WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Для нахождения обменного интеграла сильной связи i v(2) mn (19) разложим кулоновский потенциал по степеням r-R Cb (m, 0)rb Cb(n, 0) =-, (24) 0 Em - En в окрестности точек R1 = a1 + и R2 = a2 + b1 bb (R1 = R2) где матричные элементы v( j) ( j = 1, 2) определены mn 1 согласно (14), а V — объем кристалла. Для вывода (23) - [(r1 - R1) - (r2 - R2)] |r1 - r2| |R1 - R2| нужно учесть разложение (12) и ортонормированность столбцов (n, 0), а к формуле (24) приходим после R1 - R0 +(r1 - R1)(r2 - R2) умножения и деления вектора rb на Em - En и учета |R1 - R2|тождества |R1 - R2|2 - 3(R1 - R2)(R1 - R2) 0. (20) Cb (m, 0)(Emrb - rb En )Cb(n, 0) |R1 - R2|b Используя ортонормированность атомных орбиталей на = †(m, 0)(Hr - rH)(n, 0), отдельном узле и формулу (6), получим вместо (19) где H — гамильтониан сильной связи (4) при k = 0, U(R1, 1, 1; R2, 2, 2) r — векторная матрица с компонентами rb b b. В итоге e2 1 R для матричного элемента дальнодействующего обменно= 1122 - rb1 22 - 11rbго взаимодействия получим R R(long) R2 - 3RR b b m, k e;n, k h Uexch m, ke; n, kh + r1 r2, (21) 1 ; ;

1 R Kv(1)n Kv(1) 4e2 mn m где R = R1 - R2, R = |R|. При расчете дальнодейству- = 0 V (Em - En)2 Kющего обменного взаимодействия суммирование в (18) по R1, R2 можно заменить на интегрирование по схеме Kv(1)n Kv(2) + Kv(2)n Kv(1) m mn m mn + dr1drK, a1aR1R2 b1b2 b1bKv(2)n Kv(2) m mn + - v(2)n v(2), (25) m mn K2 где 0 — объем элементарной ячейки. Важно отметить, что здесь вклад в двойной интеграл от областей переменных r1 и r2, лежащих внутри одной и где первое, второе и третье слагаемые в фигурных скобтой же элементарной ячейки, пренебрежимо мал и в ках соответствуют вкладам первого, второго и третьего подынтегральном выражении можно заменить разность слагаемых в квадратных скобках в (21). Выражение (25) Физика твердого тела, 2001, том 43, вып. Обменное взаимодействие между электроном и дыркой в полупроводниках в методе сильной связи удобно переписать в виде состояния |, ke, kh ( = x, y, z) оптически активны в поляризации e, а оптический переход в четвертое 4e2 (long) состояние |2, ke, kh запрещен. Дальнодействующее об m, k e; n, k h Uexch m, ke; n, kh = 0 V (Em - En )менное взаимодействие (26) затрагивает только состояния |, ke, kh и имеет в новом базисе вид Kvm n Kvmn (2) - v(2)n vmn K K, (26) m K2 4 e (long), k e, k h Uexch, ke, kh = V Eg где полный матричный элемент оператора скорости vln определен согласно (14).

K K vcv 2 - v(2) 2, K,K, (27) Результат (26) удобен для анализа пределов примениcv K2 мости метода эффективной массы и разложения по функциям Ванье. В методе эффективной массы для матричногде vcv — междузонный матричный элемент оператора го элемента дальнодействующего обменного взаимодейскорости, v(2) —вклад в vcv, определенный согласно (8) cv ствия получается выражение [1–4,10–12], совпадающее и (14), Eg — энергетическая щель между зонами 6 и 7.

с первым слагаемым в квадратных скобках в (26). Это Для 1s-экситона получаем означает, что в методе эффективной массы пренебрегаK K ется внутриатомными переходами и полагается v(2) = 0, (long) (2) ln 1s, K Uexch 1s,, K = LT - LT,, (28) K2 vln = v(1). При использовании разложения функций ln Блоха по функциям Ванье пренебрегают межатомными где LT =(4/a3 )(e |vcv|/Eg)2 — расщепление между B переходами и фактически полагают v(1) = 0, vln = v(2).

ln ln состояниями продольного и поперечного экситона, aB — На это указывает еще и то обстоятельство,что при таком боровский радиус 1s экситона в объемном полупроводподходе в ответ входят междузонные матричные элеменнике, ты координаты на функциях Ванье, центрированных на v(2) (2) одной и той же элементарной ячейке [5,6]. Чем более ло LT = LT cv. (29) vcv кализованный характер имеют функции Ванье, тем больше оснований пренебрегать междузонными матричными элементами координаты на функциях, центрированных в 3. Обменное взаимодействие разных ячейках. Поэтому в пределе, когда функции Вав сферической квантовой точке нье локализованы внутри одной элементарной ячейки и можно пренебречь междуатомными переходами, это приРассмотрим обменное расщепление уровня нульмерближение должно работать лучше всего. На различие реного экситона 6 7 с волновой функцией зультатов для матричного элемента дальнодействующего обменного взаимодействия, полученных в методе эффекexc(re, rh) =e,m(re)h,n(rh), (30) тивной массы и с помощью разложения по функциям Ванье, обращали внимание многие авторы [6,8], относя представляющей собой произведение одночастичных это к различному разделению обменного взаимодействия волновых функций электрона и дырки, локализованных на дальнодействующий и короткодействующий вклады на основных уровнях размерного квантования e1 и hи имея в виду -функцию, возникающую в результате в сферической квантовой яме. Индексы m, n в (30) обратного фурье-преобразования первого слагаемого в пробегают значения ±1/2 проекций спина электрона в квадратных скобках в (26), (см. также (22)). На самом зоне проводимости и углового момента дырки j = 1/2 в деле оба эти результата содержатся в виде предельных валентной зоне 7, отщепленной спин-орбитальным взаслучаев в общей формуле (26). Более того, как показано имодействием от зоны 8. Предполагается, что радиус в Приложении в связи с обсуждением обменного взаквантовой точки R велик по сравнению с постоянной имодействия в квантовых точках, указанная -функция решетки a0 и в то же время достаточно мал, чтобы можно не имеет отношения к короткодействующему взаимодейбыло не учитывать обусловленное кулоновским взаимоствию, связанному с масштабами порядка постоянной действием подмешивание к функции (30) электроннокристаллической решетки и меньше.

дырочных состояний из верхних уровней размерного Для иллюстрации формулы (26) рассмотрим пару простых зон-зону проводимости 6 и валентную зону 7 квантования. Для простых зон 6 и 7 огибающие двух волновых функций e,m(re), h,n(re) в методе эффективв полупроводниках типа GaAs. С учетом двукратного ной массы при бесконечно высоких барьерах совпадают спинового вырождения зоны проводимости 6 и валенти имеют вид ной зоны 7 основной экситонный уровень состоит из sin(r/R) четырех подуровней, характеризуемых полным угловым F(r) =. (31) r 2R моментом J = 0 (синглет, представление 2) и J = (триплет, представление 5). Удобно перейти к бази- В методе эффективной массы авторами было получено су электронно-дырочных возбуждений, в котором три следующее выражение для синглет-триплетного расщеп5 Физика твердого тела, 2001, том 43, вып. 1796 C.В. Гупалов, Е.Л. Ивченко ления основного уровня экситона 6 7 в нанокристал- мы приведем результат в частном случае rb = 0, лическом шарике [10,12]: а затем обсудим, к чему приводит учет внутриузельных матричных элементов rb. В указанном частном случае 1 aB получаем для матричных элементов обменного взаимоQD(R) =C bulk + LT. (32) ST ST 3 R действия Здесь e Sb11(m, a1)Sb11(n, a1) sin4 x R1=R2,C = dx 0.672, (33) x Sb22(m, a2)Sb22(n, a2). (37) |R1 - R2| bulk, LT и aB — соответственно константа коротST кодействующего обменного взаимодействия, продольноДля состояний m в зоне проводимости 6 и состояний n поперечное расщепление экситона и экситонный бо в валентной зоне 7 произведение Sb(m, a)Sb(n, a) ровский радиус в объемном полупроводнике; предпоотлично от нуля лишь с учетом производной в (35). Полагается, что фоновая диэлектрическая проницаемость этому это произведение выражается через компоненты нанокристалла совпадает с диэлектрической пронивектора F2(a)/a, откуда, в частности, следует тождецаемостью матрицы m (в [10,12] выведена формула, ство (36). Как показано в Приложении, суммирование справедливая также при = m).

в (37) можно заменить на независимое интегрирование Учитывая, что функцию e,m(r) (или h,n(r)) можно по r1 и r2 с делениемна 2. Учитывая соотношение (36), представить в виде суммы получаем вместо (37) V Fk|mk, ev(1)n v(1) k Eg m, mn, где Fk — фурье-образ огибающей (31) и V — объем ящи- dr1drка Борна–Кармана, и воспользовавшись выражением (1) F2(r1) F2(r2). (38) |r1 - r2| r1, r2, для |mk, получаем в методе сильной связи Перекидывая производные на функцию |r1 - r2|-1 и e,m(r) = Sb(m, a)b(r - a - ), b учитывая тождество (22), приходим к интегралу ab (long) e, m ; h, n Uexch e, m; h, n Sb(m, a) = 0 exp[ik(a + )]Cb(m, k)Fk. (34) b k 4 e = v(1)n v(1) drF4(r). (39) При R a0 можно пренебречь отличием exp(ik ) b 3 Eg m mn от 1 и использовать разложение (12). Тогда выражение для коэффициентов Sb, записанных в форме многоком- Из двух слагаемых в правой части (22) вклад в (39) понентного столбца, приводится к виду вносит только второе, пропорциональное -функции. Для огибающей F(r) в виде (31) имеем (m, a) = C drF4(r) =, R v(1) lm (m, 0) + (l, 0) -i F(a), (35) Em - El0 a где коэффициент C определен согласно (33).

l b Для учета внутриузельных матричных элементов r где F(a) — огибающая F(r) при дискретных значениях можно воспользоваться формулой (20). Для экситона r = a. Подчеркнем, что с учетом второго слагаемого 6 7 третье слагаемое в (20) после суммирования по в квадратной скобке (35) столбцы (m, a) и (n, a) R1 = R2 или эквивалентного ему интегрирования вклада неортогональны не вносит, и вместо (39) получаем v(1) C a(long) (2) †(m, a)(n, a) =i0 mn F2(a), (36) exc, Uexch exc, = LT - LT B,, Eg a 3 R(40) (2) где LT и LT введены в (28). Дальнодействующий аналогично тому, как неортогональны столбцы (m, ke) вклад (40) отличается от аналогичного вклада в (32) и (n, -kh) при ke + kh = 0, (см. (23)).

множителем Расчет матричных элементов обменного взаимодействия на функциях (30) проводится так же, как это (2) LT - LT v(2) cv делалось в предыдущем разделе для блоховских состо = = 1 -. (41) LT vcv яний в объемном кристалле. Поэтому для краткости Физика твердого тела, 2001, том 43, вып. Обменное взаимодействие между электроном и дыркой в полупроводниках в методе сильной связи Вработе [33] проводился численный расчет обменного В работе [32] отмечалось, что в гетероструктурах тивзаимодействия в сферических нанокристаллах с помо- па II межатомные и внутриатомные вклады в матричные щью метода псевдопотенциала. Выражения (37) или (39) элементы оптических переходов входят неравноценно.

соответствуют монополь-монопольному вкладу в об- Поэтому наряду с исследованием обменного взаимоменное взаимодействие в терминологии [33], а линей- действия в гетероструктурах типа I экспериментальное ное и квадратичное по rb слагаемые — монополь- изучение латеральной оптической анизотропии много дипольному и диполь-дипольному вкладам. Отметим, слойных наноструктур типа II, таких как ZnSe/BeTe в частности, что величина qn в формуле (6) из [33] или CdS/ZnSe [32,34,35], может помочь оценить роль с точностью до общего множителя совпадает с величи- внутриатомных переходов.

ной (36). Для экситона 6 7 в сферической квантовой точке диполь-дипольный вклад исчезает, а монопольПриложение (1) (2) дипольный пропорционален LT - LT - LT |v(1)v(2)|.

cv cv Для экситона 6 8 диполь-дипольный вклад отличен Проанализируем двойную сумму от нуля даже для нанокристалла сферической формы.

Расчет в методе псевдопотенциала показывает, что для I = Ha1 Ha2, (П1) типичных полупроводников CdSe, InP и GaAs монопольa1, |a1 - a2| a2, a1=a монопольный вклад в дальнодействующее обменное взаимодействие превалирует (см. таблицу 1 в [33]). Погде a1,2 — векторы кубической решетки Бравэ, Ha — этому результаты расчета тонкой структуры экситонных инвариантная функция, локализованная в сфере радиууровней в нанокристаллах CdSe, выполненного авторами са R. Если радиус R существенно превышает постоянную в рамках метода эффективной массы [10,12], остаются в решетки a0, то суммирование можно заменить на интесиле. Можно ожидать, что для широкозонных полупрогрирование с делением на квадрат объема элементарной водников относительная роль внутриузельных матричячейки ных элементов rb, введенных в (5) и (6), возрастет, а коэффициент будет заметно отличаться от единицы. dr1dr2 Таким образом, мы показали, что для экситона 6 7 I = 2 r1, Hr1 |r1 - r2| r2, Hr2. (П2) в сферическом полупроводниковом нанокристалле межЭтот интеграл можно вычислить, проводя интегрироатомные переходы, определяемые матричными элеменвание по частям и используя представление (22) для тами оператора скорости v(1), приводят к монопольmn второй производной от кулоновского потенциала. Из монопольному вкладу (38). В координатном предстасоображений симметрии сразу следует, что первое славлении соответствующий вклад в дальнодействующее гаемое в (22) вклада в (П2) не вносит. Второе слагаемое обменное взаимодействие вносит вторая производная в (22) приводит к вкладу 2, dr1dr2 4 r1,r2, |r1 - r2| I = Hr1 (r1 - r2)Hr2 = drHr. (П3) 2 3 0 которую можно представить в виде двух слагаемых Подчеркнем, что в сумме (П1) перекидывать дифференсогласно тождеству (22). Первое слагаемое имеет вид цирование с функций Ha на |a1 - a2|-1 некорректно, т. е.

диполь-дипольного взаимодействия и не вносит вклада в синглет-триплетное расщепление (32). Второе слагаемое имеет вид -функции, однако эта -функция Ha1 Ha a1, |a1 - a2| a2, физически не означает, что связанный с нею вклад a1=a носит контактный характер и обусловлен областями с 2 r1 и r2, лежащими в пределах одной-двух элементарных = Ha1Ha2.

a1,a2, |a1 - a2| ячеек, как для короткодействующего обменного взаимоa1=a действия. Подчеркнем, что основной вклад в сумму (37) или в интеграл (38) вносят точки r1 и r2, удаленные на Левая сумма отлична от нуля, тогда как правая сумма расстояние, сопоставимое с R.

(при инвариантной функции Ha) равна нулю.

В опубликованных ранее работах обменное электрон- Полезно провести оценку сделанных приближений.

но-дырочное взаимодействие рассматривалось при явном Если оценить H по порядку величины как R-3, то или неявном предположении, что вклад в междузонные I (2R3)-1. Согласно (П2), вклад в интеграл от матричные элементы оператора скорости (или импульса) областей r1 и r2, принадлежащих одной элементарной вносят либо только межатомные [1–4,9–12], либо только ячейке, имеет малость (a0/R)2 (0/R3)2/3 по сравневнутриатомные [5,6,13–17] переходы. В данной работе нию с самим интегралом I. Очевидно, такую же малость впервые построена аналитическая теория дальнодейству- имеет и разность между суммой (П1) по дискретным ющего обменного взаимодействия при наличии как тех, переменным a1 = a2 и двойным интегралом (П2), так и других, формулы (26), (27) и (40) оригинальны. в котором переменные интегрирования r1 и r2 пробегают Физика твердого тела, 2001, том 43, вып. 1798 C.В. Гупалов, Е.Л. Ивченко независимо объем внутри сферы радиуса R. Основной [26] Z. Xu. Solid State Commun. 76, 1143 (1990).

[27] L.M. Ramaniah, S.V. Nair. Phys. Rev. B47, 7132 (1993).

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.