WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |
Физика твердого тела, 2001, том 43, вып. 10 Обменное взаимодействие между электроном и дыркой в полупроводниках в методе сильной связи © C.В. Гупалов,, Е.Л. Ивченко Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, 194021 Санкт-Петербург, Россия Department of Physics, Washington State University Pullman, 99164-2814 Washington, USA E-mail: ivchenko@coherent.ioffe.rssi.ru (Поступила в Редакцию 15 марта 2001 г.) Обменное электронно-дырочное взаимодействие в полупроводниках проанализировано в рамках эмпирического метода сильной связи. Показано, что внутри- и межатомные вклады в дальнодействующее обменное взаимодействие входят неэквивалентно. В частности, для экситона 6 7 в сферическом нанокристалле с кубической решеткой дипольно-дипольный вклад, обусловленный исключительно внутриатомными, или внутриузельными, переходами, не приводит к синглет-триплетному расщеплению экситонного уровня.

Межатомные переходы, например анион-катионные переходы между ближайшими соседями в двойных полупроводниковых соединениях, определяют так называемый монополь-монопольный вклад в обменное расщепление экситона 6 7, и этот вклад не исчезает в нанокристалле сферической формы.

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант № 00-02-16997) и Министерством науки (программа ”Физика наноструктур”). Работа С.В.Г. частично финансировалась Федеральным управлением военно-морских исследований (the Office of Naval Research) и Национальным научным фондом (the National Science Foundation) по грантам ЕСS-0072986, DMR9705403 и DMR-0073364.

Обменное взаимодействие между электроном и дыр- компоненты матричного элемента оператора скорости, кой, связанными в экситон в полупроводниковом кри- связанные с междуатомными и внутриатомными пересталле, широко изучалось в начале 70-х годов в свя- ходами, которые естественным образом разделяются в зи с исследованием тонкой структуры уровней эксито- методе сильной связи, вносят неэквивалентные вклады нов [1–6]. Обычно выделяют два вклада в матричные в матричный элемент дальнодействующего обменного элементы оператора обменного взаимодействия. Первый взаимодействия. В то же время как в методе эффективной вклад, дальнодействующий, мало меняется на расстоя- массы, так и в методе разложения по функциям Ванье ниях порядка постоянной кристаллической решетки и приходится иметь дело с функциями, характеризующизависит от волнового вектора электронно-дырочной пары ми зонные состояния, и выделить различные вклады в как целого. Второй вклад связан с короткодействующей матричный элемент оператора скорости в рамках этих частью кулоновского потенциала и не зависит от волно- методов невозможно. Показано, что матричный элемент вых векторов электрона и дырки. Матричные элементы оператора скорости в методе эффективной массы не оператора дальнодействующего обменного взаимодей- учитывает внутриатомные переходы, тогда как в методе ствия на блоховских волновых функциях вычисляются разложения по функциям Ванье, напротив, пренебрелибо в рамках метода эффективной массы [1,2,4,7], либо гают междуатомной компонентой оператора скорости.

с помощью разложения по функциям Ванье (см. [5,6] Матричные элементы дальнодействующего обменного и ссылки там). При этом матричные элементы оператора взаимодействия в этих двух методах получаются при соскорости (импульса) на функциях Блоха в экстремумах ответствующих предельных переходах из выражения для зон в первом случае и матричные элементы координаты аналогичных матричных элементов, выведенных нами в на функциях Ванье во втором отождествляются с соот- рамках эмпирического метода сильной связи.

ветствующими междузонными оптическими матричными В последнее время обменное взаимодействие между элементами. Тем не менее два этих метода приводят к электроном и дыркой в полупроводниках привлекает различным результатам для матричного элемента даль- большое внимание в связи с интенсивными исследованодействующего обменного взаимодействия. Обычно это ниями квазинульмерных структур (квантовых точек), в различие объясняется неэквивалентностью разбиения ис- которых из-за эффекта размерного квантования обменходного оператора обменного взаимодействия на даль- ные расщепления экситонных уровней могут в десятки нодействующую и короткодействующую части в первом раз превышать аналогичные расщепления в объемных и во втором методах [6,8]. Однако предпринятое в полупроводниках. Теория обменного взаимодействия в первой части настоящей работы рассмотрение дально- квантовых точках строилась либо в рамках метода эфдействующего обменного взаимодействия в рамках эм- фективной массы, как в работах авторов [9–12], либо с пирического метода сильной связи показывает, что это помощью разложения по функциям Ванье [13,14]. На реразличие возникает по другой причине. Оказывается, что зультаты, полученные в первой из работ [13], опирались 1792 C.В. Гупалов, Е.Л. Ивченко также авторы работ [15–17]. Как и в случае объемных Esa, Esc, Epa, Epc для s- и p-орбиталей на анионе (a) и каполупроводников, оба подхода приводили к различным тионе (c) без учета спин-орбитального взаимодействия, результатам. Поэтому вторая часть настоящей работы спин-орбитальные расщепления a, c p-орбиталей посвящена применению развитой в первой части теории и четыре матричных элемента взаимодействия Vss, Vpp, к экситону, локализованному в квантовой точке. В каче- Vpc,sa Vsa,pc, Vpa,sc Vsc,pa для ближайших катиона стве примера рассматривается экситон 67 в сфериче- и аниона (межатомным спин-орбитальным взаимодейском нанокристалле полупроводника кристаллического ствием для простоты пренебрегается).

класса Td радиуса R, малого по сравнению с боровским В методе сильной связи матричные элементы коордирадиусом экситона aB. наты a b |r|ab = R |r|R 1. Модель сильной связи в объемном в базисе атомных орбиталей определяются выражением полупроводнике R |r|R =(R + rb )R, (5) R В модели сильной связи блоховское состояние элеккоторое диагонально по R и включает два слагаемых:

трона |nk раскладывается по атомным орбиталям (см.

одно диагонально по орбитали, пропорционально век[18–22] и cсылки там) тору R и не зависит от, а второе не зависит от положения элементарной ячейки и описывает внутриатомные r|nk = exp[ik(a + )]Cb(n, k)b(r - a - b).

b (внутриузельные) переходы N ab (1) rb = R |r - R|R ab |r - a - |ab. (6) b Здесь k — волновой вектор электрона, n — зонный индекс, a — вектор, задающий положение элементарной Учитывая связь ячейки, b — индекс, нумерующий атомы в отдельной i элементарной ячейке, —положение атома b внутри b v = (Hr - rH) элементарной ячейки, — индекс атомной орбитали. С учетом спина и спин-орбитального расщепления между операторами скорости v и координаты r, мат включает индекс орбитального углового момента ричные элементы оператора скорости в методе сильl = s, p, d, s,..., полный угловой момент j и проекцию ной связи можно представить в виде двух слагаемых jz полного углового момента на ось z. В sp3 модели для v(1) (R, R) и v(2) (R, R). Первое слагаемое b,b b,b однородного полупроводникового кристалла с решеткой цинковой обманки введенные обозначения имеют следуi b b v(1) (R, R) = (R - R )H - R) (7) (R ющий смысл [18]: b —сорт атома, катион (b = c) или b,b, анион (b = a), = l, j, jz с l = s или p, j = 1/однозначно определяется параметрами сильной связи при l = s и j = 1/2, 3/2 при l = p, jz = ±1/2 при и описывает перенос электрона с атома (a, b) на j = 1/2 и jz = ±1/2, ±3/2 при j = 3/2. Иногда для атом (a, b ). Вектор v(1) ориентирован вдоль прямой, обозначения атомной орбитали вместо пары a, b будем b,b соединяющей эти атомы, и пропорционален соответиспользовать один вектор R = a+b. Для удобства в (1) ствующему матричному элементу сильной связи. Второе выделен множитель 1/ N, где N — число элементарных ячеек в ящике квантования Борна–Кармана, тогда коэф- слагаемое фициенты разложения Cb(n, k) удовлетворяют условию v(2) (R, R) нормировки b,b |Cb(nk)|2 = 1. (2) - Eb)rb при R = R, b (E b i b b b b = [H - R)rb (8) (R Введем параметры сильной связи H - R).

(R В k-представлении уравнение Шредингера принимает b b -rb H - R)] при R = R (R вид b b H (k)Cb(n, k) =EnkCb (n, k) (3) пропорционально внутриатомным матричным элементам b координаты, оно отлично от нуля как для внутриатомс электронным гамильтонианом ных, так и для межатомных переходов. В (8) учтено, что b b при R = R матричный элемент H -R) диагонален (R b b b b H (k) = exp[ik(a+ - b)]H -a- ). (4) и равен энергии электрона Eb на орбитали ( по b b b a атома b. В k-представлении для матричных элементов оператора скорости имеем Для примера укажем, что в sp3 модели при учете взаимодействия только ближайших соседей имеется десять vb b (k) = exp[ik(a + - )] 0b |v|ab. (9) b b линейно независимых параметров: диагональные энергии a Физика твердого тела, 2001, том 43, вып. Обменное взаимодействие между электроном и дыркой в полупроводниках в методе сильной связи В частности, вклад (7) в этом представлении при k = 0 оптического поглощения или излучения в полупроводимеет вид никах. В ряде работ [23–25] учитывались как те, так и другие переходы, но использованные значения внуi b b v(1) (k = 0) = (a + - )H - a - ). триатомных матричных элементов оператора импульса ( b b b b b,b a превышали аналогичные значения для анион-катионных (10) переходов. В [26,27] вклад межатомных переходов вообПредставим набор коэффициентов Cb(n, k) в виде ще не учитывался. В то же время многие авторы [28–32] многокомпонентного столбца (n, k). Стол бец (n, 0) полностью пренебрегали внутриатомными переходами.

b b является собственным вектором матрицы H (0) с соб Как будет показано, в отличие от матричных элементов ственным числом En En,0, соответствующим экстредля оптических переходов, где внутри- и межатомные муму зоны n. Из выражений (4) и (10) следует, что вклады присутствуют неразделимо, в матричные элеменв первом порядке теории возмущений по параметру ka0 ты дальнодействующего обменного взаимодействия ме(a0 — постоянная решетки) гамильтониан сильной связи жду электроном и дыркой в полупроводнике эти вклады принимает вид входят неэквивалентно.

b b b b H (k) =H (0) + kv(1) (k = 0), (11) b,b 2. Оператор электрон-дырочного а для коэффициентов Cb(n, k) в невырожденной зоне n обменного взаимодействия имеем Оператор обменного кулоновского взаимодействия kv(1) ln Cb(n, k) =Cb(n, 0) + Cb(l, 0), (12) между электроном и дыркой в полупроводниковом криEn - Ell сталле можно задать матричными элементами [1,2] где eh m, k e; n, k h Uexch m, ke; nkh v(1) = Cb (l, 0)v(1) (0)Cb(n, 0), ln b,b ee = - m, k e; n, -kh Uexch m, ke; n, -k h bb а штрих означает суммирование по состояниям e† = m,k e(r1)n (r1),-k h с El0 = En. Заметим, что в отличие от (12) в разложении |r1 - r2| периодической блоховской амплитуды un,k = e-ikr|nk † по степеням k входит полный матричный элемент n,-kh(r2)m,ke(r2)dr1dr2. (16) оператора скорости Здесь индексы ee и eh относятся к электрон kvln электронному и электрон-дырочному представлениям [2] un,k(r) =un,0(r) + ul,0(r) +..., (13) En - Ell операторов соответственно, — (высокочастотная) диэлектрическая проницаемость, |m, ke; n, kh — двухчагде стичное возбужденное состояние кристалла, состояния vln = v(1) + v(2), ln ln |n, k и |n, -k связаны операцией инверсии времени, v(i) = Cb (l, 0)v(i) (k = 0)Cb(n, 0). (14) m,ke(r) r|m, ke и n,kh(r) r|n, kh — блоховln b,b bb ские волновые функции соответственно в электронном и дырочном представлениях. Из трансляционной инваДля полноты приведем также связь между функциями риантности объемного кристалла следует, что матричВанье wn(r) и атомными орбиталями (см. [5]) ные элементы (16) отличны от нуля только для совпадающих суммарных волновых векторов электронноwn(r - a ) = Cb(n, k) N дырочной пары kab K = ke + kh = k e + k h. (17) exp[ik(a - a + )]b(r - a - ), (15) b b где суммирование ведется по всем волновым векторам В методе сильной связи блоховские функции берутся зоны Бриллюэна. Очевидно, использование функций Вав виде (1) c коэффициентами Сb(m, ke) и Cb(n, kh) сонье, характеризующих зонные состояния n, затрудняет ответственно для электрона и дырки. Расчет обменного разделение вкладов от межатомных и внутриатомных интеграла в этом методе сводится к сумме по шести переходов в матричный элемент скорости.

дискретным переменным При проведении расчетов в рамках метода сильной связи неизбежно возникает вопрос об относительных eiK(R2-R1) U(R1, 1, 1; R2, 2, 2)Cb1a (m, k e) вкладах внутриатомных и межатомных переходов в меж- R1R2 1,,2,дузонные матричные элементы оператора скорости или импульса электрона и, что эквивалентно, в вероятность Cb11(n, -k h)Cb22(m, ke)Cb22(n, -kh), (18) 5 Физика твердого тела, 2001, том 43, вып. 1794 C.В. Гупалов, Е.Л. Ивченко где R1 - R2 = a1 - a2 + - на r1 - r2 вне зависимости b1 bот того, совпадают b1 и b2 или различаются.

U(R1, 1, 1; R2, 2, 2) Далее используются тождества e2 dr1drr1 - r2 = † (r1 - R1)b11(r1 - R1) b= -, |r1 - r2| |r1 - r2|3 r1 |r1 - r2| b22(r2 - R2)† (r2 - R2). (19) b2 1 2 = В дальнейшем мы сосредоточимся только на дальноr1,r2, |r1 - r2| r1,r1, |r1 - r2| действующем обменном взаимодействии (иногда называемом также неаналитическим обменным взаимодей|r1 - r2|2 - 3(r1 - r2)(r1 - r2) ствием), поэтому будем считать, что ke, kh малы по = + (r1-r2), |r1 - r2|5 сравнению с обратной постоянной решетки a-1 и что в сумму (18) не входят слагаемые с R1 = R2. Соответ- eiK(r2-r1) (long) ствующий оператор обозначим Uexch. Очевидно, при dr1dr2 = V (22) |r1 - r2| Kформулировании метода сильной связи нужно оговорить заранее, что слагаемые с R1 = R2 исключены из общих и соотношения формул (16) и (18), и вместо них добавить к (18) (short) (ke + kh)v(1) независимый короткодействующий вклад Uexch, введя в mn = Cb(m, ke)Cb(n, -kh) =, (23) 0 Em - En теорию дополнительные параметры, описывающие внуb триузельное обменное взаимодействие.

Pages:     || 2 | 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.