.

кий участок дисперсионной кривой для акустических Относительное изменение величины коэффицента теплопоперечных фононов.

вого расширения c(T ) = (Mc1) - (Mc) в случае При расчетах (T ) и (T ), поскольку парциальные |M| Mc, согласно (1) и (2), представляется в форме факторы изотопических сдвигов определены в [9] только вдоль симметричных направлений, вместо интегрироc (1)(Mc) +(2)(Mc), вания по зоне Брюллюэна интегрирование выполнялось вдоль симметричных направлений с использовагде нием формулы Хаустона (см., например, [10]). Взяты c Cc (1)(Mc) =(Mc) +, были следующие значения для фигурирующих в теории (Mc) CL(Mc) параметров: постоянная решетки a0 = 5.658, модуль c(T ) =(Mc1) -(Mc), сжатия B0 = 0.772 · 1012 dyn/cm2 (см., например, [5]).

Результаты расчетов представлены на рис. 1 и 2. На Cc(T ) =CL(Mc1) -CL(Mc), (6) них изображены кривые температурной зависимости, иллюстрирующие масштаб изотопических эффектов для Z(Mc) (2)(Mc) =(Mc) -1, Z=0B0. (6a) факторов (T ) и (T ). Представлены разностные криZ(Mc1) вые = (Mc1) - (Mc2) и = (Mc1) - (Mc2) При этом для кристаллов германия с массами (Mc1, Mc2), соответM ственно равными (76, 70) (высокообогащенные образцы) (2)(Mc) -(Mc), Mc и (72.6, 70). Случай M = 72.6 отвечает натуральному где составу. Качественно поведение фактора (T) опредеl(l)(l) ляется значениями величины (T ). Однако, посколь =.

ку для коэффициента линейного теплового расширения 2B00 M=MФизика твердого тела, 1998, том 40, № Тепловое расширение кристаллической решетки германия с разным изотопическим составом Автор признателен С.М. Стипову и рецензенту за ценные замечания, а также Д.А. Жернову за помощь.

Благодарю Ю.М. Кагана за обсуждения результатов.

Работа выполнена при поддержке со стороны В.И. Ожогина.

Список литературы [1] С.И. Новикова. Тепловое расширение твердых тел. Наука, М. (1979). 285 с.

[2] T.H. Barron, J.G. Collins, G.K. White. Adv. Phys. 29, (1980).

[3] Г. Лейбфрид. Микроскопическая теория механических и тепловых свойств кристаллов. ГИЛ, М. (1963). 312 с.

[4] В.И. Ожогин, А.В. Инюшкин, А.Н. Толденков, Г.Э. Попов, Рис. 1. Зависимость фактора = (Mc1) - (Mc2) от T.

Ю. Холлер, К. Ито. Письма в ЖЭТФ 63, 463 (1996).

1 — Mc1 = 72.6, Mc2 = 70, 2 — Mc1 = 76, Mc2 = 70.

[5] M.A. Asen-Palmer, N. Bartcovsky, E. Gmellin, M. Cardona, A.P. Zhernov, A.V. Inushkin, A.N. Toldenkov, V.I.Oghogin, K.M. Iton, E.E. Haller. Phys. Rev. B56, 9431 (1997).

[6] Г. Лейбфрид, К. Людвиг. Теория ангармонических эффектов в кристаллах. ИИЛ, М. (1963). 212 с.

[7] V.G. Vaks, E.V. Zarochentsev, S.P. Kravchuk, V.P. Safronov, A.V. Trefilov. Phys. Stat. Sol. 85, 749 (1978).

[8] A.D. Zdetsis, C.S. Wang. Phys. Rev. 19, 2999 (1979).

[9] Resul Eryigit, Irving P. Herman. Phys. Rev. B53, 7775 (1996).

[10] А.А. Марадудин, Э. Монтролл, Д.Ж. Вейсс. Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении. Мир, М. (1965). 384 с.

Рис. 2. Зависимость фактора = (Mc1) - (Mc2) от T.

1 — Mc1 = 72.6, Mc2 = 70, 2 — Mc1 = 76, Mc2 = 70.

изотопический эффект, согласно (6), диктуется одновременно перенормировками и параметра Грюнайзена, и решеточной теплоемкости CL, относительные изменения для (T ) в целом более выражены, чем для (T ).

Отметим еще, что в температурных интервалах порядка нескольких градусов, в которых фактор Грюнайзена меняет знак, величина / порядка 0.1. В остальной области температур соответствующие значения / не превышают нескольких сотых.

Таким образом, работе в квазигармоническом подходе рассмотрено влияние изотопического состава на коэффициент теплового расширения кристаллов в линейном приближении по разности масс изотопов. Для германия качественно оценена в широком интервале температур роль вариации значения средней массы на факторы (T ) и (T ). При этом показано, что поведение фактора в зависимости от T в отличие от стандартных кристаллов в существенной степени определяется перенормировкой фактора Грюнайзена.

Физика твердого тела, 1998, том 40, №




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.